Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 12: Phương trình bậc hai, định lý Viet

 CHUYÊN ĐỀ 12:
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VIET
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho phương trình bậc hai : ax2 bx c 0 a 0 * 
 b b 
Có hai nghiệm x ; x 
 1 2a 2 2a
Suy ra :
 b b 2b b
 x x 
 1 2 2a 2a a
 c
 x x 
 1 2 a
 b c
Vậy đặt : Tổng nghiệm là S: S x x , tích nghiệm là P x x 
 1 2 a 1 2 a
Cách giải phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 a 0 , b2 4ac
 b b 
*Nếu 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x ; x 
 1 2a 2 2a
 b
*Nếu 0 phương trình có nghiệm kép x x 
 1 2 2a
*Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm 
*Các hệ thức thường gặp
 2 2 2 2 2 2
 gx1 x2 x1 2x1x2 x2 2x1x2 x1 x2 2x1x2 S P
 2 2
 gx1 x2 x1 x2 4x1x2 S 4P
 2 2
 gx2 x1 x1 x2 4x1x2 S 4P
 2 2 2 2
 gx1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 . x1 x2 4x1x2 S. S 4P
 2
 gx3 x3 x x x2 x x x2 x x . x x 3x x S. S 2 3P
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 2 2 2 2 2
 gx4 x4 x2 x2 x2 x2 2x2 x2 x x 2x x 2x2 x2 S 2 2P2 2P2
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
Đề bài từ bài 001 đến bài 010
Bài 1. . Cho phương trình: x2 2(3 m)x 4 m2 0 (x là ẩn, m là tham số) (1). (1)  x2 4x 5 0 (2)
Phương trình (2) là phương trình bậc hai có a – b + c = 1 – (–4) + (–5) = 0 nên (2) có hai 
nghiệm
 5
 x 1; x 5. 
 1 2 1
Vậy tập nghiệm của (1) là {–1;5}.
b. * Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
⇔ ∆’ = (3 – m)2 + (4 + m2) > 0
⇔ 2m2 – 6m + 13 > 0
 2 3 9 17
⇔ 2 x 2. x 0 
 2 4 2
 2
 3 17
⇔ 2 x 0 (luôn đúng ∀x)
 2 2
 2
Do đó (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi–ét x1 + x2 = 2(3 – m); x1x2 = –4 – m
*Ta có:
 2 2 2
 | x1 | | x2 | 6 | x1 | | x2 | 36 x1 x2 2 | x1 |.| x2 | 36
 2
 (x1 x2 ) 2x1x2 2 | x1x2 | 36 
 2(3 m)2 2( m2 4) 2 | m2 4 | 36
 4(3 m)2 2( m2 4) 2(m2 4) 36 (do m2 4 0m | m2 4 | m2 4) 
 2 3 m 3 m 0
 (3 m) 9 . 
 3 m 3 m 6
Vậy m ∈ {0;6} là giá trị cần tìm.
Bài 2.
a. Với m = 3 ta được phương trình x2 – 6x + 8 = 0
Tính được ∆’ = 1
Kết luận được phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 2; x2 = 4.
b. Khẳng định được phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :
 2
x1 = 2; x2 = m + 1 khi m ≠ 1 và m ≠ -1
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1 thì m2 + 1 > 1  m ≠ 0.
Kết luận: Với m ≠ -1; m ≠ 0 và m ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu đầu bài.
Bài 3.
 x2 (5m 1)x 6m2 2x 0
a)Ta có
 [ (5m 1)]2 4(6m2 2m)
 25m2 10m 1 24m2 8m
 m2 2m 1
 (m 1)2 0m x1 x2 2m 1 
Theo hệ thức Vi-et ta có: 
 2
 x1x2 m 1
 2 2 2
Ta có: P x1 x2 x1 x2 2x1x2
 2 2 2
 2m 1 2 m 1 2m 4m 3
 2 m2 2.m.1 1 1 3 2 m 1 2 1 1, m
Dấu " "xảy ra khi m 1 0 m 1(tm)
Vậy Pmin 1 khi m 1
Bài 6.
