Lý thuyết và bài tập Chuyên đề Đa giác và diện tích đa giác Toán 8

 Chương II 
 ĐA GIÁC 
 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 
 §1. ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa
Đa giác AA12... An là hình gồm n đoạn thẳng AA12, AA 23 ,..., AAn 1 trong đó bất kì đoạn 
thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. 
Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa 
bất kì cạnh nào của đa giác đó. 
Chú ý. Từ nay khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác 
lồi. 
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. 
 A
 E B
 D C
 Ngũ giác 
2. Tính chất
Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng ()n − 2 .1800 hay ()nv− 2 .2 .
 ()n − 2 .1800
Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng . 
 n
 Lục giác đều 
 B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 3. TÍNH CHẤT VỀ SỐ ĐƯỜNG CHÉO CỦA ĐA GIÁC 
 Phương pháp giải 
 Trước hết xét số đường chéo xuất phát từ một đỉnh. 
 Ví dụ 1. Tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác, hình n − giác. 
 Giải 
 (Đối với hình n − giác AA12... An ) từ đỉnh A1 chẳng hạn, vẽ được n − 3 đường chéo: 
 AA13, AA 14 ,..., AA 1n− 1 (nối A1 với các đỉnh của đa giác, trừ ba đỉnh AAA12,,n ). 
 Với n đỉnh, có nn()− 3 đường chéo, trong đó mỗi đường chép đã được tính hai lần. 
 nn()− 3
 Vậy số đường chéo là . 
 2
 Dạng 4. ĐA GIÁC ĐỀU 
 Phương pháp giải 
 Sử dụng định nghĩa đa giác đều, công thức tính góc của đa giác đều. 
Ví dụ 1. (Bài 2 SGK) 
Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau: 
a) Có tất cả các cạnh bằng nhau.
b) Có tất cả các góc bằng nhau.
 Giải b) Gấp đôi số cạnh?
 6. (Dạng 3). Cho lục giác ABCDEF có các cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và
 FA song song và bằng nhau. Chứng minh rằng các đường chéo AD , BE và CF
 của lục giác cắt nhau tại một điểm O và O ' chia mỗi đường chéo thành hai đoạn
 bằng nhau.
 7. (Dạng 3). Chứng minh rằng trong ngũ giác, tổng các đường chéo lớn hơn chu vi.
 8. (Dạng 4). Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng 1080 . Tìm n
 9. (Dạng 4). Cho tam giác đều ABC . Trên cạnh AB lấy các điểm DE, sao cho
 AD= DE = EB . Trên cạnh BC lấy các điểm FH, sao cho BF= FH = HC. Trên
 cạnh CA lấy các điểm IK, sao cho CI= IK = KA. Chứng minh rằng DEFHIK là
 lục giác đều.
 10. (Dạng 4). Chứng minh trung điểm các cạnh của một ngũ giác đều là đỉnh của
 một ngũ giác đều.
 §2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1. Khái niệm diện tích đa giác
 Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó.
 Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương.
 Diện tích đa giác có các tính chất sau:
− Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
− Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì
 diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
− Nếu chọn hình vuông có cạnh 1cmdmm ,1 ,1 ,... làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị
 diện tích tương ứng là 1cmdmm2 ,1 22 ,1 ,...
 2. Công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông
 − Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó:
 S= ab.. 
 a
 b Ghép như hình trên. Các hình này có diện tích bằng nhau theo tính chất thứ hai của 
 diện tích. 
 Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT. 
 Phương pháp giải. 
 Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật. 
 Ví dụ 2: ( Bài 6 SGK) 
 Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu: 
 a) Chiều dài tăng 2 lần, chiều rộng không đổi?
 b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần?
 c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần?
 Giải: 
 Lúc đầu, hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b, diện tích S = ab. 
 Sau khi thay đổi, hình chữ nhật có chiều dài a ', chiều rộng b' , diện tích S'= ab'' . 
a) Nếu a'= 2, ab ' = b thì S' = 2 ab ' .
 b) Nếu a'= 3, ab ' = 3 b thì S'= 3 a .3 b = 9 ab = 9 S .
 b b
 c) Nếu aa'= 4 , b' = thì S'= 4a . = ab = S .
 4 4
 Ví dụ 3: ( Bài 7SGK) 
 Một gian phòng có nền hình chữ nhật với kích thước là 4, 2 m và 5, 4 m, có một cửa 
 sổ hình chữ nhật kích thước 1m và 1,6 m và một cửa ra vào hình chữ nhật kích thước 
 1, 2 m và 2 m. Ta coi một gian phòng đạt mức chuẩn ánh sáng nếu diện tích các cửa 
 bằng 20% diện tích nền nhà. Hỏi gian phong trên có đạt mức chuẩn về ánh sáng 
 không? 
