Giáo án Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học - Toán Lớp 10 Sách Cánh diều

 Tiết 81,82,83,84,93 
 BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
 Thời gian thực hiện: 5 tiết
 I. MỤC TIÊU
 1. Kiến thức
 - Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học dùng để chứng minh một 
 mệnh đề liên quan đến số tự nhiên.
 2. Năng lực
Năng lực YCCĐ
 NĂNG LỰC ĐẶC THÙ
 Năng lực tư duy và – Mô tả được các bước chứng minh tính đúng đắn của một 
 lập luận toán học mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp.
 - Biết chưng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên 푛
 Năng lực giải quyết ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp toán học.
 vấn đề toán học - Chứng minh được tính đúng đắn của một mệnh đề 
 toán học bằng phương pháp quy nạp toán học.
 – Vận dụng được phương pháp quy nạp toán học để giải 
 Năng lực mô hình quyết một số vấn đề thực tiễn: Tìm được quy luật 
 hóa toán học. trong bài toán chọn hình và làm được bài toán tính lãi 
 suất ngân hàng.
 NĂNG LỰC CHUNG
 Năng lực tự chủ và Tự giải quyết các bài tập trắc nghiệm ở phần luyện tập và bài 
 tự học tập về nhà.
 Năng lực giao tiếp Tương tác tích cực của các thành viên trong nhóm khi thực 
 và hợp tác hiện nhiệm vụ hợp tác.
 3. Phẩm chất: 
 Có ý thức hỗ trợ, hợp tác với các thành viên trong nhóm để 
 Trách nhiệm
 hoàn thành nhiệm vụ.
 Có ý thức tôn trọng ý kiến của các thành viên trong nhóm 
 Nhân ái
 khi hợp tác. 
 II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU 
 - Kiến thức về một số phép toán liên quan tới số tự nhiên. 
 - Máy chiếu
 - Bảng phụ
 - Phiếu học tập
 III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 
 HOẠT ĐỘNG 1: XÁC ĐỊNH VẤN ĐỀ.
 a) Mục tiêu: 
 - Biết phối hợp hoạt động nhóm
 - Tạo hứng thú vào bài mới H1: Xét mệnh đề chứa biến 푃(푛) : "1 1 + 3 + 5 +  + (2푛 ―1) = 푛2 " với 푛 là số 
nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng 푃(1) là mệnh đề đúng.
b) Với là một số nguyên dương tuỳ ý mà 푃( ) là mệnh đề đúng, cho biết 
1 + 3 + 5 +  + (2 ―1) bằng bao nhiêu.
c) Với là một số nguyên dương tuỳ ý mà 푃( ) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng 푃(
 +1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra 2 +[2( +1) ― 1] = ( +1)2. 
H2: Vi dụ 1: Chứng minh rằng 푛3 ― 푛 chia hết cho 3 với mọi 푛 ∈ ℕ∗.
 1 1 1 푛
H3: Vi dụ 2 Chứng minh rằng với mọi ∗, ta có: .
 푛 ∈ ℕ 1.2 + 2.3 + + 푛(푛 1) = 푛 1
c) Sản phẩm: 
H1. Ta chứng tỏ được rằng:
 • P(1) là mệnh đề đúng,
-Với k là một số nguyên dương tuỳ ý, nếu 푃( ) là mệnh đề đúng
thì 푃( +1) cũng là mệnh đề đúng.
Khi đó 푃(푛) là mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ∗ theo một nguyên lí mà ta gọi là 
nguyên lí quy nạp toán học.
Phương pháp chứng minh như trên (để khẳng định tinh đúng đẳn của một mệnh đề 
toán học) được gọi là phương pháp quy nạp toán học.
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên 푛 ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp 
toán học, ta làm như sau:
Bước 1. Chứng tỏ mệnh đề đúng với 푛 = 1.
Bước 2. Với là một số nguyên dương tuỳ ý mà 푃( ) là mệnh đề đúng (gọi là giả 
thiết quy nạp), ta phải chứng tỏ 푃( +1) cũng là mệnh đề đúng.
Nhận xét: Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên 푛,푛 ≥ ( ∈ ℕ∗) 
bằng phương pháp quy nạp toán học, ở Bước 1 trong cách làm trên, ta phải chứng tỏ 
mệnh đề đúng với 푛 = .
H2: Vi dụ 1: Chứng minh rằng 푛3 ― 푛 chia hết cho 3 với mọi 푛 ∈ ℕ∗.
Buớc 1. Khi 푛 = 1, ta có: 13 ―1 = 0 chia hết cho 3 .
