Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 13: Phương trình, hệ phương trình vô tỷ, phi tuyến

 CHUYÊN ĐỀ 13:
 PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ - PHI TUYẾN
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Các dạng toán của phương trình vô tỷ 
 f (x) 0
1/ f (x) g(x) g(x) 0
 f x g x 
 g(x) 0
2 / f (x) g(x) 2
 f (x) g x 
 f (x) 0
3 / f (x) g x h x g x 0
 f x g x 2 f x .g x h x 
 f x 0
4 / 2n f x 2n g x g(x) 0 n ¥ * 
 f x g x 
 g(x) 0
 2n 
5 / f x g x 2n n ¥ * 
 f x g x 
6 / 2n 1 f (x) 2n 1 g(x) f x g(x) (n ¥ *)
 2n ` 2n 1
7 / f (x) g(x) f x g x n ¥ * 
 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Phương pháp 1. Nâng lên lũy thừa
Bài 1. Giải phương trình: x 1 x 1 (1) 
 x 1
 x 1 0 x 1 
Giải: 1 2 2 x 0 x 3 
 x 1 x 1 x 3x 0 
 x 3
Bài 2. Giải phương trình: x 2x 3 0 Giải: 1 x 2 2 8 x x 2 8 x 
Nếu x 2: 1 2 x 8 x (vô nghiệm)
Nếu x 2: 1 x 2 8 x x 5 (thỏa mãn). Vậy x 5. 
Bài 2. Giải phương trình: 
 x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2) 
 x 1
 2 
 x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
Giải: 
 x 1
 (*)
 x 1 1 x 1 3 2. x 1 1
Đặt y x 1 y 0 phương trình (*) đã cho trở thành: 
 y 1 y 3 2 y 1 
-Nếu 0 y 1: y 1 3 y 2 2y y 1 (loại)
-Nếu 1 y 3: y 1 3 y 2y 2 y 3 
-Nếu y 3: y 1 y 3 2y 2 (vô nghiệm)
Với y 3 x 1 9 x 8(tm) 
Vậy x 8. 
 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
Đề bài từ bài 01 đến bài 10
 xy x y 71
 E x2 y2
Bài 1. Cho x, y thỏa 2 2 (I) . Tính 
 x y xy 880
Bài 2. Giải phương trình: x 2 10 x x2 12x 40 
Bài 3. Giải phương trình x 1 x x(1 x) 1
Bài 4. Giải phương trình: x x 8 3 x 1 0.
Bài 5. Giải phương trình: x2 x 1 x x2 1 x2 x 2
 42 60
Bài 6. Giải phương trình: 6 (1)
 5 x 7 x
Bài 7.Giải phương trình: 5 1 x3 2 x2 2 (1)
Bài 8.Giải phương trình: 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 1 
Bài 9. Giải phương trình : x2 2x 3 2x2 x 1 3x 3x2 (1)
Bài 10. Giải phương trình: x x 2 x x 5 x x 3 (1) Bổ đề: Với a 0;b 0 a b a b 2 a b 2 a b 2 a2 b2 
Điều kiện: 2 x 10 , ta có: x 2 10 x 2 x 2 10 x 4 mà 
 x2 12x 40 x2 12xx 36 4 x 6 2 4 4. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 
 x 2 10 x
 x 6. Vậy phương trình có nghiệm x 6. 
 x 6 0
Bài 3.
 a2 1
ĐKXĐ 0 ≤ x ≤ 1 Đặt 0 < a = x 1 x x(1 x) 
 2
 a2 1
+ PT mới là : a + 1 a2 2a 3 0 (a 1)(a 3) 0 
 2
 a = { -3 ; 1 } => a = 1 > 0
 x 1 x 1 
+ Nếu a = 1 = > x 1 x 2 x(1 x) 1 x(1 x) 0 
 x = { 0 ; 1 } ( t/m)
KL : Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là x = 0; x = 1
Bài 4.
Giải phương trình: x x 8 3 x 1 0. (1)
ĐK: x ≥ 8
 (1) 2x 2 x 8 6 x 2 0
 (x 8 2 x 8 1) (x 6 x 
 ( x 8 1)2 ( x 3)2 0(2)
 2
 x 8 1 0
 2 2
Ta có: x 8 1 x 3 0 
 2 
 x 3 0
 x 8 1 0
Do đó (2) x 9 (thỏa mãn)
 x 3 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là {9}
Bài 5.
Vì x2 x 1 0và x x2 1 0nên áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái 
ta được: 
 x2 x 1 1 x2 x x x2 1 1 x x2 2
 x2 x 1 .1 1 ; x x2 1 .1 (2)
 2 2 2 2
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: a
Với 2thì phương trình (1) vô nghiệm
 b
 a 1 x 1
 2
Với thì 2 x 1 x x 1 2 .
 b 2 x 5x 3 0
 5 37 5 37
Phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện x ; x 
 1 2 2 2
 3
 x 
 2x 3 0 2 3 5
Bài 8. Điều kiện tồn tại phương trình: x (*)
 5 2x 0 5 2 2
 x 
 2
Vế phải của (1): 3x2 12x 14 3 x2 4x 4 2 3 x 2 2 2 2 . Đẳng thức xảy ra 
khi và chỉ khi x 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thỏa mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):
 2x 3 5 2x 12 12 2x 3 5 2x 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 2x 3 5 2x x 2
Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x 2là nghiệm của phương trình.
