Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 19: Tổng hợp hình (Phần 2)

 CHUYÊN ĐỀ 19_B
 Tổng hợp hình_tiếp theo
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10.
Bài 1. 
Cho đường tròn O;R và điểm Anằm ngoài O .Từ Akẻ hai tiếp tuyến AB, AC với 
 O (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC
 a) Chứng minh : bốn điểm A,O,B,C cùng thuộc một đường tròn
 b) Chứng minh: OA là đường trung trực của BC
 c) Lấy D là điểm đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD 
 DE BD
 với O (E không trùng với D). Chứng minh : 
 BE BA
 d) Tính số đo góc H· EC
Bài 2.Cho đường tròn O đường kính AB cố định. Gọi C là một điểm di động trên 
 O sao cho C khác A, C khác B và C không nằm chính giữa cung AB.Vẽ đường 
kính CD của (O). Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Hai đường thẳng BC,BD cắt d
tại E,F
 1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn
 2) Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE.
 Chứng minh AB 2IM
 3) Gọi H là trực tâm DEF.Chứng minh khi điểm C di động trên O thì điểm 
 H luôn chạy trên một đường cố định.
Bài 3.(HSG Toán 9 Vũng Tàu) Cho hai đường tròn O;R và I;r tiếp xúc ngoài tại 
 A R r .Vẽ dây AB của O;R và dây AC của I;r sao cho AC  AB.Gọi MN là 
tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn với M O , N I 
 1) Chứng minh ba đường thẳng BC,OI,MN đồng quy
 2) Xác định số đo AOB để diện tích ABC lớn nhất 2) Chứng minh rằng:AK.AN+BK.BM=AB2
 3) Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Bài 10. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho 
AC < BC (C A). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại 
E (E A) .
 1) Chứng minh BE2 = AE.DE.
 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. 
Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp .
 1) Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH.
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10
Bài 1.
 B
 1 2
 O 1
 H A
 1
 2 E
 3
 1
 D C
 a) Theo gt có O· BA O· CA 900 nên tứ giác OBAC nôi tiếp hay bốn điểm 
 A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn 
 b) Ta có: OB OC R và AB AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) nên OA là 
 trung trực của BC
 c) Vì D là điểm đối xứng với B qua O mà B O nên BD là đường kính của 
 đường tròn O 
 Tam giác ABD vuông tại B có đường cao là BE nên DBA : DEB g.g 
 DE BE DE DA
 1 
 DB BA BE BA 1
Từ (1) và (2) BMIO là hình bình hành IM BO AB hay AB 2IM
 2
3) Vì H là trực tâm của DEF, ta có DH / / AB (cùng vuông góc với EF)
 AD / /BH (cùng vuông góc với FB)
Suy ra tứ giác ABHD là hình bình hành BH AD
Mà AD BC (vì ADBC là hình chữ nhật) BH BC
Lấy N đối xứng với O qua B, ta có tứ giác OHNC là hình bình hành
 NH OC R không đổi và N là điểm cố định (Vì O và B cố định)
Vậy khi C di động trên (O) thì H chạy trên đường tròn N;R 2 2
Mặt khác: 2cos .sin sin cos 1 SABC R.r
Dấu " "xảy ra sin cos 45
Vậy diện tích ABC lớn nhất khi 45
Bài 4.
 Lời giải
 A
 E
 1
 1 2 2
 F
 1 1 1
 M O
 N H
 B
 1. Ta có M· AO M· BO 90 M· AO M· BO 180. Mà hai góc đối nhau nên tứ 
 giác MAOB nội tiếp.
 2. Ta có tam giác AOE cân tại O nên ·AEO O· AE . 1 
 1
 Ta lại có ·AEO M· AB sd »AB ·AOM. 2 
 2
 Từ 1 và 2 suy ra ·AEO ·AOM AE//OM. 
 3. Xét hao tam giác MNF và ANM có:
 M· NF ·ANM 
 và F· MN ·AEF M· AN (góc so le trong, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây 
 dung)
 NA MN
 MNF ∽ ANM (g.g) NM 2 NF.NA. 
 MN NF
 4. Ta có MA MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA OB R 
 MO là đường trung trực của AB 
 AH  MO và HA HB. 
 MAF và MEA có: 
 ·AME chung
 µ µ
 A1 E1 
 MAF ∽ MEA (g.g)
 MA MF
 MA2 MF.ME .
 ME MA
 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO , ta có MA2 HO.MH . Bài 6.
1) Chứng minh tứ giác OBIK nội tiếp.
 Lời giải
 O· KI 900 
  Tứ giác OKIB nội tiếp
 · 0
 OBI 90  
2) Chứng minh AC.AE = AD.AF.
 Lời giải
- Ta có
 C· AB C· BE (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung 
BC)
 C· AB phụ với F· AB c) Chứng minh rằng khi P thay đổi trên đường tròn O thì độ dài đoạn PH 
 không đổi.
