Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 17: Thực tế, Logic, Dirichle

 CHUYÊN ĐỀ 17:
 THỰC TẾ - LOGIC –DIRICHLE
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Nguyên tắc này mang tên nhà toán học người Đức Peter Gustav Dirichlet còn gọi là 
 “nguyên tắc lòng chim câu” được phát biểu hết sức đơn giản như sau:
Nếu nhốt n 1con thỏ vào n cái lồng n ¥ * thì thế nào cũng có một lồng chứa ít nhất 
hai con thỏ
Nếu nhốt n con thỏ vào k cái lồng (với n,k ¥ *, n lớn hơn và không chia hết cho k) thì 
 n 
thế nào cũng có một cái lồng chứa ít nhất 1con thỏ.
 k 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 50
Bài 1. Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cup 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 
25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, 
Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu). 
Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được 
đánh số là a,b,c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc 17
Bài 2. Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì 
trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng 
nhau.
Bài 3.
Tập hợp A 1;2;3;...;3n 1;3n ( n là số nguyên dương) được gọi là tập hợp cân đối nếu có thể 
chia A thành n tập hợp con A1, A2 ,..., An và thỏa mãn hai điều kiện sau: Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 
 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 
 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi 
 một khác màu.
Bài 10. Tính số các ô nhỏ nhất phải quét sơn trên một bảng để cho bất kỳ ô vuông 
 nào đó trên bảng này cũng chứa ít nhất 4 ô đó quét sơn.
Bài 11.
Cho sáu đường tròn có bán kính bằng nhau và có điểm chung. Chứng minh rằng tồn tại 
ít nhất một trong những đường tròn này chứa tâm đường tròn khác.
Bài 12.
Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp 0;1;2;3;4. Chứng 
minh rằng ta có thể chọn được 5 số trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này chia 
hết cho 5.
Bài 13.
Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ 4 điểm nào cũng có ít nhất 3 điểm 
thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm 
còn lại cùng thuộc 1 đường thẳng.
Bài 14.
 Trên biểu tượng Olympic có 9 miền được ký hiệu 
 , , ..., (như hình minh họa). Người ta điền 9 số a e k
1, 2, ..., 9 vào 9 miền trên sao cho mỗi miền được 
điền bởi một số, miền khác nhau được điền bởi số b d f h
khác nhau và tổng các số trong cùng một hình tròn c g
đều bằng 14.
 a. Tính tổng các số trong các miền b, d, f và h.
 b. Xác định cách điền thỏa mãn yêu cầu trên.
Bài 15. Bài 24. Tập hợp A 1;2;3;...;3n 1;3n ( n là số nguyên dương) được gọi là tập hợp cân đối 
nếu có thể chia A thành n tập hợp con A1, A2 ,..., An và thỏa mãn hai điều kiện sau: 
 i) Mỗi tập hợp Ai i 1,2,...,n gồm ba số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn 
lại.
 ii) Các tập hợp A1, A2 ,..., An đôi một không có phần tử chung.
a) Chứng minh rằng tập A 1;2;3;...;92;93 không là tập hợp cân đối.
b) Chứng minh rằng tập A 1;2;3;...;830;831 là tập hợp cân đối.
Bài 25.
Trong một hộp có 2010 viên sỏi. Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt 
phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi. Người nào bốc viên sỏi cuối 
cùng sẽ thua cuộc. Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người 
thắng cuộc.
Bài 26. Cho đa giác lồi A1 A2  A100 . Tại mỗi đỉnh Ak ( k 1,2,...,100 ), người ta ghi một số 
 thực ak sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 
 hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi 
 trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi 
 một khác nhau.
Bài 27.
Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
 1
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .
 3
Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
Bài 28. Cho 2014 số nguyên dương không lớn hơn 2014 và có tổng bằng 4028. Chứng minh 
rằng từ 2014 số đó luôn chọn được các số mà tổng của chúng bằng 2014 Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019đến 2019.Chứng minh rằng 
trong 2021số đôi một phân biệt được chọn bất kỳ từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có 
tổng bằng 0.
Bài 36.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,điểm M a;b được gọi là điểm nguyên nếu cả a và b là số 
nguyên. Chứng minh rằng tồn tại điểm I trong mặt phẳng tọa độ và 2019 số thực dương 
 R1; R2 ;.......; R2019 sao cho có đúng k điểm nguyên nằm trong đường tròn I;Rk với mọi 
 k là số nguyên dương không vượt quá 2019
Bài 37. Huyện KS có 33 công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của 
huyện KS hợp tác với ít nhất 97công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một 
công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các công ty của huyện KS.
Bài 38.
Hai phụ nữ An, Chi và hai người đàn ông Bình, Danh là các vận động viên. Một người 
là vận động viên bơi lội, người thứ hai là vận động viên trượt băng, người thứ ba là vận 
động viên thể dục dụng cụ và người thứ tư là vận động viên cầu lông. Có một ngày nọ, 
họ ngồi xung quanh một cái bàn vuông (mỗi người ngồi cạnh một người). Biết rằng
 (i) Chi và Danh ngồi cạnh nhau
 (ii) Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đôi diện Bình
 (iii) Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An
 (iv) Một người phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng
Hãy cho biết mỗi người là vận động viên chơi môn gì ?
Bài 39.
 1 1 1 1
Viết lên bảng 2019 số 1; ; ;....; ; .Từ các số đã viết, xóa đi 2 số bất kỳ x, y
 2 3 2018 2019
 xy
rồi viết lên bảng số (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện 
 x y 1
thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu ?