 2
 a) m 5 4.1. 2m 6 
 m 5 2 4. 2m 6 
 m2 10m 25 8m 24
 m2 2m 1 m 1 2 0;m
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm
b) Với mọi m,phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et
 b
 S x x m 5
 1 2 a
 c
 P x x 2m 6
 1 2 a
 2 2
Ta có: x1 x2 35
 2
 x1 x2 2x1x2 35
 m 5 2 2. 2m 6 35
 m2 10m 25 4m 12 35 0
 m 3 31
 m2 6m 22 0 
 m 3 31
Vậy m 3 31; 3 31
Bài 7.
 a) Phương trình (1) có nghiệm:
 ' 0 1 m 2 0 3 m 0 m 3
 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi m 3 a) m 1 2 4.1. m 2 m 1 2 4. m 2 m2 2m 1 4m 8
 m2 2m 9 m2 2m 1 8 m 1 2 8 0 với mọi m
 b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Viet:
 b
 S x x m 1
 1 2 a
 c
 P x x m 2
 1 2 a
 c) Ta có 
 2 2 2 2 2
 A x1 x2 6x1x2 x1 x2 8x1x2 m 1 8 m 2 m 2m 1 8m 16
 m2 6m 17 m 3 2 8 8 m 
Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi m 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là MinA 8 m 3
Đề bài từ bài 011 đến bài 020
Bài 11.Cho phương trình x2 2 m 1 x 4m 0(x là ẩn số, m là tham số)
 a) Giải phương trình với m 1
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 12. Cho phương trình x2 2x m2 1 0 (m là tham số)
 a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
 b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m
 c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa x1 3x2
Bài 13.Cho phương trình: x2 m 2 x m 1 0(m là tham số)
 a) Chứng minh: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
 2 2
 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có x1 x2 13 x1x2
Bài 14. Cho phương trình x2 x m 2 0 (với m là tham số, x là ẩn số)
 a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
 3 3
 b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x1x2 x1 x2 10
Bài 15. Cho phương trình x2 4x m 3 0(x là ẩn)
 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
 2 2 2 2
 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x1 x2 x1 x2 51
Bài 16. Cho phương trình : x2 2 m 3 x m2 3m 1 0(x là ẩn số, m là tham số)
 a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m
 b) Tìm m để A x1 x2 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 17. Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 2mx 2m 1 0 (1) b
 S x x 2
 1 2 a
 c m2 1
 P x x m2 1
 1 2 a 1
 c) Ta có: x1 x2 2(cmt)và x1 3x2 nên ta có hệ phương trình sau :
 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 3
 (*)
 x1 3x2 x1 3x2 0 x1 3x2 0 2x2 2 x2 1
 2
Thay * vào biểu thức x1x2 m 1ta được:
 3 .1 m2 1 m 2
Vậy m 2 là các giá trị cần tìm 
Bài 13.
 a) Ta có m 2 2 4.1. m 1 m2 4m 4 4m 4 m2 8 0,với mọi m
Vì 0,với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
 b) Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Viet
 b m 2 
 S x1 x2 (m 2)
 a 1
 c m 1
 P x x m 1
 1 2 a 1
Theo đề bài, ta có:
 2 2 2 2
 x1 x2 13 x1x2 x1 x2 2x1x2 13 x1x2 0 x1 x2 3x1x2 13 0
 2 2
 m 2 3 m 1 13 0 m 2 3 m 1 13 0
 2 2 m1 2
 m 4m 4 3m 3 13 0 m m 6 0 
 m2 3
Bài 14.
 a) Ta có 12 4.1 m 2 1 4m 8 9 4m
 9
Để phương trình có nghiệm 0 9 4m 0 4m 9 m 
 4
 9
Vậy m thì phương trình có nghiệm
 4
 9
 b) Với m thì phương trình trên có hai nghiệm x , x thỏa mãn hệ thức Vi-et:
 4 1 2 8
Để phương trình luôn có nghiệm với mọi m ' 0 9m 8 0 m 
 9
 8
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m 
 9
 8
 b) Theo câu a, với mọi m thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Viet:
 9
 b 2 m 3 
 S x1 x2 2 m 3 
 a 1
 c m2 3m 1
 P x x m2 3m 1
 1 2 a 1
Ta có:
 A x1 x2 1 x2 x1x2 x1 x2 x1x2 x1 x2 
 2 2 2 2 1 27
 m 3m 1 2 m 3 m 3m 1 2m 6 m m 7 m m 
 4 4
 2
 1 27 27
 m m 
 2 4 4
 1
Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi m 
 2
 27 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A: MinA m 
 4 2
Bài 17.
 a) Ta có: ' m 2 1. 2m 1 m2 2m 1 m 1 2 0 m
Do ' 0 m nên phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m
 b) Theo câu a, với mọi m phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Viet:
 b
 S x x 2m
 1 2 a
 c
 P x x 2m 1
 1 2 a
Ta có: A 2 x2 x2 5x x 2 x x 2 2x x 5x x
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2 2 2 2
 2 x1 x2 4x1x2 5x1x2 2 x1 x2 9x1x2 2 2m 9. 2m 1 8m 18m 9
Do A 27 nên thỏa:
 8m2 18m 9 27
 8m2 18m 18 0