Lý thuyết và bài tập Chuyên đề Tứ giác Toán 8

 Chương I. 
 TỨ GIÁC 
 Bài 1. TỨ GIÁC 
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai
đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
2. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. (Từ nay khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì
thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi).
3. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°
ABCD+++    =360 
 B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÍNH GÓC CỦA TỨ GIÁC 
Phương pháp giải 
Sử dụng các tính chất về tổng các góc của tứ giác, của tam giác 
Ví dụ 1. (Bài 1 SGK) 
 Tìm x ở hình 6 SGK 
 Giải 
 PQRS +++=   360 ⇒++ xx 95 + 65 = 360 
a) 
 ⇒+2x 160 = 360
 ⇒=2x 36000 − 160 = 200 0 ⇒ x = 100 0
b) MNPQ + ++  =3600 ⇒ 3 xxxx + 4 + + 2 = 36000 ⇒ 10 x = 360 ⇒= x 36o .
 P
 S
 x
 650
 M N
 3x 4x
 x
 Q
 0
 95 2x x
 R Q P
 a) b) 
 Hình 6 SGK 
Ví dụ 2: (Bài 2 SGK) 
 Góc kề bù với 1 góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác Sử dụng các định lí có liên quan đến độ dài, như bất đẳng thức tam giác, Định lí Pi-
ta-go. 
Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ 
giác. 
Giải 
Xét tứ giác ABCD có đường chéo AC: 
 B
 <+ ∆
AC AB BC (bất đẳng thức trong ABC ); A
AC<+ AD DC (bất đẳng thức trong ∆ADC ) 
Suy ra: 2AC<+++ AB BC AD DC . Do đó: 
 AB+++ BC AD DC
AC < . 
 2
 C
Vậy AC nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác ABCD. D
Chứng minh tương tự, BD nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác 
ABCD. 
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Cho tứ giác ABCD có AB=13000 ,  = 90 , góc ngoài tại định C bằng 1200
.Tính D .
2. (Dạng 1). Tứ giác ABCD có CD =8000 , = 70 . Các tia phân giác của các góc A và B
cắt nhau tại I. Tính AIB.
3. (Dạng 1). Bốn góc của một tứ giác có thể đều là góc nhọn (góc tù, góc vuông) được
không? Tại sao? Suy ra trong một tứ giác có nhiều nhất mấy góc nhọn?
4. (Dạng 1). Tứ giác EFGH có EF =7000 , = 80 . Tính GH,  biết rằng: GH −= 200
5. (Dạng 1). Tính các góc của tứ giác MNPQ , biết rằng: M : N : PQ : = 1:3:4:7
6. (Dạng 2). Vẽ tứ giác ABCD biết: AD=13000 , = 90 ,AB = 2cm ,BC = 3 cm
AC= 3. cm
7. (Dạng 3). Tính độ dài của các cạnh abcd, , , của một tứ giác có chu vi bằng 76cm
và abcd : : : = 2 : 5 : 4 : 8.
8. (Dạng 3). Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 2, 3, 4, 10?
9. (Dạng 3). Đường chéo AC của tứ giác ABCD chia tứ giác đó thành hai tam giác có
chu vi là 25cm và 27cm . Biết chu vi của tứ giác bằng 32cm . Tính độ dài AC .
10. (Dạng 3). Tứ giác ABCD có BD =11000 , = 70 , AC là tia phân giác của góc A. Chứng
minh rằng CB = CD .
11. (Dạng 3). Chứng minh trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi
và nhỏ hơn chu vi tứ giác đó.
12. (Dạng 3). Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với
nhau thì tổng bình phương hai cạnh đối này bằng tổng bình phương hai cạnh đối kia.
 §2. HÌNH THANG
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT Dạng 3. TÍNH TOÁN VÀ CHỨNG MINH VỀ ĐỘ DÀI 
Phương pháp giải 
 Sử dụng Đinh lí Pi-ta-go, sử dụng các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong hình thang vuông, hiệu các bình phương hai đường chéo 
bằng hiệu các bình phương đáy. 
 A B
∆ACD vuông nên AC222= AD + DC 
∆ABD vuông nên BDD2= A 22 + AB 
Từ (1) và (2) suy ra AC22−=− BD DC 22 AB 
 D C
 C. LUYỆN TẬP
 1. (Dạng 1). Hình thang ABCD (AB // CD) có AD−= 40o , A = 2 C . Tính các góc của
 hình thang
 2. (Dạng 1). Hình thang có nhiều nhất bao nhiêu góc tù, có nhiều nhất bao nhiêu góc
 nhọn? vì sao?
 3. (Dạng 1, 2, 3). Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 2cm. Vẽ tam giác ACE vuông
 cân tại E (E và B khác phía đối với AC ). Chứng minh rằng AECB là hình thang
 vuông, tính các góc và các cạnh của nó.
   0
 4. (Dạng 3). Cho hình thang vuông ABCD có A= D =90 , AB = 5 cm ,
 AD=12 cm , BC = 13 cm . Tính CD .
 5. (Dạng 3). Hình thang ABCD (AB // CD) có AB=2 cm , CD = 5 cm . Chứng minh rằng
 AD+> BC3 cm.
 6. (Dạng 3).Cho hình thang ABCD (AB //CD) có các tia phân giác của các góc C và D
 gặp nhau tại điểm I thuộc cạnh đáy AB . Chứng minh rằng AB bằng tổng của hai
 cạnh bên.
 7. (Dạng 3).Cho hình thang ABCD (AB //CD) có các tia phân giác của các góc A và D
 gặp nhau tại điểm I thuộc cạnh đáy BC . Chứng minh rằng AD bằng tổng của hai
 đáy.
 §3. HÌNH THANG CÂN Giải 
a) Hình thang ABEC (AB // EC) có hai cạnh bên A B
 AC, BE song song nên chúng bằng nhau:
 AC = BE .
 1
 Theo giả thuyết AC = BD , nên BE = BD , do 1
 D C E
 đó ∆BDE cân
  