Bước 2. Với là một số nguyên dương tuỳ ý mà 3 ― chia hết cho 3 , ta phải 
chứng minh ( +1)3 ―( +1) chia hết cho 3 . vụ HS: Đọc yêu cầu, trình bày nội dung câu trả lời trên bảng phụ
 Báo cáo thảo Nhóm 1 đại diện báo cáo sản phẩm, các nhóm còn lại kiểm tra 
 luận chéo theo sơ đồ 1-2-3-4.
 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm ; 
 đặt vấn đề chứng minh mệnh đề Q(n) đúng n N * . Hướng dẫn 
 Đánh giá, nhận học sinh thực hiện.Cho học sinh phát biểu nội dung phương 
 xét, tổng hợp pháp quy nạp
 - Phương pháp đánh giá (PP đánh giá bài làm của nhóm.)
3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các kiến thức về phương pháp quy nạp toán học vào 
các bài tập cụ thể trong sách giáo khoa và các bài tập trắc nghiệm cụ thể.
b) Nội dung: 
 PHIẾU HỌC TẬP 1
 TỰ LUẬN
Câu 1. Chứng minh với n ¥ * , ta có:
 n 3n 1 
a) 2 5 8 ... 3n 1 . b) n3 11n chia hết cho 6.
 2
 1 1 1
Câu 2. Cho tổng S ... với n ¥ *
 n 1.2 2.3 n(n 1)
a) Tính S1, S2 , S3 .
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng qui nạp.
 TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n đúng với mọi số tự 
 nhiên n p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh 
 quy nạp, bắt đầu với n bằng:
 A. n p . B. n 1. C. n p . D. n p .
Câu 4. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên (là 
 một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với . Khẳng định nào 
 sau đây là đúng?
 A. k p .B. k p . C. k p . D. k p .
Câu 5. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n 
 đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: a) + Với n 1 thì VT = 2 = VP. Vậy hệ thức đúng với n 1.
 k 3k 1 
+ Giả sử (a) đúng khi n k(k 1) , tức là 2 5 8 ... 3k 1 đúng.
 2 
 k 1 3k 4 
Ta CM với n k 1 thì (a) cũng đúng, nghĩa là 2 5 8 ... 3 k 1 1 
 2
Ta có: 2 5 8 ... 3 k 1 1
 k 3k 1 3k 2 7k 4 k 1 3k 4 
 2 5 8 ... 3k 1 3k 2 3k 2 
 2 2 2
Do đó (a) đúng với n k 1.
Vậy (a) đúng với mọi n ¥ * .
b) Đặt P(n) n3 11n . 
- Khi n 1, ta có P(1) 126 . Suy ra mệnh đề đúng với n 1.
- Giả sử mệnh đề đúng khi n k 1, tức là: P(k) k 3 11k6 .
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n k 1, tức là chứng minh: 
 P(k 1) (k 1)3 11(k 1)6 .
Thật vậy: 
 P(k 1) k 3 3k 2 3k 1 11k 11 k 3 3k 2 14k 12 k 3 11k 3(k 2 k) 12
 P(k) 3k(k 1) 12
Mà P(k)6, 3k(k 1)6 (do k và k 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên k(k 1)2) và 126 
nên P(k 1)6
 Mệnh đề đúng khi n k 1.
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ¥ * .
Câu 2. 
a) HS tính S1, S2 , S3 .
 n
b) CM: S với n ¥ * (*).
 n n 1
 1
* Với n 1 thì VT = = VP.
 2
Vậy hệ thức đúng với n 1.
 1 1 1 k
* Giả sử (*) đúng khi n k(k 1) , tức là ... đúng.
 1.2 2.3 k(k 1) k 1
Ta CM với n k 1 thì (*) cũng đúng, nghĩa là: Em dự đoán xem, tâm đường tròn tiếp theo nằm ở vị trí nào, bán kính bằng bao 
nhiêu?
Kết quả 1:
Bán kính đường tròn là các số Fibonacci( Quy nạp kiểu Fibonacci)
Vận dụng 2: Tìm quy luật 
Kết quả 2:
Đáp án có chữ số đầu và chữ số cuối đều là 1, ở giữa là sự sắp xếp các con số tịnh 
tiến, mang tính đối xứng.
Vận dụng 3: Chứng minh rằng số đường chéo trong một đa giác lồi bằng 
 n n 3 
 C ,n 4 .
 n 2
Kết quả 3: Khẳng định đúng với n 4 vì tứ giác có hai đường chéo.
 k k 3 
Giả sử khẳng định đúng với n k 4 , tức là C 
 k 2
Ta cần chứng minh khẳng định đúng khi n k 1, có nghĩa là phải chứng minh 
 k 1 k 2 
 C 
 k 1 2