Lý thuyết và bài tập Chuyên đề Bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán 8

 Chương IV 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
 Bài 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG 
 Bài 2: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN 
 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Với ba số abc,, ta có:
 + Nếu ab< thì acbc+<+;
 + Nếu ab> thì acbc+>+;
 + Nếu ab≤ thì acbc+≤+;
 + Nếu ab≥ thì acbc+≥+;
 + Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được bất đẳng thức mới
 cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 
 2. Với ba số ab, và c mà c > 0 , ta có:
 + Nếu ab< thì ac< bc , nếu ab≤ thì ac≤ bc;
 + Nếu ab> thì ac> bc , nếu ab≥ thì ac≥ bc.
 3. Với ba số ab, và c mà c < 0 , ta có:
 + Nếu ab bc , nếu ab≤ thì ac≥ bc;
 + Nếu ab> thì ac< bc , nếu ab≥ thì ac≤ bc.
 + Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương thì được bất đẳng thức mới
 cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 
 + Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì được bất đẳng thức mới
 ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. 
 B. CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1: BIỂU THỊ THỨ TỰ CÁC SỐ. 
 Phương pháp giải 
+ ab< : Đọc là a nhỏ hơn b .
 + ab≤ : Đọc là a nhỏ hơn hoặc bằng b .
 + Chú ý đến quy tắc cộng và nhân cả hai vế bất đẳng thức cho cùng một số.
 Ví dụ 1. ( Bài 1, trang 37 SGK) 
 Bất đẳng thức nào biểu thị đúng thứ tự các số ? Vì sao? 
 a) ()−2 +≥ 3 2; b) −≤6 2.() − 3 ;
 c) 4+−()() 8 < 15 +− 8 ; d) x2 +≥1 1.
 Giải 
 a) ()−2 +≥ 32 sai vì 12≥ là bất đẳng thức sai.
 b) −≤6 2.() − 3 đúng vì −=−6 6.
 c) 4+−()() 8 < 15 +− 8 đúng vì từ 4< 15 cộng vào hai vế bất đẳng thức cho −8.
 d) x2 +≥11 đúng vì x2 ≥ 0 đúng với x. ()−2 .3.10 <− 4,5.10 ⇒() − 2 .30 <− 45 
Mặt khác: ()−2 .3 <− 4,5 ⇒() − 2 .3 + 4,5 <− 4,5 + 4,5 
 ⇒−()2 .3 + 4,5 < 0. 
Dạng 2. SO SÁNH HAI PHÂN SỐ 
Phương pháp giải. 
Sử dụng quy tắc cộng và nhân cả hai vế bất đẳng thức cho cùng một số. 
Ví dụ 7. (Bài 2, trang 37 SGK) 
 Giả sử ab< , hãy so sánh: 
 a) a +1 và b +1 b) a − 2 và b − 2
 Giải 
 a) Ta có ab< suy ra ab+<11 +.
 b) Ta có ab< suy ra ab−<−22
Ví dụ 8. (Bài 3, trang 37 SGK) 
 So sánh a và b nếu: 
 a) ab−≥−55 b) 15+≤ab 15 +
 Giải 
 a) Từ ab−≥−55 suy ra ()()a−+≥−+⇒≥55 b 55 ab.
 b) Từ 15+a ≤ 15 + b ⇒()()()() 15 + a +− 15 ≤ 15 +b +− 15 ⇒ ab ≤
Ví dụ 9. (Bài 6, trang 39 SGK) 
 Giả sử có ab< , hãy so sánh: 2a và 2b ; −a và −b . 
 Giải 
 - Ta có ab nên 22ab< .
 - Ta có ab − 1. b ⇒− ab >− .
Ví dụ 10. (Bài 13, trang 40 SGK) 
 So sánh a và b nếu: 
 a) ab+−
 c) 5ab−≥ 65 − 6 d) −23ab + ≤− 23 +
 Giải 
 a) a+5 < b + 5 ⇒()()()() a + 55 +− < b + 55 +− ⇒ ab < .
 1 11 
 b) −33ab >− và −<0 nên ()−3.a − <−() 3. b  − ⇒ ab < . 
