Lý thuyết và bài tập Chuyên đề giới hạn Toán 11

 MỤC L ỤC 
 PH ẦN I. LÝ THUY ẾT VÀ BÀI T ẬP T Ự LU ẬN 
§1. GI ỚI H ẠN C ỦA DÃY S Ố 01 - 14 
§2. GI ỚI H ẠN C ỦA HÀM S Ố 15 – 31 
§3. HÀM S Ố LIÊN T ỤC 32 – 40 
ÔN T ẬP CH ƯƠ NG IV 41 – 49 
 PH ẦN II. TR ẮC NGHI ỆM 
GI ỚI H ẠN C ỦA DÃY S Ố 50 – 54 
GI ỚI H ẠN C ỦA HÀM S Ố 55 – 59 
HÀM S Ố LIÊN T ỤC 60 – 62 
ÔN T ẬP CH ƯƠ NG IV. GI ỚI H ẠN 63 – 72 
ĐÁP ÁN TR ẮC NGHI ỆM 73 – 74 
 Toán 11 GV. L ư S ĩ Pháp 
 = ±∞ = ±∞ ( )
 a) Quy t ắc 1. N ếu lim un và lim vn thì lim un v n được cho trong b ảng: 
 lim u lim v ( )
 n n lim un v n 
 +∞ +∞ +∞ 
 +∞ −∞ −∞ 
 −∞ +∞ −∞ 
 −∞ −∞ +∞ 
 = ±∞ = ≠ ( )
 b) Quy t ắc 2. Nếu lim un và limvn L 0 thì lim un v n được cho trong b ảng: 
 lim u Dấu c ủa L ( )
 n lim un v n 
 +∞ + +∞ 
 +∞ − −∞ 
 −∞ + −∞ 
 −∞ − +∞ 
 u 
 c) Quy t ắc 3. . N ếu limu= L ≠ 0 và limv = 0 và v > 0 ho ặc v < 0 thì lim n được cho trong 
 n n n n  
 vn 
 bảng: 
 Dấu c ủa L Dấu c ủa v  
 n un
 lim   
 vn 
 + + +∞ 
 + − −∞ 
 − + −∞ 
 − − +∞ 
 u
 => =±∞ n =
Chú ý . Nếu limun L 0,lim v n thì lim 0 
 vn
6. Tổng c ấp số nhân lùi vô hạn 
 
 Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q < 1 
 
 Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un) 
 u u
 Suuu=+++++=... u ...1 ; q < 1 hay Suuquq=++2 ++... uqn− 1 += ...1 ; q < 1 
 1 2 3 n 1− q 111 1 1− q
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số 
 ≤ ≤
 Cho ba dãy số ( un), ( vn) ,( wn) và số thực L. Nếu un v n w n với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy 
 số ( vn) có giới hạn và lim vn = L. 
8. Lưu ý 
 a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn 
 b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 
 c) Nếu lim un = a thì lim un + 1 = a 
 n
 1 
 d) Số e: e =lim 1 +  
 n→+∞ n 
9. Ph ươ ng pháp tìm giới hạn của dãy số 
- Vận dụng nội dung định nghĩa 
- Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về 
 giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực: 
 + Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu 
 cho nk, với k là số mũ cao nhất. 
 + Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức 
 liên hợp. 
10. Ph ươ ng pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
 2 
BT. ĐS> 11 Ch ươ ng IV. Gi ới h ạn Toán 11 GV. L ư S ĩ Pháp 
 1
Bài 1.4. Biết dãy số ( un) thỏa mãn u −1 < với mọi n. Chứn g minh rằng limu = 1 
 n n3 n
 HD Gi ải 
 1 1
Ta có lim= 0 nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi . Mặt 
 n3 n3
 1 1
khác, ta có u −1 < = với mọ i n 
 n n3 n 3
 −
Từ đó suy ra un 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩ là lim( un 
– 1) = 0. Do đó lim un = 1 
 2n + 1
Bài 1.5. Cho dãy s ố ( un) xác định b ởi u = 
 n n + 2
 1
a) Tìm s ố n sao cho u −2 < 
 n 100
b) Ch ứng minh r ằng v ới m ọi n > 2007 thì các s ố h ạng c ủa dãy s ố ( un) đều n ằm trong kho ảng (1,998; 
2,001) 
 HD Gi ải 
 21n + − 3 3 1 3 1
a) Ta có u −=2 −= 2 = . Khi đó u− n 298 
 n n+2 n + 2 n + 2 n 100n + 2 100
 3 3
b) Khi n>2007 ⇔+> n 2 2009 ⇔ < 
 n + 2 2009
 3 3 3
⇔−<u2 ⇔− 2 <<+ u 2 ⇔ 1,998 << u 2,001 
 n 2009 2009n 2009 n
Bài 1.6 . Tính các giới hạn sau 
 6n − 1 4n2 − n − 1 3n2 + n − 5 2n3 − 2 n + 3
a) lim b) lim c) lim d) lim 
 3n + 2 3+ 2 n2 2n2 + 1 1− 4 n3
 HD Gi ải 
 1  1 1 1
 n6 −  6 − 4 − −
 6n − 1 n  4n2 − n − 1 2
 a) lim= lim = limn = 2 b) lim= limn n = 2 
 3n + 2 2  2 3+ 2 n2 3
 n3 +  3 + + 2
 n  n n2
 2 3
 2 − +
 3n2 + n − 5 3 223n3 − n + 2 3 1
 c) lim = d) lim= lim n n = − 
 2n2 + 1 2 1− 4 n3 1 2
 − 4
 n3
Bài 1.7 . Tính các giới hạn sau: 
 n+ n −n + n +  − n 
 3 5.4 ( 2) 3 n1+ cos n + ( 1)
a) lim b) lim + + c) lim   d) lim 3  
 4n+ 2 n (2)−n1 + 3 n 1 n 3n  2n 
 HD Gi ải 
 n
 3   n
 4n + 5  3 
     + 5
 3n+ 5.4 n 4   4
a) lim= lim = lim = 5 
 n+ n n n
 4 2 2   1 
 4n  1 +    1+  
   2
 4    
 4 
BT. ĐS> 11 Ch ươ ng IV. Gi ới h ạn Toán 11 GV. L ư S ĩ Pháp 
 1
 1+
 n4+ n 2 +1 − n 4 2 1
c) lim( n4++−= n 2 1 n 2 ) lim = lim n = 
 n4+ n 2 +1 + n 2 1 1 2
 1+ + + 1
 n2 n 4
 nn( 2−−1 n 2 + 2)( n 2 −+ 1 n 2 + 2 )
d)lim nn( 2−− 1 n 2 + 2) = lim
 n2−1 + n 2 + 2
 −3n 3 
 =lim = −
 1 2  2
 n1− + 1 + 
 2 2 
 n n 
Bài 1.10. Tính các giới hạn sau : 
 1
 a) lim( n2 ++− n 2 n + 1 ) b) lim 
 3n+ 2 − 2 n + 1
 n2 +1 − n + 1 1
 c) lim d) lim 
 3n + 2 n2 +2 n − n
 HD Gi ải 
 1
a) +∞ b) 0 c) 
 3
 2
 1+ + 1
 1n2 + 2 n + n
 lim= lim = limn = 1
d) 2 2 
 n2 +2 n − n n+2 n − n 2
Bài 1.11. Tính các gi ới h ạn sau 
 a) lim( n2 + 3 n − n + 2 ) b) lim( 3 n3− 2 n 2 − n ) 
 4n2 + 12 − n + 1
 c) limn( n− 1 − n ) d) lim 
 n2 +2 n − n
 HD Gi ải 
 2 2 
 ( n+−3 nn)( n ++ 3 nn )
 2  
a) lim( n+−+= 3 n n 2) lim + 2  
 n2 +3 n + n 
  
  
    
  
 3n  3 7
=lim += 2  lim += 2  
 3   3  2
 n1+ + 1  1+ + 1 
     
 n   n
 2 
 ( 3 n32−−2 nn)3 () n 32 − 2 n + nn3 322 −+ 2 nn 
  
 b)lim( 3 n3− 2 nn 2 −) = lim 
 2
 3 ()n32−2 n + nn3 322 −+ 2 nn
 −2n2 − 2 2
 =lim = lim =− 
 3n6−+4 n 5 4 nnn 2 + 3 322 − 2 nn + 4 4 2 3
 3 1−+ +3 1 −+ 1
 nn4 n
 6 
BT. ĐS> 11 Ch ươ ng IV. Gi ới h ạn