Bài 40. Trong một buổi tổ chức lễ tuyên dương các học sinh có thành tích học tập xuất 
sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bất kỳ đều bắt tay nhau. An chỉ bắt tay 
với những người mình quen. Biết rằng một cặp (hai người) chỉ bắt tay không quá một 
lần và có tổng cộng 420 bắt tay. Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi lễ 
tuyên dương đó
Bài 41.Chứng minh rằng tồn tại một bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1. Cho t1 1.2.3,t2 2.3.4,t3 3.4.5,....tn n n 1 n 2 . Chứng minh rằng 4Tn 1là số 
chính phương với Tn t1 t2 t3 ..... tn n là số tự nhiên khác 0)
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 50
Bài 1.
 Xét tập A 1;2;3;.........;2500và tập B 1;3;3.2;3.22 ;......;3.213
 Do 3.213 24576 250000 B  A
 Tập B có 15 phần tử. Do mỗi quả bóng được sơn một màu mà có 7 màu nên theo 
 nguyên lý Dirichle trong tập B tồn tại 3 quả bóng cùng màu.
 Giả sử 3 quả bóng được đánh số a b c thì a chia hết cho b, b chia hết cho c và 
 abc 18 17
 Vậy ta có điều phải chứng minh 
Bài 2.
 Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d ¥ * ). Giả sử không có 2 cạnh nào 
 của tứ giác bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c > d. (*)
 Do tứ giác lồi nên a < b + c +d
 a < b + c + d < 3a
 2a < a + b + c + d < 4a
 Từ giả thiết của bài toán suy ra a + b + c + d chia hết cho các số a, b, c, d nên ta có : a + 
 b + c + d = 3a (1)
 Đặt a + b + c + d = mb với m ¥ * (2)
 a + b + c + d = nc với n ¥ * (3)
 Do a > b > c n > m > 3 n 5, m 4
 Cộng (1), (2), (3) được 831 4.207 3
 207 4.51 3
 51 4.12 3
 12 4.3
Chú ý là tập 1;2;3 là cân đối nên theo nhận xét trên ta xây dựng được các tập hợp cân đối theo 
quy trình sau: 1;2;3 1;2;...;12 1;2;...;51 1;2;...;207 1;2;...;831.
Do đó tập A 1;2;3;...;831 là tập hợp cân đối (đpcm).
 Bài 4.
 Gọi các điểm là : A1; A2; A3; ; Ai; Ai + 1 ; A2012; A2013. Ta chia các cặp điểm như sau: 
 (A1; A2013); 
 ( A2; A2012); ( Ai; A2013 – i);(A1006; A1008) , và điểm A1007.
 Xét điểm A1007 với các cặp điểm đã cho, theo giả thiết trong mỗi cặp điểm 
 tồn tại một điểm Am sao cho đoạn thẳng A1007Am có độ dài nhỏ hơn 1. Không mất 
 tính tổng quát giả sử các điểm A1; A2; ; A1006 có khoảng cách đến điểm A1007 
 nhỏ hơn 1, suy ra các điểm A1; A2; ; A1006 nằm trong đường tròn tâm A1007 bán 
 kính bằng 1.
 Vậy tồn tại đường tròn có bán kính bằng 1 chứa 1007 điểm trong 2013 điểm đã 
 cho. (đpcm).
 Bài 5.
 *Gọi đường tròn ngoại tiếp ABC là (I), I nằm trong ABC 
 Nếu A, B, C nằm trên (O) thì (I) và (O) trùng nhau.
 *Nếu (O) đựng (I) hoặc (O) và(I) tiếp xúc trong với nhau thì đường kính của (I) nằm trong (O) suy ra 
 chu vi của (I) nhỏ hơn chu vi của (O).
 *Nếu (O) và (I) cắt nhau tại M, N. Vì ABC có ba góc nhọn nên số đo cung nhỏ MN< 1800 . Suy ra 
 cung lớn MN>1800, ắt tồn tại đường kính của (I) nằm trong (O). Vậy chu vi của (I) nhỏ hơn chu vi của 
 (O) Vẽ đường tròn O, 3 . Lấy một điểm P bất kỳ trên O .
Dựng hình thoi OAPB có cạnh bằng 1 và có đường chéo là OP.
Dễ thấy OA OB AB AC BC 1.
Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng và khác màu nhau.
Do đó P phải tô vàng. Từ đây suy ra tất cả các điểm trên (O ) phải tô vàng. Điều này 
trái với giả thiết vì dễ thấy tồn tại hai điểm trên (O ) có khoảng cách 1 đơn vị độ dài.
P/s: Số 1 có thể được thay bởi bất kỳ số thực dương nào.
Bài 8.
Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i.
 2 xi (xi 1)
Ta có: S= x1 + x2 + + x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C xi = Vậy tổng số 
 2
 x (x 1) x (x 1) x (x 1)
các cặp ô đỏ là A= 1 1 2 2 ... 13 13
 2 2 2
Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ 
nào có hình chiếu trùng nhau.
 2 x1(x1 1) x2 (x2 1) x13 (x13 1)
Vậy C 13=78 A= ... 
 2 2 2
 13 13
 2
  xi  xi 156
 i 1 i 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
 13 13 2
 2 2 s
 ( xi ) 13( xi ) s 156
 i 1 i 1 13
 s2-13s-2028 0 S 52
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = x13 = 4 (mỗi dòng có 4 ô được tô đỏ).
(Học sinh lập luận chỉ ra S 52 được 0,25đ)
Vẽ hình minh họa: (0,25đ)