b) AC // BE⇒=CE1 .
    
 ∆BDE cân tại B (Câu a) ⇒=DE1 . suy ra CD11= . 
 ∆=∆ACD BCD (..) c g c
c) ∆=∆⇒ACD BDC ADC = BCD . Hình thang ABCD có hai
 góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân
Ví dụ 3. (Bài 19 SGK) 
Cho ba điểm ADK, , trên giấy kẻ ô vuông (H32.SGK). Hãy 
tìm điểm thứ tư M là giao điểm của dòng kẻ sao cho nó cùng 
với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân. 
Giải 
Có thể vẽ được hai điểm M: Hình thang AKDM1 (với AK là 
đáy), hình thang ADKM 2 (với DK là đáy) 
Dạng 2. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH THANG CÂN ĐỂ 
TÍNH SỐ ĐO GÓC, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG. 
Phương pháp giải 
Sử dụng các tính chất của hình thang cân: Hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau, hai 
cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau. 
Ví dụ 4. (Bài 12 SGK) 
Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AD < CD ). Kẻ các đường cao AE, BF là hình 
thang. Chứng minh rằng DE = CF . 
 A B
Giải 
∆=∆AED BFC (Cạnh huyền - góc nhọn) – suy ra 
DE= CF. 
 D E F C
Ví dụ 5 (Bài 13 SGK) 
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm hai 
đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB , EC = ED . A B
Giải 
Chứng minh ∆=∆ACD BDC theo trường hợp c.c.c hoặc E
  =  ∆ =
c.g.c. Suy ra CD11, do đó ECD cân, EC ED. 1 1
Ta lại có AC= BD nên EA= EB. D C 5. (Dạng 2). Hình thang cân ABCD (AB//CD) có DB là tia phân giác của góc D,
 DB⊥ BC. Biết AB= 4. cm Tính chu vi hình thang.
 6. (Dạng 2). Tính chiều cao của hình thang cân ABCD , biết rằng cạnh bên
 BC= 25 cm , các cạnh đáy AB=10 cm , CD = 24 cm .
 7. (Dạng 3). Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE.
 a) Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
 b) Tính chu vi tứ giác BEDC , biết BC=15 cm , ED = 9 cm .
 BÀI 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Đường trung bình của tam giác
Định lí 1. Đường thẳng đi qua trung điểm của một A
cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì
đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. D E
∆ABC

AD=⇒= DB AE EC. 
 B C
DE// BC
Định nghĩa. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh 
của tam giác. 
Định lí 2. Đường trung binh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nữa 
cạnh ấy. 
∆ABC DE// BC

AD= DB ⇒ 1
DE= BC
AE= EC  2
2. Đường trung bình của hình thang
Định lí 3. Đường thẳng đi qua trung điểm của một A B
cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy
thì đi qua trung điểm của cạnh thứ hai. E F
AE= ED
 ⇒=BF FC.
 EF//AB//CD
 D C
Định nghĩa. Đường trung bình của hình thang là
đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 4. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nữa
tổng hai đáy. C 
 Giải 
 ∆BDC có BE = ED và BM = MC nên EM//DC, suy ra DI//EM. 
 ∆AEM có AD = DE và DI//EM nên AI = IM. 
Dạng 3. SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI 
 VÀ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ VỀ ĐỘ DÀI 
Phương pháp giải 
Vận dụng định lí 3 và định lí 4 về đường trung bình của hình thang. 
Ví dụ 4. (Bài 26 SGK). 
 Tính x, y trên hình 45 (SGK), trong đó AB//CD//DF//GH 
 Giải 
 CD là đường trung bình của hình 
 A B 
thang ABFE nên: 
 AB+EF
 x = CD = 
 2
 8+ 16
 = = 12 (cm).
 2
 EF là đường trung bình của hình 
 CD+HG 12 + y
thang CDHG nên: EF = => 16 = =>G y = 20cm. H 
 2 2
Ví dụ 5. (Bài 27 SGK) 
 Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. 
 a) So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB.
 AB+CD
 b) Chứng minh rằng EF ≤ 
 2
 Giải 
 CD AB
 a) EK = , KF = 
 2 2
 b) Ta có:
 CD AB
 EF ≤ EK + KF = +
 2 2
 CD+AB
 = 
 2