 Giải. 
 Diện tích S của nền nhà bằng: 4.2.5.4= 22,68 (m2). 
 Diện tích S’ của các cửa bằng: 1.1,6+= 1,2.2 4(m2). 
 S '4
Ta thấy =≈<17,6% 20%. 
 S 22,68
 Vậy gian phòng không đạt chuẩn về ánh sáng. 
 Dạng 3. DIỆN TÍCH HÌNH VUÔNG 
Phương pháp giải 1 5.12
 S= AB. AC = = 30(cm2 )
 22
 Ví dụ 6: (Bài 9 SGK) 
 ABCD là hình vuông cạnh 12 cm. AE= x . Tính x sao cho diện tích tam giác ABE
 1
 bằng diện tích hình vuông ABCD . 
 3
 x
 B E C
 12
 A D
 Giải. 
 Diện tích tam giác ABE là 6x ( cm2 ). 
Diện tích hình vuông ABCD là 144( cm2 ). 
 144
Theo đề bài, ta có 6xx= ⇒=8(cm) . 
 3
 Ví dụ 7: (Bài 13 SGK) 
 Cho hình 125, trong đó ABCD là hình chữ nhật, E là một điểm bất kì nằm trên 
 đường chéo AC . 
 FG// AD và HK// AB . Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có 
 cùng diện tích. 
 A F
 B
 Giải. E
 H K
 Ta có SSABC= ADC ;
 SSAEF= AHE ;
 SS= .
 EKC EGC D G C a) Hình chữ nhật ABCD được căt ghép thành 3 mảnh như ở hình bên. Hãy ghép 3
mảnh đó lại để được hình vuông.
b) Hãy chia hình chữ nhật kích thước 9x 16 nói trên thành 2 mảnh rồi ghép lại thành
 một hình vuông.
 2. (Dạng 2). Cho hình thoi có hai đường chéo bằng a và b . Tính diện tích tứ giác có
đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thoi.
3. ( Dạng 2). Cho hình chữ nhật ABCD có AD =14 cm, BD = 50 cm . O là giao điểm
 của hai đường chéo. Gọi EFGH,,, lần lượt là trung điểm của OA,,, OB OC OD . Tính
diện tích tứ giác EFGH .
 4. (Dạng 3). Diện tích một hình vuông tăng bao nhiêu phần trăm nếu mỗi cạnh của
 nó tăng thêm 20% .
 5. (Dạng 3). Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, độ dài hai
đường chéo bằng 4 cm. Tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của
 hình thang cân đó.
 6. (Dạng 4). Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm, tổng hai
 cạnh góc vuông bằng 14cm.
 7. Tính diện tích hình thang vuông ABCD ( AB=  = 900 ) có AB = 3 cm, AD = 4 cm,
 ABC =1350 .
8. Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng 100m2, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
 §3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 • Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với
 cạnh đó:
 h
 1 a
 S= ah.
 2
 Từ đó suy ra: 
 • Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích của hai tam
 giác đó bằng tỉ số các chiều cao tương ứng. Ví dụ 2: ( Bài 18 SGK) Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM (H.132 SGK). 
Chứng minh SSAMB= AMC . 
 Giải. 
 A
 C
 B H M
Kẻ AH⊥ BC . Ta có: 
 11
S= BM.; AH S= MC .. AH
 AMB 22AMC
Do BM= MC nên SSAMB= AMC . 
Ví dụ 3: ( Bài 24 SGK) 
Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b . 
 Giải. 
 h
 b
 a
Gọi H là chiều cao của tam giác cân có đáy là a và cạnh bên là b . Theo định lí Pi-ta-
go, ta có: 
 a44 ba22−− ba
hb22= −() 2 = ⇒=h
 24 2
 1 14ba2 − 1
Vậy S= ah = a.4=a b2 − a .
 22 2 4
Ví dụ 4 (Bài 25 SGK) 
Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a. 1
 =DE.( BH + AH )
 2
 11
 =DE. AB = .4.6 = 12(cm2 ) . 
 22
Dạng 3. TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÔNG THỨC 
TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC. 
Phương pháp giải. 
 1 22SS
Từ công thức S= ah suy ra ah=, = . 
 2 ha
Ví dụ 6. Tam giác cân ABC ( AB= AC ) có BC = 30 cm, đường cao AH = 20 cm. Tính 
đường cao ứng với cạnh bên. 
 Giải. 
 A
 K
 B C
 H
Kẻ AH⊥ AC. 
 AC2= AH 2 + HC 2 =+=20 22 15 625. 
Suy ra AC = 25 cm. 
 11 2
 SABC = BC. AH = .30.20 = 300() cm
 22
 2S 2.300
 BK = = = 24() cm . 
 AC 25
Dạng 4. SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ 
THỨC. 
Phương pháp giải.