 2x2 x 0
Bài 9. Điều kiện 2
 2 
 1 3x 3x 0
 2
Vế trái của phương trình 1 : x2 2x 3 x 1 2 2 với mọi x ¡ .đẳng thức xảy ra 
khi x 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với mọi x thỏa mãn (2) thì vế phải của 
phương trình (1) thỏa:
 2x2 x 1 3 3x2 12 12 2x2 x 1 3x 3x2 2 4x 2x2 4 x 1 2 2
Đẳng thức xảy ra khi 2x2 x 1 3x 3x2 . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì 
cả hai vế của phương trình (1) đều bằng 2. Nên x 1
Bài 10.
Điều kiện để phương trình có nghĩa là: 3 x 0;0 x 5. Bình phương hai vế của 
phương trình (1) ta được: x x 2 x x 5 2 x2. x 2 . x 5 x x 3 
 2
 2 x2. x 2 x 5 10x x2 4x2 x 2 x 5 10x x2 
 4x2. x 2 x 5 100x2 20x3 x4 4x2. x2 7x 10 100x2 20x3 x
 3x4 8x3 60x2 0 x2. 3x2 8x 60 0 x 2 x 5 1 x 2 x 5 3 x 2 x 5 
 3 1 x 2 x 5 3 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 1 0
 x 5 1 x 2 1 x 2 0 x 5 1 1 x 2 0
 x 5 1 0 x 5 1 x 4
 1 x 2 0 x 2 1 x 1
Do x 2 x 4(ktm).Vậy S 1
Bài 12.
 25 x2 0 x2 25
Điều kiện x2 10 10 x 10 *
 2 2 
 10 x 0 x 10
Đặt 0 a 25 x2 ; 10 x2 b 0 a2 b2 25 x2 10 x2 15.Nên phương 
 a b 3 a b 3 a 4
trình (1) trở thành: 2 2 
 a b 15 a b 5 b 1
Nếu b 1 10 x2 1 x2 9 x 3(tm)
Nếu a 4 25 x2 16 x2 9 x 3(tm)
Vậy S 3
Bài 13.
 1
Điều kiện x; y; z .Nhân mỗi phương trình với 2 ta có:
 4
 2x 2y 2 4z 1
 2y 2z 2 4x 1 4x 4y 4z 2 4x 1 2 4y 1 2 4z 1 0
 2z 2x 2 4y 1
 4x 1 2 4x 1 1 4y 1 2 4y 1 1 4z 1 2 4z 1 1 0
 2 2 2 1
 4x 1 1 4y 1 1 4z 1 1 0 x y z 
 2
Bài 14.
Giả sử bộ ba số x; y; z là nghiệm của hệ phương trình trên thì y, z, x và z, x, y cũng 
là nghiệm của phương trình này. Giả sử x là số lớn nhất x y; x z 4 3 3
Do điều kiện x ; y nên phương trình * x y 0
 4 4
 xy 12 
(do 0 x y
 x y y x 4x 3 4y 3 
Thay x y vào phương trình ta có: 3x x 3 4x 3 x3 4x 3 x3 4x 3 0
 x 1
 x 1 0
 x 1 x2 x 3 0 
 2 1 13
 x x 3 0 x 
 1,2 2
 1 13
So với điều kiện x (ktm)
 2
 x y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 1 13
 x y 
 2
Bài 17.
Từ phương trình (2) suy ra 
 x2 2x 1 y2 2y 1 11 0 x 1 2 y 1 2 11 0
Từ phương trình (1) suy ra x 3(y 1) nên
 3y 3 1 2 y 1 2 11 0 3y 2 2 y 1 2 11 0
 9y2 12y 4 y2 2y 1 11 0
 10y2 10y 6 0 5y2 5y 3 0. Giải phương trình bậc hai ẩn y ta được hai 
 5 85
nghiệm y 
 10
 5 85 15 3 85
Nếu y x 3 y 1 ;nếu 
 10 10
 5 85 15 3 85
 y x 3 y 1 
 10 10
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
 15 3 85 5 85 15 3 85 5 85 
 x; y ; ; ; 
 10 10 10 10  
Bài 18.
Hệ phương trình (*) tương đương 8
Pt có nghiệm: t1 = ( loại ) ; t2 = 3
 3
Với t = 3 x2 x 3 3 x = 2 hoặc x = 3 
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30
Bài 21. Giải phương trình x2 2x 3 2 2x2 4x 3 
Bài 22.Giải phương trình:
 a. x2 10x 27 6 x x 4
 b. x2 2x x x 2 x 4 0
Bài 23.
Giải phương trình: x 3 6 x (x 3)(6 x) 3
Bài 24. Giải phương trình 3 x 2 3 7 x 3
Bài 25. Giải phương trình: 4 x2 1 3 2x2 7x 3 14x.
 x2 4x x 4 
Bài 26. Giải phương trình : x 5 
 x 1 x 1 
Bài 27.Giải phương trình: 3 3x2 x 2001 3 3x2 7x 2002 3 6x 2003 3 2002
Bài 28.Giải phương trình: 3 x 1 3 x 1 3 5x (*)
 1 x 2x x2
Bài 29.Giải phương trình: * 
 x 1 x2
 a 1
Bài 30.Tính giá trị của biểu thức trong đó a là nghiệm của phương trình
 a4 a 1 a2
 4x2 2x 2 0
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30
Bài 21.
Ta có 2x2 4x 3 2(x 1)2 1 1 nên tập xác định của phương trình là R
Phương trình đã cho tương đương với 
 2x2 4x 3 4 2x2 4x 3 3 0 
Đặt y 2x2 4x 3 1 thì phương trình đã cho trở thành
 2 y 1
 y 4y 3 0 (thỏa mãn điều kiện)
 y 3
Với y 1 ta có 2x2 4x 3 1 2x2 4x 3 1 x 1 
 2 2 x 1
Với y 3 ta có 2x 4x 3 3 2x 4x 3 9 
 x 3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x 1,x 1,x 3 
Bài 22.