Ôn tập Chuyên đề Toán Hình 10 - Chương 1 Bài 5: Tích vô hướng của hai vector

 CHUYÊN ĐỀ 2 
 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa: 
a) Góc giữa hai vectơ. 
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b . Số đo góc AOB 
được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và . 
+ Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ và là tùy ý (từ 00 đến 1800 ). 
+ Kí hiệu: ab; 
b) Tích vô hướng của hai vectơ. 
Tích vô hướng của hai véc tơ và là một số thực được xác định bởi: a. b a b .cos( a , b ) . 
2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a,, b c và mọi số thực k ta luôn có: 
1) a . b b . a
2) a ( b c ) a . b a . c
3) (ka ) b k ( a . b ) a ( kb )
 22
4) a 0, a 0 a 0
Chú ý: Ta có kết quả sau: 
+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a b a.0 b 
 22
+ a. a a a gọi là bình phương vô hướng của véc tơ . 
 2 2 2 2
+ (ab )2 a 2 abbabab . , ( )( ) ab 
3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. 
a) Công thức hình chiếu. 
Cho hai vectơ AB, CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có 
ABCD. A ' B '. CD 
b) phương tích của một điểm với đường tròn. 
Cho đường tròn OR; và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức 
MAMB. được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn . Kí hiệu là PMO/ . 
 2 2 2
Chú ý: Ta có PMO/ MAMB. MO R MT với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M 
3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 
Cho hai vectơ a(;) x11 y và b(;) x22 y . Khi đó 
1) a. b x1 x 2 y 1 y 2 
2) a( x ; y ) | a | x22 y 
 ab. x x y y
3) cos(ab , ) 1 2 1 2 
 2 2 2 2
 ab x1 y 1 x 2 y 2
Câu 11. Cho tam giác ABC có A 1;2 , B 1;1 , C 5; 1 .Tính cos A 
 2 1 1 2
 A. . B. . C. . D. . 
 5 5 5 5
Câu 12. Cho hình vuông ABCD tâm O . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? 
 1
 A.OAOB.0 . B.OAOC.. OA AC . 
 2
 C. AB.. AC ABCD. D. AB.. AC AC AD. 
Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 1 , B 3;1 , C 6;0 . Khảng định nào sau đây đúng. 
 A. AB 4; 2 , AC 1;7 . B. B 135o . C. AB 20 . D. BC 3. 
Câu 14. Cho hình vuông cạnh a . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? 
 A. DACB. a2 . B. ABCD. a2 . 
 C. AB BC . AC a2 . D. AB. AD CBCD . 0 . 
Câu 15. Cho hình thang vuông có đáy lớn AB 4 a , đáy nhỏ CD 2 a , đường cao AD 3 a ; I là 
 trung điểm của AD . Câu nào sau đây sai? 
 A. AB.8 DC a2 . B. ADCD.0 . C. AD.0 AB . D. DA.0 DB . 
Câu 16. Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao ; là 
 trung điểm của . Khi đó IA IB . ID bằng : 
 9a2 9a2
 A. . B. . C. 0 . D.9a2 . 
 2 2
Câu 17. Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao AH,; BK vẽ HI AC. Câu nào sau đây đúng? 
 A. BA. BC 2 BA . BH . B.CBCA. 4 CBCI . . 
 C. AC AB . BC 2 BA . BC . D.Cả ba câu trên. 
Câu 18. Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao vẽ Câu nào sau đây đúng? 
 a2 a2 a2
 A. AB AC. BC a2 . B.CB. CK . C. AB. AC . D.CB. CK . 
 8 2 2
Câu 19. Cho hình vuông cạnh a. Mệnh đề nào sau đây sai? 
 A. AB. AD 0. B. AB. AC a2 . 
 C. ABCD. a2 . D. (AB CD BC ). AD a2 . 
Câu 20. Tam giác vuông ở A và có góc B 50o . Hệ thức nào sau đây là sai? 
 A. AB, BC 130o . B. BC, AC 40o . C. AB, CB 50o . D. AC, CB 120o . 
Câu 21. Trong mặt phẳng O;, i j cho 2 vectơ : a 36 i j và b 8 i 4 j . Kết luận nào sau đây sai? 
 A. ab. 0. B. ab . C. ab.0 . D. ab.0 . 
Câu 22. Trong mặt phẳng cho ABC 1;2 , 4;1 , 5;4 . Tính BAC ? 
 A. 60o . B. 45o . C.90o . D.120o . 
Câu 23. Cho các vectơ ab 1; 3 , 2;5 . Tính tích vô hướng của a a 2 b 
 A.16. B. 26 . C.36 . D. 16 . 
 A. 24 cm2 . B. 24 cm2 . C.18 cm2 . D. 18 cm2 . 
Câu 37. Cho tam giác ABC có A 1;2 , B 1;1 , C 5; 1 .Tính AB. AC 
 A. 7 . B.5 . C. 7. D. 5. 
Câu 38. Trong mặt phẳngOxy cho A 1;1 , B 1;3 , C 1; 1 . Khảng định nào sau đây đúng. 
