Lý thuyết và bài tập Chuyên đề Tam giác đồng dạng Toán 8

 Chương III 
 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
 §1. ĐỊNH LÍ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1. Đoạn thẳng tỉ lệ.
 Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB′′ và CD′′nếu có tỉ lệ thức
 AB A′′ B AB CD
 = hay = . 
 CD C′′ D AB′′ CD ′′
 2. Định lí Ta-lét trong tam giác
 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó
 định ra trên hai cạnh đó những đọan thẳng tương ứng
 tỉ lệ.
 ∆ABC AD AE AD AE
  ⇒=,. = 
 DE// BC AB AC DB EC
 B. CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. TÍNH TOÁN, CHỨNG MINH VỀ TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ 
ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 
Phương pháp giải 
 Thường sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức. 
Ví dụ 1. (Bài 3 SGK) 
 Cho biết độ dài của AB gấp 5 lần độ dài của CD và độ dài của AB′′gấp 12 lần độ 
 dài của CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và AB′′. 
 Giải 
 AB55 CD
 = = . 
 A′′ B12 CD 12
 Ví dụ 2. (Bài 19 SGK) 
 Cho hình thang ABCD( AB // CD ). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh 
 AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: 
 AE BF AE BF DE CF
 a) = ; b) = ; c) = .
 ED FC AD BC DA CB a) MN// BC b) PQ// EF
 Giải 
 a) Xét ∆ABC có MN// BC , theo Định lí Ta-lét ta có:
 AM AN 4 5 4.3,5
 = ⇒ = ⇒=x =2,8. 
 MB NC x 3, 5 5
 b) Đáp số: x = 6,3.
Dạng 3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC 
Phương pháp giải 
 Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Biến đổi 
tỉ lệ thức nhận được để đi đến điều phải chứng minh. 
Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD( AB // CD ). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các 
 AE CF
 cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: +=1.
 AD BC
 Giải 
 Gọi K là giao điểm của AC và EF. 
Xét ∆ADC. EK// DC ta có: 
 AE AK
 = . ()1
 AD AC
Xét ∆ABC. KF// AB ta có: 8. (Dạng 3). Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh
 AB, AC theo thứ tự ở DE,. Qua C kẻ đường thẳng song song với EB, cắt AB ở
 F. Chứng minh hệ thức:
 AB2 = AD.. AF 
 9. (Dạng 3). Cho tam giác ABC() AB< AC , đường phân giác AD. Qua trung điểm M
 của BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và K.
 Chứng minh rằng:
 a) AE= AK; b) BK= CE.
 BÀI 2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT 
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1. Hệ quả của định lí Ta – lét
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó
 tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ
 lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
 ∆ABC AD AE DE
  ⇒==. 
 DE// BC AB AC BC
 Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng trong trường hợp 
 đường thẳng a song song với một cạnh của tam 
 giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. 
2. Định lí Ta – lét đảo
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh cuuả một tam
 giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng
 tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với
 cạnh còn lại của tam giác.
 AD AE
 = ⇒DE// BC .
 DB EC
 B. CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN 
 THẲNG 
Phương pháp giải 
 Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Chú ý sử 
 dụng các tính chất của tỉ lệ thức, chú ý sử dụng giải phương trình để tìm số chưa biết. 
 Ví dụ 1: (Bài 7 SGK) 
 Tính các độ dài x, y trong hình 14 SGK. b) Chia đoạn thẳng AB thành 5 phần bằng nhau.
 Cách 1. Tương tự như câu a).
 Cách 2.
 -Kẻ thêm đường thẳng Ax và trên đó
 đặt liên tiếp 5 đoạn bằng 
 nhau: 
 AC= CD = DE = EF = FG. 
 -Kẻ đường thẳng GB.
 Từ CDEF,,, kẻ các đường thẳng
 song song với GB, chúng cắt AB tại các 
điểm tương ứng M, N ,,, PQ ta được: 
 AM= MN = NP = PQ = QB. 
 Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác và đường trung bình trong hình 
 thang, ta dễ dàng chứng minh được kết quả trên. 
 Ví dụ 3. (Bài 10 SGK) 
 Tam giác ABC có đường cao AH. 
 Đường thẳng d song song với BC, 
 cắt các cạnh AB, AC và đường cao 
 AH theo thứ tự tại các điểm BC′′,, 
 và H′ (H. 16 SGK). 
 a) Chứng minh rằng:
 AH′ B ′′ C
 = .
 AH BC
 1
 b) Áp dụng: Cho biết AH′ = AH và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2 . 
 3
 Tính diện tích tam giác AB′′ C . 
 Giải 
 AH′ AB ′ B ′′ C
 a) = = .
 AH AB BC
 AH′ 1 BC′′ 1
 b) Ta có: = nên = .
 AH 3 BC 3
 1 ′ ′′ 1 1 1 1 67,5 2
 SAB′′ C = .... AH B C= AH BC= SABC = = 7,5() cm .
 2 23 3 9 9
 Ví dụ 4. (Bài 11 SGK) 
 Tam giác ABC có BC =15cm. 
 Trên đường cao AH lấy các điểm 
 IK, sao cho AK= KI = IH. 
