Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 15: Số chính phương

 CHUYÊN ĐỀ 15:
 SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số 
 nguyên.
 2. Tính chất
 a) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9 , không 
 thể có chữ số tận cùng bằng 2,3,7,8
 b) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa 
 số nguyên tố với số mũ chẵn
 c) Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n 1.
 Không có số chính phương nào có dạng 4n 2hoặc 4n 3 n ¥ 
 d) Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n 1.
 Không có số chính phương nào có dạng 3n 2 n ¥ 
 e) Số chính phương tận cùng bằng 1hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số 
 chẵn.
 Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn
 Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ
 f) Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
 Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10
Bài 1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương
Bài 2.Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 1 n 2 1
 n2 3n n2 3n 2 1 * 
 2 2
Đặt n2 3n t t ¥ thì * t t 2 1 t 2 2t 1 t 1 n2 3n 1 
Vì n ¥ nên n2 3n 1 ¥ . Vậy n n 1 n 2 n 3 1là số chính phương.
Bài 3.
Ta có: 
 1 1
k k 1 k 2 k k 1 k 2 .4 .k k 1 k 2 . k 3 k 1 
 4 4 
 1 1
 k k 1 k 2 k 3 k k 1 k 2 k 1 
 4 4
 1 1 1 1 1
 S .1.2.3.4 .0.1.2.3 .2.3.4.5 .1.2.3.4 .... .k k 1 k 2 k 3 
 4 4 4 4 4
 1 1
 k k 1 k 2 k 1 k k 1 k 2 k 3 
 4 4
4S 1 k k 1 k 2 k 3 1
Theo kết quả bài 2 nên k k 1 k 2 k 3 1là số chính phương.
Bài 4.
a)A 224.102n 99.....9.10n 2 10n 1 9
 224.102n 10n 2 1 .10n 2 10n 1 9
 224.102n 102n 10n 2 10n 1 9
 225.102n 90.10n 9
 2
 15.10n 3 
Nên A là số chính phương
 n
b)B 111.....15555.....5 1 11.......1.10 5.111....1 1
 nchu so1 nchu so5 nchu so1 nchu so1
 10n 1 10n 1 102n 10n 5.10n 5 9
 .10n 5. 1 
 9 9 9
 2
 102n 4.10n 4 10n 2 
 là số chính phương (điều phải chứng minh)
 9 3 
Bài 5. Nếu một số chính phương M a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng 
của a là 4 hoặc 6 a2 a2 4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16,36,56,
 76,96 Ta có: 1 3 5 7 9 25 52 là số chính phương.
Bài 10.
 6 4 3 2 2 4 2 2 2
 n n 2n 2n n . n n 2n 2 n . n n 1 n 1 2 n 1 
 2 3 2 2 3 2 
 n . n 1 n n 2 n n 1 n 1 n 1 
 n2 n 1 2 n2 2n 2 
 2 2
Với n ¥ ,n 1 n2 2n 2 n 1 1 n 1 
Và n2 2n 2 n2 2 n 1 n2
Vậy n 1 2 n2 2n 2 n2 n2 2n 2không phải là một số chính phương.
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20
Bài 11.Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
 a)n2 2n 12 b)n n 3 
 c)13n 3 d)n2 n 1589
Bài 12.Tìm số tự nhiên n 1sao cho tổng 1! 2! 3! ...... n!là một số chính 
phương.
Bài 13.Có hay không số tự nhiên n để 2006 n2 là số chính phương.
Bài 14.Biết x ¥ và x 2.Tìm x sao cho x x 1 .x x 1 x 2 xx x 1 
Bài 15.Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n 1và 3n 1đều là các số chính 
phương.
Bài 16.Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n 1và 2n 1đều là các số 
chính phương thì n là bội số của 24.
Bài 17.Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 211 2n là số chính phương.
Bài 18.Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A 
một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Bài 19.Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Bài 20.Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên 
tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là số chính phương.
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Với n 4, ta có: 1! 2! 3! 4! 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 33còn 5!,6!,....,n!đều tận 
cùng bởi 0 do đó 1! 2! 3! ..... n!có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là 
số chính phương.
Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn đề bài là n 1,n 3
Bài 13.
Giả sử 2006 n2 là số chính phương thì 2006 n2 m2 m ¥ 
Từ đó suy ra m2 n2 2006 m n m n 2006
Như vậy trong hai số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m n m n 2m 2số m n,m ncùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m n và m n là hai số chẵn.
 m n m n 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
Nên điều giả sử sai.
Bài 14.
 2
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x x 1 x 2 xx x 1 
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0;1;4;5;;6;9nên x
chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1;2;5;6;7;0 (1)
Do x là chữ số nên x 9 , kết hợp với điều kiện đề bài ta có x ¥ ,2 x 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5;6;7
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x 7thỏa mãn đề bài, khi đó 762 5776
Bài 15.
Ta có 10 n 99 nên 21 2n 1 199 . Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên 
ta được 25;49;81;121;169tương ứng với số n bằng 12;24;40;60;84.