 A. AB 4;2 , BC 2; 4 . B. AB BC . 
 C. Tam giác vuông cân tại A . D. Tam giác vuông cân tại B . 
Câu 39. Cho a 1; 2 , b 1; 3 . Tính ab, . 
 A. ab, 120o . B. ab, 135o . C. ab, 45o . D. ab, 90o . 
Câu 40. Cho tam giác vuông tại có B 60o , AB a . Tính AC. CB 
 A.3a2 . B. 3a2 . C.3a . D. 0 . 
Câu 41. Cho tam giác vuông tại có AC 12 cm . M là trung điểm AC . Tính BM. CA 
 A.144 cm2 . B. 144 . C. 72 . D. 72 . 
Câu 42. Cho tam giác có đường cao BH ( H ở trên cạnh ).Câu nào sau đây đúng 
 A. BACA.. BH HC . B. BACA.. AH HC . C. BACA.. AH AC . D. BACA.. HC AC . 
Câu 43. Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏa ab 2. Hãy xác định 3a 4 b 2 a 5 b 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 44. Cho tam giác . Lấy điểm trên BC sao cho AB. AM AC . AM 0 .Câu nào sau đây đúng 
 A. là trung điểm của . B. AM là đường phân giác của góc . 
 C. AM BC . D. A, B, C đều sai. 
Câu 45. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB 4 a , đáy nhỏ CD 2 a , đường cao AD 3 a .Tính 
 DA. BC 
 A. 9a2 . B. 15a2 . C. 0 . D. 9a2 
Câu 46. Cho tam giác vuông tại C có AC 9, BC 5 . Tính AB. AC 
 A.9 . B.81. C.3 . D. . 
Câu 47. Cho hai vectơ a và b . Biết a =2 , b = 3 và ab, 120o .Tính ab 
 A. 73 . B. 73 . C. 7 2 3 . D. 7 2 3 . 
 2
Câu 48. Cho hai điểm BC, phân biệt. Tập hợp những điểm thỏa mãn CM. CB CM là : 
 A.Đường tròn đường kính . B. Đường tròn B; BC . 
 C. Đường tròn C; CB . D. Một đường khác. 
Câu 49. Cho ba điểm ABC,, phân biệt. Tập hợp những điểm mà CM.. CB CACB là : 
 A. Đường tròn đường kính AB . 
 B.Đường thẳng đi qua và vuông góc với . 
 C. Đường thẳng đi qua và vuông góc với . 
 D. Đường thẳng đi qua và vuông góc với . 
Câu 50. Cho hai điểm A 2,2 , B 5, 2 . Tìm trên tia Ox sao cho AMB 90o 
 A. M 1,6 . B. M 6,0 . C. M 1,0 hay . D. M 0,1 . 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Ta có ab 1;3 , 2;1 , suy ra ab. 1. 2 3.1 1. 
Câu 6. Cặp vectơ nào sau đây vuông góc? 
 A. a 2; 1 và b 3;4 . B. a 3; 4 và . 
 C. a 2; 3 và b 6;4 . D. a 7; 3 và b 3; 7 . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Phương án A: ab. 2. 3 1 .4 10 0 suy ra A sai. 
 Phương án B: ab. 3. 3 4 .4 0 suy ra B sai. 
 Phương án C: a. b 2. 6 3.4 0 a  b suy ra C đúng. 
 Phương án D: ab. 7.3 3 . 7 42 0 suy ra D sai. 
Câu 7. Cho 2 vec tơ a a1;,; a 2 b b 1 b 2 , tìm biểu thức sai: 
 A. a... b a1 b 1 a 2 b 2 . B. a. b a . b .cos a , b . 
 1 2 1 2
 C. a. b a22 b a b . D. a. b a b a22 b . 
 2 2 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng a... b a1 b 1 a 2 b 2 nên loại A 
 Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ a. b a . b .cos a , b nên loại B 
 112
 Phương án C: abab2 2 abab 2 2 2 2 2 ab ab nên chọn C. 
 22 
Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? 
 A. AB.2 AC BC BC . B. BC.2 CA . 
 C. AB BC .4 AC . D. BC AC .2 BA . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải. 
 Phương án A: AB. AC AB . AC cos60o 2 x AB . AC BC 2 BC nên loại A. 
 Phương án B: BC. CA BC . AC cos120o 2nên loại B. 
 Phương án C: AB BC . AC AC . AC 4 , BC. CA 2.2.cos120o 2 nên chọn C. 
Câu 9. Cho tam giác cân tại A , A 120o và AB a . Tính BACA. 
 a2 a2 a2 3 a2 3
 A. . B. . C. . D. . 
 2 2 2 2
 Lời giải 
 Chọn B