Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 19: Tổng hợp hình (Phần 1)

 CHUYÊN ĐỀ 19
 TỔNG HỢP HÌNH 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
 Đề bài từ bài 01 đến bài 10
Bài 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt 
là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn 
CE.
1) Tính B· IF .
2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội 
tiếp.
3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của 
N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.
Bài 2.
Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC . Hạ các đường cao BE và CF, 
gọi H là trực tâm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N.
 a. Chứng minh ΔAMF đồng dạng với ΔANC. 
 b. Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC.
Bài 3.
 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và 
 D· AB 600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD 
tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF 
cắt đường tròn tại điểm thứ hai N. 
 a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng.
 b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC. Bài 7. Cho đường tròn tâm O, dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của đường tròn). 
Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB (M A và M B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. 
Từ M kẻ đường vuông góc với NA cắt đường thẳng NA tại Q. 
 a) Chứng minh bốn điểm A, M, H, Q nằm trên một đường tròn. Từ đó suy ra MN là tia phân 
giác của góc BMQ.
 b) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NB cắt NB tại P. Chứng minh A· MQ P· MB
 c) Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
 d) Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất.
Bài 8. Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hạ các 
đường cao AH, BK của tam giác. Các tia AH, BK lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là 
D, E. 
a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng: HK // DE.
c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên (O) sao cho tam giác ABC có ba 
 góc nhọn. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CHK không đổi.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn
đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC
tại D.
1)Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó.
2) Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.
3) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.
4) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.
Bài 10. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao 
BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P B, Q C).
 a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.
 b) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh HB.HP = HC.HQ.
 c) Chứng minh OA vuông góc với DE. B
 F
 P
 D
 O
 N
 A
 E M C
 Q
Có tứ giác PNQD nội tiếp = > Q· PN=Q· DN=E· FN . 
Tương tự có N· QP=N· DP=F· EN => ΔNEF và ΔNQP đồng dạng 
 PQ NQ
=> = 1 PQ EF
 EF NE
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q  E => DN là đường kính của (O) => PQ lớn nhất 
bằng EF.
Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại M thì PQ lớn nhất. D E
 H
 F
 A O C B
 M
 N
Ta có :A· CH A· BD (so le trong) (1)
mà A· ND A· BD (góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)
từ (1) và (2) suy ra A· ND A· CH hay A· NF A· CF
suy ra tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn
 AFCN nội tiếp đường tròn C· NF C· AF hay C· ND B· AE (3)
Mặt khác B· AE D· AE D· NE (4)
từ (3) và (4) suy ra C· ND E· ND
 N, C, E thẳng hàng
Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M
Ta có D· AB A· CM (so le trong) O
 M
 D
 H K
 C
 A P B
 N
a) Nối CP, PD ta có ACP, OAB lần lượt cân tại C, O nên C· PA C· AP O· BP 
 do đó CP // OD (1)
 Tương tự DPB, OAB lần lượt cân tại D, O nên D· PB D· BP O· AB nên OD//CP (2) 
 . Từ (1) và (2) suy ra ODPC là hình bình hành
 Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP
 Theo tính chất 2 của đường tròn cắt nhau ta có CD  MP H là trung điểm MP
 Vậy HK // OM do đó CD // OM
 Ta phải xét 2 trường hợp AP BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trường 
 hợp giả sử AP < BP Bài 5.
 Lời giải
 B
 H
 C
 E
 A D
 O F
 K
1. ·ABE A· FE 900 900 1800 Suy ra tứ giác ABEF nội tiếp 
2.C· AD C· BD D· BF ( do tứ giác ABEF nội tiếp )
3.Ta có 
 C· AD D· AK D· BK
Suy ra ACD AKD (cạnh huyền – góc nhọn)
 AC AK
 DC DK
 AD  CK
 CK / /EF
4.Ta có
 E· FB 600 B· AC 600 B»C 1200
 R2
 S 
 QuatOBC 3
Gọi OH là đường cao của tam giác OBC 2 2
 2 a 3a
 a Suy ra OAD đều.
 2 4
 a 3 a 3
 HD CD a 3 . Suy ra HD CD a 3 .
 2 2
b) Chứng minh BE song song với KH và MN là đường trung trực của đoạn thẳng KH .
Tứ giác AHKC nội tiếp trong đường tròn nên H· KE=C· AB .
Mà C· AB=C· EB nên H· KE=C· EB . 
Do đó BE//KH (so le trong, B và H nằm về hai phía KE).
+ AE//MN, BE//KH 
+ AE  BE nên MN  KH .
Mặt khác MH = MK nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng KH.
c) Chứng minh JL vuông góc với BD .
+ IJ//CD và H là trung điểm của CD. Suy ra P là trung điểm của IJ.