 3 33 
 c) 5a−≥ 656 b −⇒()() 5 a − 665665 +≥ b − +⇒ ab ≥ 5
 11
 ⇒()5.a ≥() 5. b ⇒≥ ab
 55 Ví dụ 14. (Bài 12, trang 40 SGK) 
 Chứng minh: 
 a) 4.()()−+ 2 14 < 4. −+ 1 14 b) ()()()−3.25 + <− 3. − 5 + 5
 Giải 
 a) Ta có: −<−⇒−<−⇒−+<−+2 1 4.()()()() 2 4. 1 4. 2 14 4. 1 14
 b) Ta có: 2>−⇒− 5()()()()()() 3.2 <− 3. − 5 ⇒− 3.25 + <− 3. − 5 + 5
 1
Ví dụ 15. a) Cho a > 0 , Chứng minh rằng: a +≥2
 a
 ab22+
 b) Cho ab, tùy ý, chứng minh rằng: ≥ ab
 2
 Giải 
 1
 a) Lập hiệu : a +−2. Ta có:
 a
 2
 1aa2 +− 12 ()a −1
 a + −=2 =
 a aa
 2
 2 ()a −1 1 1
 Vì ()a −≥10 và a > 0 nên ≥ 0 . Do đó: a + −≥20, suy ra a +≥2 .
 a a a
 2
 ab22+ ab 22 +−2 ab()ab− ab22+
 b) −ab = = ≥⇒0 ≥ab . 
 2 22 2
Ví dụ 16. Với mọi xyz,, chứng minh rằng: 
 a) x2++≥++ y 22 z xy yz zx
 b) x2++≥ y 22 z222 xy − xz + yz
 c) x2+ y 22 + z +≥32() xyz ++
 Giải 
 a) Ta có: x2++−++= y 22 z xy yz zx
 1
 =( x2 −2 xyy ++− 2)( y 2 22 yzz ++−+ 22)( z zxx 2)
 2 
 1 222
 =()()()xy − +− yz +− zx ≥0
 2 
 222
 Vì ()()()xy−≥0, yz −≥ 0, zx −≥ 0 
 Do đó: x2++≥++ y 22 z xy yz zx . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xyz= = . 
 b) Ta có: x2++− y 22 z(222 xy − xz + yz) = 
 2
 =x2 + y 22 + z −222 xy + xz − yz =() xyz −+ ≥0 
 Do đó x2++≥ y 22 z222 xy − xz + yz Dạng 5. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN 
 NHẤT. 
 Phương pháp giải. 
 • Giả sử f ()xk≤ ( k là hằng số) và dấu bằng xảy ra khi xa= thì giá trị lớn nhất của
 f ()x là k khi xa= , kí hiệu maxf ()xk= khi xa= .
 • Giả sử f ()xk≥ ( k là hằng số) và dấu bằng xảy ra khi xa= thì giá trị nhỏ nhất của
 f ()x là k khi xa= , kí hiệu minf ()xk= khi xa= .
• 
 Ví dụ 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
 a) Ax=−++()()()()1236 x x x +
 b) Bx=−+−+−123 x x
 Giải 
 22
 a) Ax=()()()() −1 x + 6 x + 2 x + 3 =()() xx +− 56 xx ++ 56
 2
 =+−()xx2 5 36 . 
 2
 Vì ()xx2 +≥50 với mọi x nên A ≥−36 . Vậy minA = − 36 khi xx2 +=50 hay
 x = 0 hoặc x = −5. 
 b) Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối: a+≥+ b ab và dấu bằng xảy ra khi ab ≥ 0 . 
 Ta có: x−+1 x − 3 = x −+ 1 3 − xx ≥ −+− 13 x = 2 
 dấu bằng xảy ra khi ()()xx−13 −≥ 0 hay 13≤≤x . Mặt khác x −≥20, dấu bằng 
 xảy ra khi x = 2 . 
 Vậy Bx= −+−+−1 x 3 x 2 ≥+= 202. Dấu bằng xảy ra khi x = 2 , do đó 
 min B= 2 khi x = 2 . 