 Gọi I là trung điểm BC OI  MN và OI là đường trung bình của HPQ 
 PH 2OI
 Ta có: OI MI.cot M· OI 
 1 1
 M· OI M· ON sdM¼N
 Mà MI không đổi và 2 2 không đổi.
 OI không đổi PH không đổi.
Bài 8.
 P
 A
 Q D
 E H
 C
 B K M
 1) Chứng minh BH.BD BC.BK và BH.BD CH.CE BC 2
 Xét BHK và BCD có: KBH chung ;BKH BDC 90
 BH BK
 BHK ∽ BCD(g.g) BH.BD BC.BK
 BC BD
 CH KC
 Cmtt CHK ∽ CBE CH.CE BC.CK
 BC CE
 Cộng vế với vế hai đẳng thức ta được : Bài 9.
 Ta thấy AN BI ,BM AI , nên K là trực tâm tam giác IAB. Do đó IK AB
 Vì AEK∽ ANB ∽ nên AK. AN =AE .AB
 Tương tự vì BEK∽ BMA ∽ nên BK .BM =BE. BA
 Vậy AK.AN+BK.BM=AE.AB+BE.BA=AB2
 Chỉ ra sđ MN=60o nên tính được AIB=60o , do đó điểm I thuộc cung chứa góc 
 60o dựng trên đoạn AB.
 Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam giác 
 IAB), khi đó I nằm chính giữa cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB tương ứng 
 với MN song song với AB.
Bài 10. 
 Vẽ đúng hình theo yêu cầu chung của đề bài
 D
 C E
 A O B
 VìBD là tiếp tuyến của (O) nên BD  OB => ΔABD vuông tại B
 Vì AB là đường kính của (O) nên AE  BE
 Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABD (A· BD=900 ;BE  AD) ta có BE2 = AE.DE 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp 
∆MCD.
 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại 
P và Q. Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất.
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O, đường 
kính AH, đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E .
 1/ Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp được đường tròn.
 2/ Chứng minh 3 điểm D, O, E thẳng hàng.
 3/ Cho biết AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tính diện tích tứ giác BDEC.
Bài 15. Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng 
một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. 
Gọi P là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minhCP.CB DP.DA AB 
c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD 
cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.
Bài 16. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R.M là điểm di động trên đoạn 
thẳng AB,kẻ CM  AB tại M ( C thuộc nửa đường tròn tâm O). Gọi D,E là hình 
chiếu vuông góc của M trên CA,CB.Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AM ,MB.
Xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác DEQP đạt giá trị lớn nhất.
Bài 17. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau 
tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt 
đường thẳng AH tại M .
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD và 
góc BAM = góc OAC .
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng G 
là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 18. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M là một 
điểm di động trên cung nhỏ AB(M không trùng với các điểm A và B).
a) Chứng minh MD là đường phân giác của góc BMC 
b) Cho AD=2R.Tính diện tích của tứ giác ABDC theo R 
c) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới 
hạn bởi cung AMB và dây AB theo R. d) Gọi K là giao điểm của AB và MD,H là 
giao điểm của AD và MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.
Bài 19. Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P 
thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng
1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Chứng minh tương tự ta được K· NM B· NM . Do đó BMN KMN
 MB = MK, NB = NK nên MN là trung trực của KB . BK  CD, IK IB
 Tam giác KBP vuông tại B có IK = IB nên I là trung điểm KP. 
 Vậy tam giác BIP cân tại I.
Bài 12.
 B
 R K
 O
 I
 Do BC2 = AC2 + AB2 nên tam giác ABC vuông tại A. 
 C
 Q
 A
 5
 Đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC có tâm là trung điểm O của BC, có bán kính r a .
 2
 Gọi Q là trung điểm AC và R là tiếp điểmT của (K) và AB. 
 KQAR là hình vuông cạnh 2a. Đường tròn (K) có bán kính ρ = 2a
 Do OK= KQ – OQ = 2a –3 a =1 a = r – ρ, nên (K) tiếp xúc trong với (O).
 2 2
 Gọi I là trung điểm AK, nối BI cắt OQ tại T. Ta chứng minh T thuộc đường tròn (O).
 Hai tam giác IQT và IRB bằng nhau nên QT = RB = a 
 Vì OT = OQ + QT =3 a + a = r nên T thuộc đường tròn (O).
 2
 Từ đó T là trung điểm của cung AC của đường tròn (O).
 Suy ra BI là phân giác của góc ABC. Vì vậy I là tâm nội tiếp của ΔABC.
Bài 13.
 Q
 D
 O
 I
1. CMR các(d) điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn.
 HA=HBA => OHH  AB ( Bđường kínhM đi qua trung điểm một dây không đi qua 
 0
tâm) =>O· HM = 90 C
 P
 Lại có O· DM = 900 ( Tính chất tiếp tuyến)