Lý thuyết và bài tập Chuyên đề Phân thức đại số Toán 8

 Chương II 
 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
 BÀI 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1.Định nghĩa.
 Α
 Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó 
 Β
 A, B là những đa thức và B khác 0. 
 A được gọi là tử thức (hay tử); B được gọi là mẫu thức (hay mẫu). 
 • Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
 2. Hai phân thức bằng nhau.
 AC
 = nếu AD = BC. 
 BD
 B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU 
Phương pháp giải 
 AC
 Để chứng minh = ta chứng minh AD = BC. 
 BD
Ví dụ 1. (Bài 1, trang 36 SGK) 
 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau , chứng tỏ rằng: 
 5y 20 xy 3xx (+ 5) 3 x
 a) = ; b) = ; 
 7 28x 2(x + 5) 2
 x+2 ( xx ++ 2)( 1) xx22−−2 x − 32 x +
 c) = ; d) = ; 
 xx−−112 xx+−11
 x3 + 8
 ex)2= + ; 
 xx2 −+24
 Giải 
 5y 20 xy
 a) Ta có 5y .28 x 7.20 xy nên = ; 
 7 28x
 3xx (+ 5) 3 x
 b) Vì 2.3xx 5 3 x .2 x 5 nên = ; 
 2(x + 5) 2
 2 x+2 ( xx ++ 2)( 1)
 c) Ta có xx 2 1 xxx 2 11 nên = ; 
 xx−−112 • T = a + [f(x)] : Giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0.
 • T = b – [f(x)]2 : Giá trị lớn nhất của T bằng b khi f(x) = 0.
 2a≥ 
 Nếu a > 0, T > 0 thì ≤ nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất). 
 T
 3+ 21x −
Ví dụ 4. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức:
 14
 −+44xx2
 b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức: 
 15
 −+44xx2
 Giải
 15
 3+ 21x −
 a) Vì mẫu thức là 14 > 0 nên phân thức có GTNN khi 32+−x 1 có GTNN. 
 14
 Vì nên 2x −≥ 10 nên 32+x −≥ 13 , suy ra 32+x −≥ 13 có GTNN bằng 3 khi 2x – 1 
 1 3
= 0, tức là x = . Khi đó GTNN của phân thức bằng . 
 2 14
 b) Mẫu thức dương nên phân thức có GTLN khi −+44xx2 có GTLN.
Ta có −+44xx2 = 1−− (2x 1) 2 . Vì −−≤(2x 1)2 0 nên 1− (2x −≤ 1)2 1 . 
 1 1
 GTLN của phân thức bằng khi x = . 
 15 2
Ví dụ 5. Tìm GTLN của các phân thức: 
 5 3
 a) b)
 xx2 ++22 22+−x 5
Giải 
 a) Ta có tử thức là 5 > 0 và mẫu thức là:
 2
 xx22+2 + 2 = ( xx + 2 + 1) += 1() x + 1 +> 1 0 
 2
nên phân thức có GTLN khi ()x ++11 có GTNN. 
 2 2
 Vì ()x +>10 nên ()x +1 +> 11 có GTNN bằng 1 khi x = – 1 . Vậy GTLN của 
 5
 bằng 5 khi x = - 1. 
 xx2 ++22
 3 3 5
 b) GTLN của phân thức bằng khi x = . 
 22+−x 5 2 2
 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau để chứng minh các đẳng thức sau:
 xy35 x 44 y xx2 (+ 3) x
 a) = ; b) = ; 
 7 35xy3 xx(++ 3)2 x 3
 2−xx2 −+ 44 x xxxx32−93 −−
 c) = ; d) =
 24+−xx2 15− 5x 5
2. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong đẳng
thức sau: Phương pháp giải 
 • Biến đổi từ vế trái hoặc vế phải bằng các tính chất:
 A AC. A AC:
 = hoặc = ; (C ≠ 0) . 
 B BC. B BC:
 −−A AA
 • Lưu ý: =−=. 
 −B BB
Ví dụ 1. (Bài 4, trang 38 SGK) 
 Cô giáo yếu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau. Dưới đây là 
 những ví dụ mà các bạn Lan, Hùng, Giang, Huy đã cho: 
 x++33 xx2 (xx++ 1)2 1
 = (Lan); = (Hùng); 
 2x−− 52 xx2 5 xx2 + 1
 44−−xx (xx−− 9)32 (9 )
 = (Giang); = (Huy). 
 −33xx 2(9− x ) 2
 Em hãy dung tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để giải thích ai 
 viết đúng, ai viết sai. Nếu có chỗ nào sai em hãy sửa lại cho đúng. 
 Giải 
 x++3 ( x 3). xxx2 + 3
 Lan cho ví dụ đúng vì: = = . 
