Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 21: Đa thức

 CHUYÊN ĐỀ 21:
 ĐA THỨC 
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Đa thức và các phép toán trên đa thức :
 1.1 Định nghĩa.Đa thức trên trường số thức là biểu thức có dạng
 n n 1
 P(x) an x an 1x ....... a1x a0 trong đó ai ¡ và an 0 .
 1.2 Đa thức bằng nhau
 Hai đa thức gọi là bằng nhau nếu các hệ số của từng biến lũy thừa bằng nhau.
 1.3 Phép cộng và trừ các đa thức được thực hiện bằng cộng trừ phần hệ số có cùng 
 phần biến
 1.4 Phép nhân đa thức được thực hiện bởi nhân từng hạng tử của mỗi đa thức với nhau
 1.5 Bậc của tổng, hiệu tích, thương là bậc của hạng tử có số bậc cao nhất trong đa thức 
 đó.
 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10
Bài 1.Chứng minh rằng nếu phương trình ax4 bx3 cx2 2bx 4a 0 a 0 * có hai 
 2 2
nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2 1thì 5a 2b ac
 1 1
Bài 2. Cho x 0, y 0và 1.Chứng minh rằng: x y x 1 y 1
 x y
Bài 3.Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường tròn nội 
tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
 2b2 2c2 2a2
Bài 4.Tìm a,b,c biết : a ;b ;c 
 1 b2 1 c2 1 a2
 a3 a2 2a 7 0
Bài 5.Cho a, b là các số thực thỏa mãn . Tính a b
 3 2
 b 2b 3b 5 0 2
 x y x y 2 x 1 y 1 2 x 1 y 1 x y x 1 y 1(dfcm)
Bài 3.
Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a,b,c của tam giác, đường 
cao của tam giác luôn lớn hơn đường kính đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa là: 
 x 2; y 2; z 2 . Vì x, y, z là các số nguyên dương nên
 1 1 1 1 1 1
 x 3; y 3; z 3 1.Mặt khác ta lại có:
 x y z 3 3 3
 1 1 1 a b c a b c 1
 1 x y z 3nên ABC đều.
 x y z ax by cz 2SABC r
Bài 4.
TH1: Nếu một trong ba số a,b,cbằng 0 thì các số còn lại bằng 0. Do vậy a b c 0
Th2: Xét a,b,c 0. Ta có :
 2 2 2
 1 1 1 1 b2 1 c2 1 a2 1 b 1 1 c 1 1 a 1
 a b c 2b2 2c2 2a2 2b2 b 2c2 c 2a2 a
 1 1 1
 a b c
Dấu bằng xảy ra khi 1 b 1 c 1 a 0 a b c 1
Vậy a b c 1hoặc a b c 0
Bài 5.Ta có :
 3 2 3 2
 a a 2a 7 0 a a 2a 7 0 3 2
 a3 b 1 b2 a 1 0
 3 2 3 2 
 b 2b 3b 5 0 b 1 b 6 0
 a b 1 a2 a b 1 b 1 2 a b 1 0 a b 1
Bài 6.Điều kiện x 1.Với 
 1 a b a2 b2 a b
 x 
 2 b a 2 ab 2 ab
 2
 a b a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab
 x2 x2 1 
 4ab 4ab 4ab
 2
 a2 2ab b2 a b 
 x2 1 
 4ab 4ab 2x 16x 6 x 2 3
 P 2
 x 2 x 3 x 1 x 3
 2x 16x 6 x 2 x 3 3 x 1 2 x 2 x 3 
 x 1 x 3 
 2x 4 x 6 x x 6 3 x 3 2x 4 x 6
 P 
 x 1 x 3 
 x 4 x 3 x 1 x 3 x 1
 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1
Bài 9.Do x 0, y 0không thỏa mãn điều kiện ta viết lại đẳng thức như sau :
 2
 x x
 2 2 4 5
 x 4xy 5y 2 y y 2 x
 2 2 2 .Đặt t .Ta được :
 x 2xy 2y 5 x x 5 y
 2 2
 y y
 1
 A 
 t 2 4t 5 2 t 1 2
 t 2 2t 2 5 t 7 19
 A 
 8
Bài 10.ĐKXĐ: x, y 0; y 2x . Ta giả thiết :
 2 1 1 2y x 1
 2y x 2x y xy
 x y 2x y xy 2x y
 4xy 2y2 2x2 xy xy 2xy 2y2 2x2 0
 xy y2 x2 0 * 
Vì x, y 0 nên chia cả hai vế phương trình (*) cho xy,ta được 
 2
 y x x y x y x2 y2 x2 y2
 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 3
 x y y x y x y x y x
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20
 x by cz
Bài 11.Cho các số a,b,c 1và các số x, y, z khác 0 thỏa mãn y cz ax
 z ax by Bài 18. Tính giá trị của biểu thức P 
 P 3x 2013 5x 2011 2006 với x 6 2 2. 3 2 2 3 18 8 2 3
Bài 19. 