 Ví dụ 19. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
 a) Cx=66 + y biết xy22+=1
 21x +
 b) D =
 x2 + 2
 Giải 
 33
 a) Ta có: C=()()()( x2 + y 2 =+ x 224224 y x −+ xy y)
 2
 Vì xy22+=1 nên C=+− x4 y 4 xy 22 =() x 2 + y 2 −3 xy 22 
 =−≤13xy22 1 
 Dấu bằng xảy ra khi x = 0 hay y = 0. 1
 Áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất của A=−−()()12 xx với <<x 1 
 2
 11. (Dạng 5). Chứng minh rằng : Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ 
 nhất khi hai số đó bằng nhau. 
 Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 2
 ()x +1 1
 a) B = (với x > 0 ) b) Cx= + (với x >1) 
 x x −1
 43x +
 12. (Dạng 5). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = . 
 x2 +1
 BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1. Nghiệm của bất phương trình:
 xa= gọi là nghiệm của bất phương trình nếu ta thay xa= vào hai vế bất phương trình
 thì được một bất đẳng thức đúng.
 2. Tập nghiệm của bất phương trình:
 Tập nghiệm của bất phương trình là tất cả các giá trị của biến x thỏa mãn bất phương
 trình. 
 3. Biểu diễn tập nghiệm:
 • {}xx/:> a
 • {}xx/:< a
 • {}xx/:≥ a
 • {}xx/:≤ a
 B. CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1.KIỂM TRA xa= CÓ LÀ NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG 
 Phương pháp giải 
 Bằng cách thay xa= vào hai vế của bất phương trình, nếu được một bất đẳng thức đúng 
 thì xa= là nghiệm của bất phương trình, còn nếu bất đẳng thức sai thì xa= không là 
 nghiệm của bất phương trình. 
 Ví dụ 1. (Bài 15, trang 43 SGK) 
 Kiểm tra xem giá trị x = 3là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất 
phương trình sau: 
 a) 2x+3 + xx 2 5; c) 5−> xx 3 − 12.
 Giải Dạng 3. LẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 Phương pháp giải 
 Dựa vào các dự kiện đã cho trong bài toán để chọn ẩn số x rồi dựa vào mối quan hệ giữa 
 giả thiết của bài toán với kết luận cần tìm để lập bất phương trình tìm x . 
 Ví dụ 4. (Bài 18 trang 43SGK) 
 Hãy lập bất phương trình cho bài toán sau : 
 Quãng đường từ A đến B dài 50km . Một ôtô đi từ A đến B , khởi hành lúc 7
 giờ. Hỏi ôtô phải đi vận tốc là bao nhiêu km /hđể đến B trước 9 giờ? 
 Giải 
 Gọi x() km/ h là vận tốc của ôtô ()x > 0 . 
 50
 Thời gian ôtô từ A đến B là ()h . 
 x
 Vì phải đến B trước 9 giờ nên thời gian ô tô đi từ A đến B phải nhỏ hơn 2 giờ. Ta có 
 50
 bất phương trình < 2
 x
 Dạng 4. CHỨNG MINH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM VỚI MỌI GIÁ TRỊ 
CỦA ẨN SỐ x 
 Phương pháp giải 
 2
 Biến đổi bất phương trình về dạng fx() +> k 0 ( với k > 0 )
 Ví dụ 5. Chứng minh các bất phương trình sau có nghiệm với mọi x : 
 ax)x2 − 4 +> 5 0; b)− x2 + 2x −< 2 0
 Giải
 2 2
 a) Ta có : x45x44122−+=−++=−x() xx() 2 + 1.Vì ()x −≥20với mọi giá trị
 2
 x nên ()x −2 +> 10 với mọi x .
 Vậy x2 − 4x +> 50 có nghiệm với mọi giá trị của x .
 2 2
 b) Ta có : b)− x22 + 2x − 2 =−() x − 2 xx + 1 −=−− 1() 1 − 1. Vì −−()x 10 ≤ với
 2
 mọi giá trị x nên −()x −1 −< 10 với mọi x . 
 Vậy −x2 + 2x −< 20 có nghiệm với mọi giá trị của x . 
 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) . Thử xem x = −1 có là nghiệm của bất phương trình sau không?
 ax)3−> 7 2 x + 1; bx)3− −> 1 x + 1;
 cx)1− 3 − 2 3 x 1.
 2. (Dạng 2). Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình của bất phương trình sau trên
 trục số.
 a)x> 7; b)x≥− 2;