 25(25).2x−− x xxx2 − 5
 (x+ 1)22 ( x + 1) : ( xx ++ 1) 1
 Hùng cho ví dụ sai vì: = = . 
 x2 + x xx( ++ 1) : ( x 1) x
 4−x −− (4 xx ) − 4
 Giang cho ví dụ đúng vì: = = . 
 −3x −− (3) xx 3
 (x− 9)332 −− (9 xx ) −− (9 )
 Huy cho ví dụ sai vì: = = . 
 2(9)2(9)−−xx 2
Ví dụ 2. (Bài 5, trang 38 SGK) 
 Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong đẳng thức sau. 
 xx32+ ... 5(xy+− ) 5 x22 5 y
 a);= b) =
 xx2 −−11 2 ...
 Giải 
 x32+ x xx 2( + 1) xx2 ( ++ 1) : ( x 1) x2
 a) Ta có = = =
 x2 −1 ( xx −+ 1)( 1) ( xx −+ 1)( 1) : ( x + 1) ( x − 1)
 5x22− 5 y 5( xyxy −+ )( ) 5( xy + )
 b) Ta có: = =
 2(xy−− ) 2( xy ) 2
Ví dụ 3: (Bài 6, trang 38 SGK) Theo em chỗ nào đúng, chỗ nào nào sai? Em hãy giải thích. 
 Giải 
 3xy x
 a) Rút gọn phân = là đúng vì: 
 93y
 3xyxyx .3
 = = . 
 9yy 3.3 3
 33xy+ x
 b) Rút gọn phân thức = là sai vì: 
 9y + 33
 3.(3xy+≠ 3) (9 y + 3). x . 
 33xy++ x 1
 c) Rút gọn phân thức = là sai vì: 
 99y + 6
 (3xy+≠+ 3).6 (9 y 9)( x + 1). 
 33xy+ x
 d) Rút gọn phân thức = là đúng vì: 
 993y +
 3xy++ 3 3 x ( y 1) x
 = = .
 9yy++ 9 9( 1) 3
Ví dụ 6. (Bài 9, trang 40 SGK) 
 Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức: 
 36(x − 2)3 x2 − xy
 a); b). 
 32− 16x 55y2 − xy
 Giải 
 36(x− 2)3 36( x − 2) 3 36( xx −− 2) 32 9( 2)
 a) Ta có: = = = ;
 32− 16x 16(2 − xx ) −− 16( 2) − 4
 x2 − xy −− x() y x − x
 b) Ta có: = = . 
 5y2 −− 5 xy 5( y y x ) 5 y
Ví dụ 7. (Bài 10, trang 40 SGK) 
 Đố. Đố em rút được phân thức: 
 xxxxxxx765432+++++++1
 .
 x2 −1
 Giải 
Ta có: 
 xxxxxxx765432+++++++1
 =xx642( ++ 1) xx ( ++ 1) xx ( ++ 1) ( x + 1)
 =+(x 1)( xxx642 +++1). Dạng 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 
Phương pháp giải. 
 Phân tích tử và mẫu của phân thức ở vế trái (hoặc vế phải) của đẳng thức đã cho 
 thành nhân tử rồi rút gọn phân thức ta được kết quả. 
 23x22++ xy y 1
Ví dụ 11. Chứng minh rằng: = . 
 22x32+− x y xy 23 − y x − y
 Giải 
Phân tích tử thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử: 
23x2++= xyy 22 (22)()2()()()(2). x + xyxyy ++=2 xxyyxy +++=+ xy xy + 
Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử: 
2x32+−−=+−+=+−=++− xyxyy 2 23 x 2(2 xy ) y2 (2 xy ) (2 xyx )(22 y ) (2 xyxyxy )( )( ). 
 2x22++ 3 xyy( xy + )(2 xy + ) 1
Vậy: = = .
 2x32+−− xy 2 xyy 23 (2 x ++− yx )( yx )( y ) x − y
Dạng 4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 
Phương pháp giải. 
 • Trước hết, rút gọn biểu thức bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử ròi
 chia tử và mẫu cho nhân tử chung.
 • Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã rút gọn.
Ví dụ 12. Tính giá trị của biểu thức: 
 (x−+ 2)(2 xx 22 ) 1
 với x = − .
 (x+− 1)(4 xx3 ) 2
 Giải 
Rút gọn biểu thức đã cho ta có: 
(x−+ 2)(2 xx 22 ) ( x −+ 2)2 xx (1 ) ( x −+ 2)2 xx (1 ) 2
 = = = − .
 (x+− 1)(4 xx32 ) ( xx +− 1) (4 x ) ( xx +−+ 1) (2 x )(2 x ) x + 2
 1
Thay x = − vào biểu thức đã rút gọn ta được: 
 2
 2 2− 24
 =−==−.
 + 13
 x 23−+2
 22
Ví dụ 13. Tính giá trị của biểu thức: