Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 16: Số nguyên tố

 CHUYÊN ĐỀ 16:
 SỐ NGUYÊN TỐ 
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Để kết luận số a là số nguyên tố a 1 chỉ cần chứng rỏ a không chia hết cho mọi số 
nguyên tố mà bình phương không vượt quá a 
Để chứng tỏ một số tự nhiên a 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và khác a 
 - Cách xác định số lượng các ước của một số:
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M a x.b y ....cz thì số lượng các ước của 
M là x 1 y 1 .... z 1 
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố 
với số mũ chẵn. Từ đó suy ra
+Số chính phương chia hết cho 2, phải chia hết cho 22 
+Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32 
+Số chính phương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 34 
+Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52 
 - Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a p hoặc b p 
Đặc biệt nếu an  p thì a p 
+ ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không 
vượt quá nó.
+Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng : 4n 1 
+Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n 1 
Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố kém nhau 2 đơn vị.
Một số bằng tổng các ước của nó (không kể số đó) gọi là “ Số hoàn chỉnh”
Ví dụ 6 1 2 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh
 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k 1 hoặc 3k 2 k ¥ 
Nếu p 3k 2 thì p 4 3k 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài
Vậy p có dạng 3k 1 khi đó p 8 3k 9 chia hết cho 3. Nên p 8 là hợp số.
Bài 4. Có an 5 mà 5 là số nguyên tố nên a5 a2 25 
Mặt khác 15025 nên a2 15025 
Bài 5. Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau, ta suy ra a và b có ít nhất một ước 
số d 1.
 ad,bd a bd pd,d 1. Điều này vô lý vì p là một số nguyên tố
Vậy a,blà hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 6.
Ta có: a2 b2 a b a b 
Nếu a b 1 a b 1 a2 b2 là một hợp số, trái với giả thiết. Do đó ta có 
 a b 1 1 
Mặt khác a2 b2 là số nguyên tố a b (2)
Từ (1) và (2) a b 1.Vậy a2 b2 a b
Bài 7.
Số nguyên tố lớn hơn 3 có dạng k 1 k ¥ mà k 1nên bình phương của chúng có 
dạng 6m 1,m ¥
Do đó tổng bình phương của 3 số nguyên tố là 6n 33,n 1
Điều này chứng tỏ tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 là hợp số.
Bài 8.
Ta có 2n 5và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau
Suy ra a ¥ 2a ¥
 2 n 8 2n 5 21 21
Ta có: 2a 1 
 2n 5 2n 5 2n 5 Bài 18.Chứng minh rằng với số nguyên tố p 5không tồn tại đẳng thức 
 p 1 ! 1 pm với mọi m tự nhiên 
Bài 19.Cho a,b, p là 3 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta tìm được hai số k, l 
nguyên tố cùng nhau sao cho ak pl chia hết cho p
Bài 20.Cho ba số tự nhiên a,b,c sao cho các số q bc a, q ab c, r c a b đều là số 
nguyên tố. Chứng minh rằng hai trong ba số p,q,r bằng nhau.
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20
Bài 11.Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1, p2 ,......, pn , trong đó pn là số lớn nhất 
trong các số nguyên tố.
Xét số A p1 p2.......pn 1thì A chia hết cho mỗi số nguyên tố pi 1 i n đều dư 1 (1)
Mặt khác Alà hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là pn ), do đó A phải chia 
hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong số các số 
 pi 1 i n (2), mâu thuẫn với (1)
Vậy không thể có các hữu hạn nguyên tố (đpcm)
Bài 12. Gọi a n! 1.Do n 2 a 1.Một số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một 
ước nguyên tố. Gọi p là ước nguyên tố của a.Ta sẽ chứng minh rằng p n
Thật vậy, giả sử p n thì tích 1.2.3......n chia hết cho p, ta có n!chia hết cho p, mà a
chia hết cho p nên 1 chia hết cho p, vô lý 
Bài 13.Lấy n 3k 2 (k là số tự nhiên). Từ đẳng thức n2 x 2 p
Suy ra p n2 x2 n x n x 
Vì p nguyên tố và n x nên n x 1và n x p
Từ đó p 2n 1 3 2k 1 , điều không thể xảy ra 
Vậy số đó có dạng 3k 2 (có vô số như thế) không thể biểu diễn dưới dạng x 2 p Bài 17. Giả sử n 2m , thế thì nó có thể viết dưới dạng n tk , trong đó k là số lẻ nào 
 2t(k 1) 2t k 2 
đó lớn hơn 1. Suy ra 2n 1 2tk 1 2t 1 ..... 2t 1là hợp số 
Vậy điều giả sử là sai vì 2n 1theo đề bài là số nguyên tố 
Bài 18.Giả sử với m tự nhiên nào đó ta có đẳng thức p 1 ! 1 pm , thế thì p 1 2
chia hết cho p m 1 p 1 pm 1 pm 2 .... p 1 
 pm 1 1 pm 1 2 ..... p 1 m
Vì p-1 chia hết pt 1với mọi t 1,2,.....,m 1nên suy ra p 1chia hết m.
Vì thế m p 1& pm p p 1 p 1 p 1 1 ( p 1)! 1, điều này trái giả thiết 
Bài 19.
UCLN của các số b và p-a là d. Suy ra b kd, p a ld , trong đó k và l nguyên tố 
cùng nhau
 b p a b
Nhưng thế thì ak bl a. b. .p kp p(dfcm)
 d d d
Bài 20.Hai trong 3 số a,b,c có cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là hai số a,b
Vì bc cùng tính chẵn lẻ như b nên p bc a là chẵn. Nhưng p là số nguyên tố nên 
 p 2 a b 1. Khi đó 
 q 1b c c n 1 r
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30
 2
Bài 21.Giả sử p>2 là số nguyên tố. Chứng minh chỉ có thể biểu diễn bằng một cách 
 p
 2 1 1
dưới dạng với x, y là hai số nguyên dương khác nhau.
 p x y
Bài 22.Tìm tất cả các số tự nhiên N (theo hệ thập phân) thỏa mãn các điều kiện sau : Bài 22.Do aablà số nguyên tố, tức là 110a b là số nguyên tố ta có b 1,3,7 hoặc 9.
Từ điều kiện thứ nhất, ta có : N 11 100a b . Theo bảng số nguyên tố ta tìm được 
các cặp số nguyên tố aabvà abbthỏa mãn điều kiện thứ nhất sau đây :
 223;233 , 227;277 , 331;311 , 443;433 , 449;499 , 557;577 ,
 773;733 , 881;811 , 887;877 , 991;911 , 997;977 
Tương ứng với 100a b là các số sau :
 203 7.29; 207 9.23; 301 7.43 403 13.31,409 = số nguyên tố 
 507 3.132 ;703 19.37;801 32.89,807 3.269;901 17.53;907 là số nguyên tố 
Vậy N 8877 3.11.269
Bài 23.
Một số tự nhiên bất kỳ có 1 trong hai dạng : 2n,2n 1 n ¥ 
Nếu p 2n 1thì p 3 2n 42
Ta có p 3 3 và p 32 p 3là hợp số (trái với đề bài)
Do đó p 2n mà p nguyên tố nên p 2 p 3 5 nguyên tố 
Vậy p=2
Bài 24.Bất kỳ số tự nhiên nào cũng có một trong 3 dạng 3n;3n 1;3n 2 n ¥ 
Nếu p 3n p 8 3n 93(ktm)
Nếu p 3n 2 p 4 3n 63 (ktm). Do đó p 3n mà p nguyên tố nên p=3
 p 4 7; p 8 11 nguyên tố 
Vậy p=3
Bài 25.Giả sử a và b là hai số không nguyên tố cùng nhau 
Ta suy ra a và b phải có ít nhất một USC d>1 Suy ra b 12;8;6;4;3;2 và N pb. Vậy chỉ còn chọn ra số có dạng pb
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40
 2n 5
Bài 31.Chứng minh rằng phân số ,n ¥ là phân số tối giản 
 n2 5n 6
Bài 32.Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để phân số sau tối giản: 
 n 8
 ,n ¥ ,n 3
 2n 5
 a a a
Bài 33.Cho phân số tối giản . Hỏi các phân số và có tối giản hay không
 b a b ab b
Bài 34.Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số đó chẵn hay lẻ
Bài 35.Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số 
nguyên đó 
Bài 36.Tổng của hai số nguyên có thể bằng 2003 không ? Vì sao ? 
