Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 14: Quỹ tích, tập hợp điểm

 CHUYÊN ĐỀ 14:QUỸ TÍCH – TẬP HỢP ĐIỂM
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Định nghĩa quỹ tích
Một hình H được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất (hay tập hợp 
của những điểm M có tính chất )khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất 
 Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất là một 
hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình H
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất 
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình H
 2. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học 
*Dạng chung của bài toán cực trị hình học
 "Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào 
đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích,..) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị 
nhỏ nhất ".và có thể được cho dưới các dạng:
 a) Bài toán về dựng hình
 Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, xác định vị trí của 
 dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất
 b) Bài toán chứng minh 
 Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), 
 dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.
 c) Bài toán về tính toán
 Ví dụ: Cho đường tròn O;R và điểm P nằm trong đường tròn có OP h.Tính 
 độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
*Hướng giải bài toán quỹ tích-tập hợp điểm
a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải 
chứng tỏ được :
+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m (m là hằng số)
+Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f m
b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải 
chứng minh được:
+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m (m là hằng số)
+Xác định vị trí của hình H trên miền D để f m
*Cách trình bày lời giải cho bài toán quỹ tích
Cách 1. Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi 
hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị 
của đại lượng đó của hình đã chỉ ra. y
 B0
 B
 I
 1 I'
 I2
 x
 O A A'
 I0 A0
 1 l
Phần thuận: Nối OI. Tam giác AOB vuông mà OI là trung tuyến nên OI AB 
 2 2
 l
(không đổi). Nên O cố định, điểm I cách điểm O một đoạn không đổi nên I nằm trên 
 2
 l
đường tròn tâm O bán kính 
 2
Giới hạn: Vì điểm A chỉ chạy trên Ox, điểm B chỉ chạy trên Oy và đoạn thẳng AB chỉ 
di chuyển trong góc xOy nên ta phải giới hạn quỹ tích
 - Khi điểm A đến trùng với điểm O thì điểm B đến vị trí B0 và điểm I đến vị trí I1
 trung điểm của đoạn thẳng OB0
 - Khi điểm B đến trùng với điểm O thì điểm A đến vị trí A0 và điểm I đến vị trí I 0
 trung điểm của đoạn thẳng OA0
 - Vậy khi đoạn thẳng AB di chuyển trong góc xOy thì điểm I nằm trên cung tròn 
 l
 I I thuộc đường tròn tâm O bán kính ,tức là cung phần tư đường tròn nằm 
 0 1 2
 trong góc x· Oy.
 l
Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I I . Quay cung tròn tâm I ', bán kính ,
 0 1 2
cắt Ox ở A và Oy ở B'
Ta có: OI ' A'cân nên I· 'OA' I·' A'O , do vậy O· I ' A' 1800 2.I· 'OA'
Tương tự : O· I 'B' 1800 2.I·'OB'
 O· I ' A' O· I 'B' 3600 2.900 1800
Suy ra ba điểm A',I ',B' thẳng hàng. I 'K  AB mà K là trung điểm của AB nên I 'K là đường trung trực của AB,cho ta : 
 I ' A I 'B (2)
 1
Từ 1 , 2 suy ra I 'B M 'N ' I 'M ' I 'N '
 2
Hay tam giác M 'BN 'vuông góc tại B. Vậy N 'B  M 'B
Kết luận: Tập hợp các điểm N là tia Hz nằm trong góc xOy , vuông góc với cạnh Ox
tại điểm H, sao cho OH 2OK (K là trung điểm đoạn thẳng AB)
 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10
Bài 1.
Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn (P không trùng với O). Xác định 
vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2. Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6cm,8cm,hình nào có diện 
tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó.
Bài 3. Cho đoạn thẳng AB có độ dài là 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax,By
vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông 
góc với nhau và cắt Ax,By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí của các điểm C,D
sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác đó.
Bài 4.Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm 
C thuộc tia Oy sao cho OB OC và tổng AB AC là nhỏ nhất.
Bài 5.Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD.Xác định vị trí các điểm F 
thuộc cạnh AB,G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi 
nhỏ nhất.
