Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 1: Bất đẳng thức

 CHUYÊN ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Các Ví dụ cơ bản 
 1
 Vd1:Cho a 3, tìm giá trị nhỏ nhất của S a 
 a
 1 8a a 1 24 a 1 10
 Giải : S a 2 . 
 a 9 9 a 9 9 a 3
 1
Vd2:Cho a 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của S a 
 a2
 1 6a a a 1 12 a a 1 12 3 9
 3
Giải : S a 2 2 3 . . 2 
 a 8 8 8 a 8 8 8 a 8 4 4
 1
Vd3: Cho a,b>0 và a b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của S ab 
 ab
Giải: 
 1 1 15 1 15 17 1
 S ab ab 2 ab. 2 a b 
 ab 16ab 16ab 16ab a b 4 2
 16 
 2 
Vd4: Cho a,b,c 0và a 2b 3c 20.Tìm giá trị nhỏ nhất của :
 3 9 4
 S a b c 
 a 2b c
Giải: Dự đoán a 2,b 3,c 4
 12 18 16 12 18 16 
 4S 4a 4b 4c a 2b 3c 3a 2b c 
 a b c a b c 
 20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13
 1 1 1
Vd5: Cho x, y, z 0và 4.Tìm giá trị lớn nhất của 
 x y z
 1 1 1
 P 
 2x y z x 2y z x y 2z
Giải :Ta có : 2 2 2
 A 
 6x 5 9x2 9x2 6x 5 3x 1 2 4
Ta thấy 3x 1 2 0 3x 1 2 4 4
 1 1 1 1
Do đó (theo tính chất a b thì với a,bcùng dấu)
 3x 1 2 4 4 a b
 2 2 1
Do đó A 
 3x 1 2 4 4 2
 1 1
 Min A 3x 1 0 x 
 2 3
 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 01. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
 2
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca 2 8a2b2c2 a2 b2 c2 
Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
 2
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 c2 
 . . 
 2ab 2bc 2ca ab bc ca 
Không thể đánh giá bất đẳng thức trên bằng bđt Co si hay Bunhia vì sẽ thu được 
đánh giá ngược chiều nhau. Do đó ta hướng đến phép biến đổi tương đương. Khi 
đó bất đẳng thức trên tương đương với:
 2
 a b 2 b c 2 c a 2 a b 2 b c 2 c a 2 
 1 . 1 . 1 1 
 2ab 2bc 2ca 2 ab bc ca 
Đến đây để có cách đánh giá dễ dàng hơn ta có thể sắp xếp thứ tự các biến, không 
mất tính tổng quát ta có thể giả sử a b c, khi đó ta được:
 a b 2 b c 2 a b 2 b c 2 a c 2
 1 1 1 1 
 2ab 2bc 2ab 2bc 2 ab bc 
Như vậy ta cũng cần đánh giá vế phải về đại lượng a c 2 
Ta có: a b 2 b c 2 a c 2 2 a b b c a c 2 
 2
 a c 2 c a 2 c a 2 
Bài toán quy về chứng minh: 1 1 1 
 2 ab bc 2ca ab bc ca 
Áp dụng Bđt Bunia ta được: Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 ab bc ca a b c
 c c a a a b b b c c a a b b c
Giải:
 c a
Để ý là 1 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại 
 a c c a
 ab c bc a ca b
thành: 3 
 c c a c a a a b a b b b c b c
 c2 ab a2 bc b2 ca c2 ab a2 bc b2 ca
Hay 33 . . 
 c c a a a b b b c c c a a a b b b c 
 c2 ab a2 bc b2 ca
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được: . . 1 
 c c a a a b b b c 
Hay ta cần chứng minh a2 bc b2 ca c2 ab abc a b b c c a 
 2
Ta có: a2 bc b2 ca ab a c b c c a b a b , do đó ta được:
 a2 bc b2 ca ab a c b c 
Hoàn toàn tương tự ta được:
 b2 ca c2 ab bc a b a c ; c2 ab a2 bc ca a b b c 
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
 a2 bc b2 ca c2 ab abc a b b c c a 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. 
 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
 Đề bài từ bài 01 đến bài 10.
Bài 01. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng mnh rằng:
 1 1 1 1 3
 . 
 3a2 4b2 5 3b2 4c2 5 3c2 4a2 5 2 abc
Bài 02. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 a3 b3 c3 3abc ab 2 a2 b2 bc 2 b2 c2 ca 2 c2 a2 Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại a b c 1. Trước hết ta viết lại 
bất đẳng thức cần chứng minh thành:
 abc abc abc 3
 3a2 4b2 5 3b2 4c2 5 3c2 4a2 5 2
Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ rất tự nhiên là đánh giá làm mất các dấu 
căn bậc hai, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức 
Bunhiacopxki là:
 abc abc abc
 3a2 4b2 5 3b2 4c2 5 3c2 4a2 5
 abc abc abc 
 3. 2 2 2 2 2 2 
 3a 4b 5 3b 4c 5 3c 4a 5 
Đến đây ta quy bài toán về chứng minh : 
 abc abc abc 1
 3a2 4b2 5 3b2 4c2 5 3c2 4a2 5 4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3a2 4b2 5 2ab 4a 6b 
 abc abc
Do đó ta được . Cũng theo bất đẳng thức Cô si ta 
 3a2 4b2 5 2ab 4a 6b
được: 
 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
 . . 
 2ab 4a 6b 4 2ab 4a 6b 72 ab a 24b 72ab 36a 24b
 abc c bc ac
Do đó ta được: . Hoàn toàn tương tự ta được:
 3a2 4b2 5 72 36 24
 abc a ca ba abc b ab bc
 ; 
 3b2 4c2 5 72 36 24 3c2 4a2 5 72 36 24
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
 abc abc abc abc 5 ab bc ca 
 3a2 4b2 5 3b2 4c2 5 3c2 4a2 5 72 72
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:
 a b c 5 ab bc ca 1
 ab bc ca 3 
 72 72 4
 a b c 2
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì ab bc ca 3 
 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.
Bài 02.
Dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz dạng phân thức ta có:
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 a2 2 b2 2 c2 2 a2 b2 c2 6
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:
 2
 a b c 2
 1 a b c a2 b2 c2 6 ab bc ca 3 
 a2 b2 c2 6
Để ý ta viết lại giả thiết thành ab bc ca abc ab bc ca 
 ab bc ca 2
Mà ta có abc ab bc ca 
 3
 ab bc ca 2
Do đó ta có ab bc ca ab bc ca 3. Như vậy bất đẳng 
 3
thức được chứng minh. Vậy giá trị lớn nhất của T là 1, xảy ra tại a b c 1. 
Bài 4. 
Từ c c a c a b 1 c 1 a b c2 a c 1 a b c 1 c 1 
Do c 0 nên ta suy ra được a b c 1 a b 1 c . Khi đó ta có:
 a4b4 a4b4
 P 3 3
 a bc b ca c ab a b a b 1 b a a b c a b 1 ab 
 a4b4
 a ab b2 b b ab a2 a a b 1 ab 3
 a4b4 a4b4
 3 2 4
 a b b 1 a b a 1 a 1 b 1 a b a 1 b 1 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số dương ta có:
 4
 4 3 3
 4 a a a a a
 a 1 1 4 4 44. 
 3 3 3 27 27
 4
 4 3 3
 4 b b b b b
 b 1 1 4 4 44. 
 3 3 3 27 27
Lại có: a b 2 4ab . từ đó ta được: 
 3 3 9
 2 4 a b 4
 a b a 1 b 1 4ab.44. .44. .a4.b4 
 27 27 36