Bài 37.Tìm số nguyên tố p, sao cho p 2, p 4 cũng là các số nguyên tố
Bài 38.Cho p và p+4 là các số nguyên tố p 3 .Chứng minh rằng p+8 là hợp số.
Bài 39.Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n 1hoặc 
 4n 1
Bài 40.Cho p và p+2 là các số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng p 16
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40 
Bài 31.
Ta có thể viết : 2n 5 n 2 n 3 ; n2 5n 6 n 2 n 3 
 n 2 , n 3 là hai số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau 
Tổng của chúng : 2n 5 n 2 n 3 và tích của chúng n2 5n 6 n 2 n 3 
là hai số nguyên tố cùng nhau . Nên tổng 2 số bằng 2003 không xảy ra
Bài 37.Giả sử p là số nguyên tố .
Nếu p=2 thì p 2 4; p 4 6 đều không phải là số nguyên tố
Nếu p 3thì p có 1 trong 3 dạng :3k,3k 1,3k 2với k ¥ *
 *) p 3k p 3 p 2 5; p 4 7 đều là các số nguyên tố
 *) p 3k 1 p 2 3(k 1)3. Do đó p=2 là hợp số
 *) p 3k 2 p 4 3k 6 3 k 2 , do đó p+4 là hợp số
Vậy với p 3thì p 2, p 4 cũng là các số nguyên tố
Bài 38.Vì p là số nguyên tố và p 3, nên p có dạng 3k 1;3k 2với k ¥ *
Nếu p 3k 2 p 4 3 k 2 3nên là hợp số 
Nếu p 3k 1 p 8 3k 9 3 k 3 3nên là hợp số
Vậy số nguyên tố p có dạng p 3k 1và p 8 là hợp số.
Bài 39.Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư : 0,1,2,3. Do đó 
mọi số tự nhiên n đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng : 4k,4k 1,4k 2,4k 3 
với k ¥ *
Nếu n 4k n4 n là hợp số 
Nếu n 4k 2 n2 n là hợp số 
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k 1 hoặc 4k 1.Hay mọi số nguyên tố 
lớn hơn 2 đều có dạng 4n 1hoặc 4n 1với mọi n ¥ *
Bài 40. Vì p là số nguyên tố và p 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng 
 3k 1;3k 2 k ¥ * 
Nếu p 3k 1 p 2 3k 3 3 k 1 3nên là hợp số
Nếu p 3k 2 p 1 3k 3 3 k 1 3nên là hợp số (1) Nếu q 2 4 k(k 1) không tìm đc k
Vậy q 2, vì q thuộc (P), q 2 2,q 1
Từ (3) ta có : k 2và q k 1 k 2,q 3
 q k q 1
Thay kết quả trên vào (2) ta có : p 2.2 1 5 hoặc (ktm)
 2 k 1 k 1
Vậy cặp số q, p là (5;3)
Bài 42.Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có 5 số chẵn và 5 số lẻ (trong 5 số chẵn, có 
nhiều nhất 1 số nguyên tố chẵn là 2)
Vậy trong 10 số đó có không quá 6 số nguyên tố
+) Nếu k=0, từ 1 đến 10, có 4 số nguyên tố : 2;3;5;7
+) Nếu k=1, từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố : 2;3;5;7;11
+) Nếu k 1từ 3 trở đi sẽ không có số nguyên tố chẵn nào. Trong 5 số lẻ liên tiếp, ít 
nhất có 1 bội số của 3, do đó có ít hơn 5 số nguyên tố
Vậy với k=1, dãy tương ứng là k 1;k 2;......;k 10 có chứa số nguyên tố nhiều nhất (5 
số nguyên tố)
Bài 43. Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng 3x,3x 1,3x 1
Những số có dạng 3x x 1 là hợp số
Xét 2 số có dạng 3x 1:đó là số 3m 1 và số 3n 1 
Xét tích 3m 1 3n 1 9mn 3m 3n 1 3x 1
Tích trên có dạng : 3x 1
Lấy một số nguyên tố p có dạng 3x 1(với p bất kỳ P).Ta lập tích của p với tất cả 
các số nguyên nhỏ hơn p rồi trừ đi ta có :
 M 2.3.5.7.......p 1 3. 2.5.7.....p 1