Số 3n 1bằng 37;73;121;181;253.Chỉ có số 121 là số chính phương.
Vậy n 40.
Bài 16.
Vì n 1và 2n 1là các số chính phương nên đặt n 1 k 2 ,2n 1 m2 k,m ¥ 
Ta có m là số lẻ
 m2 1 4a a 1 
 m 2a 1 m2 4a a 1 1 n 2a a 1 
 2 2
 nchẵn n 1lẻ k lẻ Đặt k 2b 1 b ¥ k 2 4b b 1 1 Ta có: 1000 abcd 9999 10 y 21và y chính phương y 16
 abcd 4096
Bài 20.
Gọi số phải tìm là abcd với a,b,c,d ¥ và 1 a 9,0 b,c,d 9
 abcd chính phương d 0;1;4;5;6;9, d nguyên tố nên d 5
Đặt abcd k 2 10000 32 k 100
 k là một số có hai chữ số mà k 2 có tận cùng bằng 5 nên k có tận cùng bằng 5
Tỏng các chữ số của k là một số chính phương k 45
 abcd 2025
Vậy số phải tìm là 2025.
ĐỀ BÀI TỪ BÀI SỐ 021 ĐẾN BÀI 030
Bài 21.Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau
Bài 22.Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng 
tổng lập phương các chữ số của số đó.
Bài 23. Tìm các số nguyên k để k 4 8k 3 23k 2 26k 10 là số chính phương.
Bài 24. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và 
viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính 
phương.
Bài 25.Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là 
số chính phương.
Bài 26.Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố thì p-1 và p+1 không thể 
là các số chính phương.
Bài 27.Giả sử N 1.3.5.7.....2007
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N 1;2N;2N 1không có số nào là 
số chính phương.
Bài 28. Cho a 1111.....1;n 100000...05
 2008chu so1 2007chu so0
Chứng minh ab 1 là số tự nhiên.
Bài 29.Chứng minh rằng : Số có dạng 2006ab không là số chính phương.
Bài 30.Chứng minh rằng:Số có dạng n6 n4 2n3 2n2 n ¥ ,n 1 không là số 
chính phương. Vì m,k ¢ m k 3 ¢ ,m k 3 ¢ nên
 m k 3 1 m k 3 1 m 1,k 3
 hoặc k 3
 m k 3 1 m k 3 1 m 1,k 3
Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì k 4 8k 3 23k 2 26k 10 là số chính phương
Bài 24.
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab a,b ¥ ,1 a,b 9 
Số viết theo thứ tự ngược lại: ba
 2 2
Ta có: ab ba 10a b 2 10b a 2 99 a2 b2 11 a2 b2 11
Hay a b a b 11
Vì 0 a b 8,2 a b 18nên a b11 a b 11
 2 2
Khi đó ab ba 32.112. a b 
 2 2
Để ab ba là số chính phương thì a b phải là số chính phương, do đó 
 a b 1
 a b 4
*Nếu a b 1kết hợp với a b 11 a 6,b 5,ab 65
Khi đó 652 562 332
*Nếu a b 4 kết hợp với a b 11 a 7,5(ktm)
Vậy số phải tìm là 65.
Bài 25.
 a và b lẻ nên a 2k 1;b 2m 1(k,m ¥ )
 a2 b2 2k 1 2 2m 1 2
 4 k 2 k m2 m 2 4t 2 t ¥ 
Không có số chính phương nào có dạng 4t 2 t ¥ do đó a2 b2 không thể là số 
chính phương.
Bài 26.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không chia hết cho 4 (1)
 a) Giả sử p 1 là số chính phương. Đặt p 1 m2 m ¥ 
Vì p chẵn nên p 1lẻ m2 lẻ mlẻ 2
 n2. n2 1 n 1 2 
 2
 n2. n2 1 n 1 2 n 1 2 
 n2 n 1 2 . n 1 2 1 
Với mọi số tự nhiên n 1,ta có:
 n 1 2 n 1 2 1 n2 2 n 1 n2
Vậy A không là số chính phương
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40
Bài 31.Tìm số chính phương abcd biết ab cd 1
Bài 32.Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A 
1 đơn vị thì ta được số chính phương B.Hãy tìm các số A và B
Bài 33.Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên 
tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. 
Bài 34.Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và 
số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính 
phương.
Bài 35. Tìm số các số nguyên n sao cho B n2 n 13 là số chính phương
Bài 36. Tìm n N* sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương.
Bài 37.
 a) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m n 1là một ước nguyên tố của 
 2 m2 n2 1. CMR m.n là số chính phương
Bài 38.
Cho số tự nhiên n 2 và số nguyên tố p thỏa mãn p 1chia hết cho n đồng thời 
 n3 1chia hết cho p . Chứng minh rằng n p là một số chính phương
Bài 39.
Tìm hai số nguyên tố p và q, biết rằng p q và p 4q đều là các số chính phương.