 Qua I và K vẽ các đường 
 EF// BC , MN // BC (H. 17 SGK). OE OF
 Từ ()()()1, 2, 3 suy ra = , do đó OE= OF. 
 CD CD
 Ví dụ 6. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều 
 AMC,. BMD Gọi E là giao điểm của AD và MC, F là giao điểm của BC 
 và MD. 
 a) Đặt MA= a,. MB = b Tính ME, MF theo a và b.
 b) Tam giác MEF là tam giác gì?
 Giải 
 a) BMD = MAC =60 °⇒ MD//AC.
 ME MD b
 MD//AC ⇒==
 EC AC a
 ME b
 ⇒=
 ME++ EC b a
 ME b
 ⇒=
 a ba+
 ab
 ⇒=ME .
 ba+
 ba
 Tương tự: MF = .
 ab+
 b) Từ câu a) suy ra ME= MF. Ta lại có EMF =60 ° nên ∆MEF là tam giác đều.
Ví dụ 7. Cho hình thang ABCD() AB//CD , E là trung điểm của AB, O là giao điểm
 của AC và BD, F là giao điểm của EO và CD. Chứng minh rằng F là 
 trung điểm của CD. 
 Giải 
 AE OE EB
 AB//CD ⇒==.
 CF OF FD
 Do AE= EB nên CF= FD. 
 Chú ý. Từ bài toán trên ta thấy: Trong hình thang, giao điểm của hai đường chéo vvà 
 trung điểm của hai đáy là ba điểm thẳng hàng. 
Dạng 3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐẢO ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG 
 THẲNG SONG SONG 
 Phương pháp giải 
 Xét các cặp đoạn thẳng tỉ lệ để chứng minh hai đường thẳng song song 
 Ví dụ 8. (Bài 6 SGK) 
 Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 SGK và giải thích vè sao 
 chúng song song. OE OF
 ∆OBC , EF // BC nên = (Định lí Ta-lét). 
 OB OC
 OD OF
 Suy ra = , do đó DF // AC (Định lí Ta-lét đảo). 
 OA OC
Dạng 5. ÁP DỤNG VÀO TOÁN DỰNG HÌNH: TRONG BỐN ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ, 
DỰNG ĐOẠN THẲNG THỨ TƯ KHI BIẾT ĐỘ DÀI BA ĐOẠN KIA 
Phương pháp giải 
 Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc, rồi dựng đường thẳng song song để xác 
 định đoạn thẳng thứ tư. 
 Ví dụ 10. (Bài 14c SGK) 
 Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo). Dựng đoạn thẳng có độ dài 
 mn
 là x sao cho = . 
 xp
 Giải 
 t
 p B
 n A
 z
 O C D
 m
 x
 - Vẽ hai tia Oz, Ot.
 - Trên tia Ot, đặt các đoạn OA = n, OB = p.
 - Trên tia Oz, đặt OC = m.
 -Kẻ BD // AC, ta được OD = x
 C. LUYỆN TẬP
 1. (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3.5 cm, điểm D thuộc cạnh AC, AD =
 20 cm, DC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng BD ở E. Tính độ
 dài CE. 13. (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua D cắt AC, AB, CD theo
 thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
 DM DM
 a) DM2 = MN. MK b) +=1
 DN DK
 14. (Dạng 2) Cho tam giác ABC. Qua trọng tâm G, kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB,
 AC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng:
 BE CF
 +=1
 AE AF
 Hướng dẫn: Kẻ các đường thẳng qua B và song song với d, qua C và song song với d. 
 15. (Dạng 2) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác
 AB′′′ CA BC
 ABC và cắt các đường thẳng BC, CA, AB thứ tự ở ABC′′′,, thì .. = 1
 BC′′′ AB CA
 (Định lí Mê-nê-lu-uýt).
 16. (Dạng 2) Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với các điểm A,B,C của tam
 giác ABC, ta lấy các điểm tương ứng ABC′′′,, sao cho AA′′′, BB ,CC đồng quy thì
 AB′′′ CA BC
 .. = 1 (Định lí Xê-va).
 BC′′′ AB CA
17. (Dạng 3) Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các
 1 1
 điểm E,F,G,H sao cho AE=2, EB BF = FC ,CG=2, GD DH = HA. Chứng minh
 2 2
 rằng EFGH là hình bình hành. 
18. (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE.
 a) Chứng minh rằng DE//BC.
 b) Tính độ dài AB biết DE = 6cm, BC = 15cm.
19. (Dạng 4) Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm AB, E là trung điểm BI, D thuộc
 cạnh AC sao cho. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Tính tỉ số.
 20. (Dạng 4) Cho hình bình hành ABCD. Qua điểm E thuộc CD, vẽ đường thẳng song
 song với AC, cắt AD ở F. Qua F vẽ đường thẳng song song với BD, cắt AB ở G. Qua
 G vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC ở H. Chứng minh rằng EFGH là hình
 bình hành.
21. (Dạng 4) Cho hình thang ABCD (AB//CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao
 điểm của AM và BD, gọi K là giao điểm của BM và AC.
 a) Chứng minh rằng IK//AB.
 b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng
 EI = IK = KF.
22. (Dạng 4) Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M thuộc cạnh AD. Gọi I,
 K theo thứ tự là trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao
 điểm của DK và AC. Chứng minh rằng IK // EF.