Bài 6.Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến chung bất kỳ 
CBD (B nằm giữa C và D)cắt các đường tròn (O) và (O’)tại C và D. Xác định vị trí 
của cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn nhất 
Bài 7.Cho đường tròn O và một điểm P nằm trong đường tròn. Xác định dây AB đi 
qua P sao cho OAB có giá trị lớn nhất 
Bài 8.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Trên các cạnh AB,BC,CD,DA lấy 
theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE BF CG DH.Tính độ dài AE sao cho 
tứ giác EFGH có chu vi lớn nhất. 
Bài 9.Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB 6cm, AC 8cm.M 
là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC. Gọi D, E là chân các đường vuông góc kẻ từ M 
đến AB, AC. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME
Bài 10.Cho đoạn thẳng AB,điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ các đường tròn 
có đường kính MA và MB. Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình 
tròn có giá trị nhỏ nhất
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10 2
Vậy max SABCD 24cm .Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi có diện tích 
 24cm2
Bài 3.
 x D
 1 2
 H
 B
 A M
 K
Gọi K là giao điểm của CM ,DB
Ta có: MA MB, µA Bµ 900 , ·AMC B· MK
 MAC MBK MC MK
 µ ¶
Mặt khác DM  CK DCK cân D1 D2
Kẻ MH  CD
 MHD MBD MH MB a
 1 1 1
 S CD.MH AB.MH .2a.a a2
 MCD 2 2 2
 2 · 0 · 0 2
 SMCD a CD  Ax AMC 45 ,BMD 45 min SMCD a
Vậy các điểm C,D được xác định trên Ax,By sao cho AC BC a
Bài 4. 1
IK là đường trung bình của EFG IK FG
 2
 1
KM là đường trung bình của EGH KM EH
 2
Do đó, chu vi EFGH EF FG GH HE 2 AI IK KM MC 
Ta lại có: AI IK KM MC AC
Suy ra chu vi EFGH 2AC (độ dài AC không đổi)
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A,I,K,M ,C thẳng hàng
Khi đó ta có: EH / / AC,FG / / AC, ·AEI E· AI ·ADB nên EF / /DB , tương tự 
 GH / /DB.Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các 
đường chéo của hình chữ nhật ABCD.
Bài 6.
 A
 D
 O'
 O
 m
 n
 C
 B D
 C
 1 1
 C sd ¼AmB,D sd ¼AnB số đo các góc ACD không đổi
 2 2
 ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất, chẳng hạn AC là lớn nhất. 
AC là dây của đường tròn (O), do đó AC lớn nhất khi AC là đường kính của đường 
tròn (O), khi đó AD là đường kính của đường tròn (O’). Cát tuyến CBD ở vị trí C 'BD'
vuông góc với dây chung AB
Bài 7. A
 E
 D
 C
 M
 B
ADME là hình chữ nhật. Đặt AD x ME x
 EM CE x CE 4 4
 ME / / AB CE x AE 8 x . Ta có :
 AB CA 6 8 3 3
 4 4 2 4 2
 SADME AD.AE x. 8 x 8x x x 3 12 12
 3 3 3
 2
 SADME 12cm x 3
Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12cm2 , khi đó D là trung điểm của AB, M 
là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC
Bài 10.
 A B
 O M O'
Đặt MA x,MB y . Ta có: x y AB 0 x, y AB 
Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của 2 hình tròn có đường kính MA,MB . Ta có :
 2 2
 x y x2 y2
 S S ' .
 2 2 4
 2 2
 x y x y AB2
Ta có bất đẳng thức x2 y2 nên S S ' . .
 2 8 8
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y
 AB2
Do đó min S S ' . . Khi đó M là trung điểm của AB.
 8
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20
Bài 11.
 A
 B
 D
 E
 H
 C
 B M
 SADME
 S ADME lớn nhất lớn nhất. Kẻ BK  AC cắt MD ở H
 SABC
 1 SADME MD HK
 SADME MD.HK;SABC AC.BK; 2. .
 2 SABC AC BK
Đặt MB x,MC y
 MD BM x HK MC y
 MD / / AC ; 
 AC BC x y BK BC x y
 xy 1 SADME 2xy 1
Theo bất đẳng thức 2 2 
 x y 4 SABC x y 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y
 1
Vậy Max S S , khi đó M là trung điểm của BC
 ADME 2 ABC
Bài 12.
 A
 B H C