 1. Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = 0. Chứng minh hằng đẳng thức:
 1 1 1 1 1 1
 a2 b2 c2 a b c
 1 1 1 1 1 1
 2. Tính giá trị của biểu thức: B = 1 1 .... 1 
 12 22 22 32 20182 20192
Bài 20. 1. Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2). Biết rằng f(x) chia cho 
x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1. 
 2. Giải phương trình: x3 - 3x2 + 2x + 6 = 0
 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 
Bài 11.
 1 x
Ta có x by cz x a 1 ax by cz 
 a 1 ax by cz
 x y z 2 ax by cz 
Tương tự ta có : T 2
 ax by cz ax by cz
Bài 12.
 2 1
Ta có : a b c 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 
 2
 1
 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 
 4
 1 1
 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 
 4 2
 1 1
Vậy M a4 b4 c4 a2 b2 c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 1 
 2 2
Bài 13. 2019
 1 
Vậy A 
 2019 
Bài 16.
Từ giả thuyết suy ra x, y, z khác 0 và
 1 1 1 1
 x y z x y z
 1 1 1 1 
 0 
 x y z x y z 
 x y x y
 0
 xy z(x y z)
 1 1 
 x y 2 0
 xy xz yz z 
 (x y)(xz yz z2 xy) 0
 (x y)z(z x) y(z x) 0
 x y y z z x 0
 2007 2007 2007 2007
 x y 0 x y x y x y 0
 2009 2009 2009 2009
 z y 0 y z y z y z 0 P 0
 x z 0 z x 2011 2011 2011 2011
 z x z x 0
Bài 17.
 Câu a(2 điểm)
 a 3 16 8 5 3 16 8 5
 a3 32 33 (16 8 5)(16 8 5).( 3 16 8 5 3 16 8 5 )
 a3 32 3.( 4).a a3 32 12a a3 12a 32 0
 a3 12a 31 1 f (a) 12015 1
 Câu b(2 điểm) Bài 19.
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1. Ta có: 2 2 2 2 
 a b c a b c ab bc bc 
 1 1 1 c a b 1 1 1 2(a b c) 1 1 1
 2 2 2 2 2 2 2 
 a b c abc abc abc a b c abc a2 b2 c2
 1 1 1 1 1 1
 Vậy 
 a2 b2 c2 a b c
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Theo câu a) Ta có (*)
 a2 b2 c2 a b c a b a b
 Áp dụng (*) ta có:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 (Vì 0)
 12 22 12 12 ( 2)2 1 1 ( 2) 1 1 2 1 1 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Tượng tự 1 ; 1 ;.
 22 32 1 2 3 32 42 1 3 4
 1 1 1 1 1
 1 
 20182 20192 1 2018 2019
 1 4076360
 Suy ra B 2019 
 2019 2019
Bài 20.
 1. x3 - 3x2 + 2x + 6 = 0
 Û (x + 1)(x2 - 4x + 6) = 0 
 Û x + 1 = 0 (1) hoặc x2 – 4x + 6 = 0 (2)
 (1) Û x = - 1 3a2 1
 2 3 1
 b b
 3b2 2
 1
 a2 a3
Bài 23.
   
 Tìm các chữ số a , b , c biết abc ac 2.cb bc .
Bài 24.
 a) Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có: 
 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab ac bc 
 1 1 1 1 1 1 1
 b) Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn : x y z ; 4; 0
 2 x2 y2 xyz x y z
 Tính Q y2017 z2017 z2019 x2019 x2021 y2021 
 1 1 1
Bài 25.Cho x, y, z là các số hữu tỉ thỏa mãn . Chứng minh rằng x2 y2 z2 là số 
 x y z
hữu tỉ
Bài 26.
 1 1 1
 a) Cho a,b,c là 3 số thực đôi một khác nhau: a b c x . Tính 
 b c a
 P x.abc
Bài 27.
 a) Cho đa thức f (x) x 2 ax b thỏa mãn f (1) 1 và f 0 3. Chứng minh rằng 
 phương trình f (x) x có hai nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm của f f (x) x
Bài 28.
 5x 1 1 2x 2
 Cho ≠ 1, hãy rút gọn biểu thức A .
 x3 1 x2 x 1 1 x
 b. Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện x2 5y2 2y 4xy 3 0 .
 2 + = 2
 c. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện 2 + = 2. 
 2 + = 2
 Chứng minh rằng (a ― b)(b ― c)(c ― a) = 1.