Lý thuyết và bài tập Chuyên đề Phép nhân và phép chia đa thức Toán 8

 CHƯƠNG I 
 PHÉP NHÂN VÀ CHIA 
 CÁC ĐA THỨC 
 §1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
 §2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa
thức rồi cộng các tích với nhau.
Nếu kí hiệu các đơn thức bởi các chữ A, B, C, D,  thì có thể viết gọn quy tắc trên như
sau:
A.() B+= C AB .. + AC
2. Phép nhân đơn thức với đa thức tương tự như phép nhân của một số với một tổng và
chú ý đến dấu của từng đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” hoặc “ – ” cho thích
hợp:
A.() B+− C D = AB ... + AC − AD
Ví dụ: 3x22 .() 4 xx−+ 1 = 12 x4 − 3 x 3 + 3 x 2
3. Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau:
()()A+ B C += D AC + AD + BC + BD
4. Phép nhân hai đa thức là tổng các kết quả nhân từng đơn thức của đa thức này với đa
thức kia.
()()()()ABCDE+ +− = ACDE. +− + BCDE +−
 =+−++−AC AD AE BC BD BE
Ví dụ: 
()21x+()()() xx3 −−= 212 xxx 33 −−+ 211 xx −− 21
 =242xxxxx42 − −+−− 3 21
 =2xx43 +− 4 x 2 −− 41 x
 B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. LÀM TÍNH NHÂN 
Phương pháp giải 
Áp dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức 43 2
 =−xx7 + 11 xx −+ 6 5.
Ví dụ 3. ( Bài 8, trang 8 SGK) 
 Làm tính nhân : 
 22 1 22
a)x y−+ xy2 y ( x − 2) y ; b) x−+ xy y() x + y .
 2 ( )
 Giải: 
 22 1132 23 2 2 2
a)xy− xy +2 yx ( −= 2) y xy − 2 xy − xyxy ++−2 xy 4 y . 
 22
b) ( x2−+ xyy 2)() xy +=+−−++=+ x 32 xyxyxy 2 22 yxy 333 x y .
Ví dụ 4. ( Bài 10, trang 8 SGK) 
Thực hiện phép tính: 
 2 1 22
a) ()xx−+23 x − 5; b) x−+2 xy y () x − y .
 2 ( )
 Giải: 
 2 113 22 3
a)Ta có ()x−+2 x 3 x −= 5 x − 5 xx −+ 10 x + x − 15
 22 2
 1 23
=xx32 −+6 x − 15 . 
 22
b) ( x2−2 xyy + 2) () xy −=− x 32 xy − 2 xy 2 + 2 xy 2 + yxy 2 − 3
=−+−x333 x 2 y xy 23 y . 
Ví dụ 5. (Bài 15, trang 9 SGK) 
Làm tính nhân : 
 11 11
a)xy++ xy; b) xyxy−−. 
 22 22
 Giải: 
 1 1 1112 22 1 2
a) xy+ xy + = x + xy + yxy + = xxyy ++. 
 2 2 422 4
 1 12 11122 1 2
b) x− yx − yx =− xy − yx + yxxy =−+ y . 
 2 2 224 4
DẠNG 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 
Phương pháp giải 
*Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ta rút gọn biểu thức.
* Thay các giá trị của biến vào biểu thức đá rút giọn.
Ví dụ 6. (Bài 2, trang 5 SGK) 5 
 xy=−=10; 2
 xy=−=1; 0
 xy=2; = − 1 
 xy=−=0, 5; 1, 25 
 (trường hợp này có 
 thể dùng máy tính bỏ 
 túi để tính 
 Lời giải 
 Rút gọn biểu thức ta được 
 ()xyx−()2 ++ xyy 2 −+ x 32 xyxy + 2 − yx 2 − xy 23 −=− y x 33 y .
 Ta có kết quả sau: 
 Giá trị của x và y Giá trị của biểu thức 
 xy33− 
 xy=−=10; 2 −1008
 xy=−=1; 0 −1
 xy=2; = − 1 9 
 xy=−=0, 5; 1, 25 −2,078125
 (trường hợp này có 
 thể dùng máy tính bỏ 
 túi để tính 
 Ví dụ 9. (Bài12 , trang 8 SGK ) 
 Tính giá trị của biểu thức ()x22−5 ( x +++ 3) ( x 4) () xx − trong mỗi trường hợp sau:
 a) x = 0 b) x =15 c) x = −15 d) x = −0,15 .
 Lời giải 
 Rút gọn biểu thức ta được: 
 ()x2−5 ( x +++ 3) ( x 4)() xx −2 =+ x 33 x 2 −−+−+ 5 x 15 x23 x44 x − x 2
 =−−x 15 
 Kết quả được tính theo bảng sau 
 Giá trị của x Giá trị của biểu thức 
 −−x 15
 x = 0 −15
 x =15 −30 Thực hiện phép tính ở vế trái, ta có 
()()()()12xx− 5 4 −+ 1 3 x − 7 1 − 16 x 
48x22− 12 xx − 20 ++ 5 3 xx − 48 −+ 7 112 xx = 83 − 2 
Đẳng thức đã cho trở thành: 83x −= 2 81, tức là 83x = 83 hay x =1. 
Dạng 5. CHỨNG MINH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ 
CỦA BIẾN 
Phương pháp giải 
• Ta biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không còn chứa biến x .
• Để kiểm tra kết quả tìm được ta thử thay một giá trị của biến (chẳng hạn x = 0 ) vào
 biểu thức rồi so sánh kết quả.
Ví dụ 13. (Bài 11, trang 8 SGK) 
Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến 
()()()x−52 x + 3 − 2 xx − 3 ++ x 7 
 Giải 
Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn ta được 
()()()x−52 x + 3 − 2 xx − 3 ++ x 7 
=2x22 + 3 x − 10 x − 15 − 2 x + 6 xx ++=− 7 8 
Giá trị biểu thức trên luôn bằng −8 với mọi giá trị của biến x . Vậy giá trị biểu thức đã cho 
không phụ thuộc vào giá trị của biến x . 
Chú ý: Nếu thay x = 0 vào biểu thức đã cho ta được −5.3 +=− 7 8 
Dạng 6. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN x 
Phương pháp giải 
• Chọn ẩn x và xác định điều kiện cho ẩn.
• Dựa vào đề bài để tìm đẳng thức có chứa x .
• Giải tìm x và chọn kết quả thích hợp.
Ví dụ 14. (Bài 14, trang 9 SGK) 
Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192. 
 Giải 
Gọi xx,2,4++ x là ba số chẵn liên tiếp phải tìm ( x là số tự nhiên chẵn) 
Tích hai số đầu là: xx()+ 2 
Tích hai số sau là: ()()xx++24. 
Theo đề bài ta có (x+ 2)( x +− 4) xx ( += 2) 192 Ví dụ 17. Chứng minh rằng 
x3+ y 33 + z −3( xyz = xyzx ++ )( 2 + y 22 + z − xyyzzx − − )
 Giải 
Thực hiện phép nhân đa thức ở vế phải, ta có : 
()xyzx++( 2 + y 22 + z − xyyzzx − − )
=++−−−+++−−−+x3 xy 2 xz 22 x y xyz x2 z yx 23 y yz 2 xy 22 y z xyz
 +zx2 + zy 23 +− z xyz − yz2 − xz 2
=++−x3 y 33 z3 xyz
Vậy: x3+ y 33 + z −3( xyz = xyzx ++ )( 2 + y 22 + z − xyyzzx − − )
Dạng 8. ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC 
Phương pháp giải: 
 • Phép chia hết : Cho hai số nguyên a và bb()≠ 0,ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là
ab nếu có số nguyên q sao cho a= bq., ta còn nói b là ước của a. 
 • Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
Ví dụ 18. Chứng minh rằng : 
 a) 352003 – 352004 chia hết cho 17.
 b) 432004 + 432005 chia hết cho 11.
 c) 273 + 95 chia hết cho 4.
 Giải 
a) Ta có: 352003 – 352004 = 352004 (35 – 1) = 34.352004 . Vì 34 = 2.17 chia hết cho 17 nên 34.352004
chia hết cho 17.
b) 432004 + 432005= 432004 (1 + 43) = 44.432004 . Vì 44 = 4.11 chia hết cho 11 nên 44.432004 chia hết
cho 11 ).
c) 273 + 95 = 39 + 310 = 39 (1 + 3) = 4.39 chia hết cho 4.