Ta có: P· IL=P· AF=P· AI=P· QI và L· PI=I·PQ . Suy ra hai tam giác PIL và PQI đồng dạng.
 PI PL PJ PL
Do đó: = . Mà PI = PJ nên = . 
 PQ PI PQ PJ
Lại có L· PJ=J·PQ nên hai tam giác PJL và PQJ đồng dạng (1).
A· BD=A· CD=A· PQ PQ//BD (đồng vị, tia PQ không nằm trong góc B· PJ ). 
Mà J là trung điểm của BD nên P là trung điểm của HB. Suy ra Q là trung điểm của HD. 
Do đó JP  JQ hay tam giác PQJ vuông tại J (2).
Từ (1) và (2) suy ra tam giác PJL vuông tại L. Mà PQ//BD nên JL vuông góc với BD. AN AH
 Cách 2: Ta có NHA : NQM AN.MQ AH.NM
 NM MQ
 BH BN
 NHB : NPM MP.BN BH.MN
 MP MN
 MQ.AN + MP.BN = = MN.AH + MN.BH = MN.(AH+HB)=MN.AB
vì AB không đổi nên MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất MN là đường kính 
=> M nằm chính giữa cung nhỏ AB
Bài 8.
 C D
 E H
 K M
 F
 O
 A B
 1) Có A· KB 900 (giả thiết)
 1,0 đ
 A· HB 900 (giả thiết)
 Suy ra tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn đường kính AB.
 Tâm đường tròn là trung điểm của AB.
 2) Tứ giác ABHK nội tiếp A· BK A· HK (cùng chắn cung AK)
 1,5 đ
 Mà E· DA A· BK (cùng chắn cung AE của (O))
 Suy ra E· DA A· HK 
 Vậy ED//HK (do E· DA, A· HK đồng vị) c) OM ⊥ AC (OM là đường trung bình tamgiác ABC) nên suy ra MO là tiếp tuyến đường 
tròn đường kính MC.
d) MN ⊥ BC (góc MNC nội tiếp nửa đường tròn đường kính MC)
PM ⊥ BC (M là trực tâm tam giác PBC)
Suy ra P, M, N thẳng hàng.
Bài 10.
 Ta có BD  AC (GT) => BDC 900 , CE  AB => BEC 900
 Nên điểm D và E cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông
 Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC
 Xét BHQ và CHP có :
 BHQ =CHP (đối đỉnh)
 BQH =CPH (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn (O))
 Nên BHQ đồng dạng với CHP (g-g)
 BH HQ
 BH.HP HQ.CH
 CH HP c) Gọi K là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng 
 AB.AC AD.AK BD.BK.CD.CK
 2) Cho tam giác ABC có BAC 90,ABC 20.Các điểm E, F lần lượt nằm trên 
 các cạnh AC, AB sao cho ABE 10 và ACF 30. Tính CFE
Bài 15. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là các 
tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB (D, E 
thuộc (O)). Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC, AB lần lượt tại P, Q
 a) Gọi H là giao điểm của BC với OA. Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp 
 b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E. Chứng minh rằng A, P, K thẳng hàng
Bài 16.Cho đường tròn (O;R) và điểm I cố định nằm bên trong đường tròn (I khác O), 
qua I dựng hai dây cung bất kỳ AB và CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của IA, 
IB, IC, ID
 a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
 b) Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau tại I. 
 Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn 
 nhất
Bài 17.Cho tam giác MNP có 3 góc M ,N,P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O, bán 
kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP 
cắt nhau tại H. Chứng minh rằng :
 a) MH 2OQ
 b) Nếu MN MP 2NP thì sin N sin P 2sin M
 c) ME.FH MF.HE 2R2 biết NP R 2
Bài 18.Cho hai đường tròn O1 và O2 tiếp xúc ngoài nhau tại điểm I. Vẽ đường tròn 
(O) tiếp xúc trong với O1 và O2 lần lượt tại B và C. Từ điểm I vẽ đường thẳng d vuông 
góc với O1O2 ,d cắt cung lớn và cung nhỏ BC của (O) lần lượt tại điểm A, Q. Cho AB cắt 
 O1 tại điểm thứ hai là E, AC cắt O2 tại điểm thứ hai là D
 a) Chứng minh rằng tứ giác BCDE nọi tiếp
 b) Chứng minh rằng OAvuông góc với DE
 c) Vẽ đường kính MN của (O) vuông góc với AI (điểm M nằm trên cung AB không 
 chứa điểm C). Chứng minh rằng ba đường thẳng AQ, BM ,CN đồng quy.
Bài 19.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm D bất kỳ trên cạnh AB. Gọi M 
và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Gọi P và Q là các giao điểm của 
MN với đường tròn (O) (điểm P thuộc cung nhỏ BC và điểm Q thuộc cung nhỏ CA). Gọi