Ví dụ 19: Chứng minh rằng (2mn− 3)(3 −− 2) (3 mn − 2)(2 − 3) chia hết cho 5 với mọi số
nguyên m, n
 Giải 
Ta có: ()()()()2mn− 3323 −− mn − 223 −=
 =6mn − 4 m −+− 9 n 66 mn + 9 m +−=−= 4 n 65 m 5 n 5() m − n chia hết cho 5. 
Dạng 9. ĐA THỨC ĐỒNG NHẤT BẰNG NHAU 
Phương pháp giải Ví dụ 21. Cho đa thức f() x= ax2 + bx. Xác định ab, để fx()()–1 fx−= x với mọi giá trị 
của x . Từ đó suy ra công thức tính tổng 1++ 2 ... +n (với n là số nguyên dương). 
 Giải 
 2
Ta có f()()()()()() x−=11 ax − + bx −= 1111 ax − x −+ bx − 
 =a() x22–2 x ++ 1 bx – b = ax +() b –2 a x + a – b
Do đó: fx()()– fx –1= 2 axba + – . 
Vậy ta có hai đa thức dồng nhất: 2ax+≡ b –. a x Suy ra: 
21a = 1
 ⇒==ab
ba−=0 2
 11
Vậy: fx() = x2 + x 
 22
Trong đẳng thức fx()()– fx –1 = x lần lượt thay xn=1,2,3,..., ta được: 
 ff()()1 – 0= 1; 
 ff()()2–12;= 
 ff()()3 – 2= 3; ...... 
 fn()()– fn –1= n . 
Cộng các đẳng thức trên và rút gọn thì được: 
 fn()()– f 0=+++ 1 2 3 ... +n 
 11
 Mà f ()00= và fn() =n2 + n nên: 
 22
 11nn()+1 ( )
 1++ 2 3++ ... n =nn2 += = + = 
 22 2 1 2 1 푛 푛+1
 C. LUYỆN TẬP 2 푛 2 푛 2
1. (Dạng 1). Làm tính nhân:
a) 2xxx() 72 –5 –1 b) ()x2 +−2 xy –3 () xy ;
c) −+2x32 y( 2 x –3 y 5 yz) d) ()3xnn+12 – 2 xx .4 .
2. (Dạng 1). Làm tính
 2m− 13 3 n − 5 2 mn 3 2 32−−m 63 n
 a) 3x−+− y xy38 y x y ( 
 7
 b) (2xxx2nn+ 3 2− 1)( 1–2 n –3 x 2–2 n) 
3. (Dạng 2). Tính giá trị của các biểu thức:
 a) 5xx()( 422 –2 x+ 1 –2 x 10 x –5 x –2) với x =15 ; 13 
 12. (Dạng 8).
 a) Chứng minh rằng biểu thức n()()2 n –3 –2 nn+ 1 luôn chia hết cho 5 với mọi n là
 số nguyên. 
 b) Chứng minh rằng: ()()()()nn–1++ 4 – n –4 n 1 luôn chia hết cho 6 với mọi số
 nguyên n . 
 13. (Dạng 9). Xác định abcd,,, biết:
 a) ()ax2++ bx c() x +=3 x32 –2 x –3 x với mọi x ;
 b) xxxaxbxx432+– + +=()()2 +–2 xcxd 2 + + với mọi x .
 14. (Dạng 9). Cho đa thức: f()()()() x=++ x x12 x ax + b .
 a) Xác định ab, để fx()()()()– fx –1=++ xx 1 2 x 1 với mọi x
 b) Tính tổng S=1.2.3 + 2.3.5 ++ ...nn()() + 1 2 n + 1 theo n (với n là số nguyên dương).
 15. (Dạng 9). Xác định abc,, để
 x32– ax+= bx – c()()() x ––– a x b x c với mọi x . 
 §3. §4. §5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1. Bình phương của một tổng: . 
 2. Bình phương của một hiệu: . 
 3. Hiệu hai bình phương: . 
 4. Lập phương của một tổng: . 
 5. Lập phương của một hiệu: . 
 6. Tổng hai lập phương: . 
 B. CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. ÁP DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ĐỂ TÍNH 
 Phương pháp giải 
 Đưa về một trong bảng hằng đẳng thức đáng nhớ ở phần A để tính. 
 Ví dụ 1: (Bài 19, trang 12 SGK) 
 Đố. Tính diện tích hình còn lại mà không cần đo.