Giải toán số học THCS theo Chuyên đề (Dành cho ôn thi HSG cấp THCS)

 BÍ QUYẾT
 Giải toỏn số học THCS
 THEO CHỦ ĐỀ
 ✓ Dựng bồi dưỡng học sinh giỏi cỏc lớp 6,7,8,9
 ✓ Giỳp ụn thi vào lớp 10 chuyờn toỏn
20192020 ∶ 19 2 − 1 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 
 Ề CÁC BÀI TOÁN VỀ 
 Đ
 Ủ 1 
 CH ƯỚC VÀ BỘI 
A. Kiến thức cần nhớ 
I. Ước và bội 
1) Định nghĩa về ước và bội 
Ước: Số tự nhiờn d ≠ 0được gọi là ước của số tự nhiờn a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta 
núi d là ước của a. 
Nhận xột: Tập hợp cỏc ước của a là Ư(a) ={ d ∈ Nda:|} 
Bội: Số tự nhiờn m được gọi là bội của a ≠ 0 khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một 
ước số m. 
Nhận xột: Tập hợp cỏc bội của a ≠ là = ∈
 (a 0) B( a) {0; a ;2 a ;...; ka} , k Z 
 C 
2) Tớnh chất: Ọ
 H
- Số 0 là bội của mọi số nguyờn khỏc 0. Số 0 khụng phải là ước của bất kỡ số nguyờn nào. 
 Ố
 S
- Cỏc số 1 và -1 là ước của mọi số nguyờn. 
 Ề
- Nếu Ư(aa) = {1; } thỡ a là số nguyờn tố. 
- Số lượng cỏc ước của một số : Nếu dạng phõn tớch ra thừa số nguyờn tố của một số 
tự nhiờn A là abcxyz..  thỡ số lượng cỏc ước của A bằng ( xyz+++111)( )( )  
 CHUYấN Đ 
 Thật vậy ước của A là số cú dạng mnp trong đú: 
 m cú x +1 cỏch chọn (là1, aa, 2 ,  , ax ) 
 n cú y +1 cỏch chọn (là1, bb, 2 ,  , by ) 
 p cú z +1 cỏch chọn (là1, cc, 2 ,  , cz ), 
 Do đú, số lượng cỏc ước của A bằng ( xyz+++111)( )( ) 
II. Ước chung và bội chung 
1) Định nghĩa 
Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) và Ư(b) cú những phần tử chung thỡ những phần 
tử đú gọi là ước số chung của a và b. Kớ hiệu ƯC(a; b) 
5 | CHUYấN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 
● Nếu (aa12; ;...; an ) = 1thỡ ta núi cỏc số aa12; ;...; an nguyờn tố cựng nhau. 
● Nếu (amk; a) =∀≠ 1, m k ,{ mk ,} ∈{ 1;2;....; n} thỡ ta núi cỏc số aa12; ;...; an đụi một 
nguyờn tố cựng nhau. 
 ab (ab; )
● c ∈ƯC (a; b) thỡ ;.= 
 cc c
 ab
● d=⇔=( ab;)  ; 1. 
 dd
● (ca; cb) = c( a ;. b) 
● (ab;1) = và (ac;1) = thỡ(a;1 bc) = 
● (abc;;) = (( ab ;) ; c) 
● Cho ab>>0 
- Nếu a= bq. thỡ (ab;.) = b 
- Nếu a=+≠ bq r( r 0) thỡ (ab;) = ( br ;.) 
Một số tớnh chất của bội chung nhỏ nhất: C 
 Ọ
 H
 MM 
● Nếu [ab; ] = M thỡ ;= 1. 
  Ố
 ab
 S
 Ề
● [abc;;] = [ ab ;] ; c 
● [ka, kb] = k[ a ,; b] 
● [ab;.;] ( ab) = ab . 
4) Thuật toỏn Euclid trong việc tớnh nhanh ƯCLN và BCNN CHUYấN Đ 
“Thuật toỏn Euclid” là một trong những thuật toỏn cổ nhất được biết đến, từ thời Hy Lạp 
cổ đại, sau đú được Euclid (ơ –clit) hệ thống và phỏt triển nờn thuật 
toỏn mang tờn ụng. Về số học, “Thuật toỏn Euclid” là một thuật toỏn 
để xỏc định ước số chung lớn nhất (GCD – Greatest Common 
Divisor) của 2 phần tử thuộc vựng Euclid (vớ dụ: cỏc số nguyờn). Khi 
cú ƯCLN ta cũng tớnh nhanh được BCNN. Thuật toỏn này khụng 
yờu cầu việc phõn tớch thành thừa số 2 số nguyờn. 
Thuật toỏn Oclit – dựng để tỡm ƯCLN của 2 số nguyờn bất kỳ. 
Để tỡm ƯCLN của hai số nguyờn a và b bất kỳ ta dựng cỏch chia liờn 
tiếp hay cũn gọi là “vũng lặp” như sau: 
 • Bước 1: Lấy a chia cho b: 
Nếu a chia hết cho b thỡ ƯCLN(a, b) = b. 
Nếu a khụng chia hết cho b (dư r) thỡ làm tiếp bước 2. 
7 | CHUYấN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 
Nếu làm theo cỏch phõn tich thừa số nguyờn tố thỡ phải tớnh: 
 12 = 22 x 3; 18 = 2 x 32 suy ra BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 
Nhận xột: Với cặp số nguyờn cú nhiều chữ số thỡ việc phõn tớch ra thừa số nguyờn tố mất 
 nhiều thời gian; trong khi lấy tớch số cú thể bấm mỏy tớnh cầm tay khỏ nhanh và dễ hơn. 
5) Phõn số tối giản 
 a
 là phõn số tối giải khi và chỉ khi (ab,) = 1. 
 b
Tớnh chất: 
 i) Mọi phõn số khỏc 0 đều cú thể đưa về phõn số tối giản. 
 ii) Dạng tối giản của một phõn số là duy nhất. 
 iii) Tổng (hiệu) của một số nguyờn và một phõn số tối giản là một phõn số tối giản. 
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
 C 
 Dạng 1: Cỏc bài toỏn liờn quan tới số ước của một số 
 Ọ
 H
* Cơ sở phương phỏp: Nếu dạng phõn tớch ra thừa số nguyờn tố của một số tự nhiờn 
 xyz Ố
A abc.. A xyz+++111 S
 là  thỡ số lượng cỏc ước của bằng  
 ( )( )( ) 
 Ề
 Thật vậy ước của A là số cú dạng mnp trong đú: 
 m x +1 1, aa, 2 ,  , ax
 cú cỏch chọn (là ) 
 CHUYấN Đ 
 n cú y +1 cỏch chọn (là1, bb, 2 ,  , by ) 
 p cú z +1 cỏch chọn (là1, cc, 2 ,  , cz ), 
 Do đú, số lượng cỏc ước của A bằng ( xyz+++111)( )( ) 
* Vớ dụ minh họa: 
Bài toỏn 1. Tỡm số ước của số 1896 
 Hướng dẫn giải 
 96
 Ta cú : 1896=( 3 2 .2) = 3192 .2 96 . 
 Vậy số ước của số 1896 là (96+ 1)( 192 += 1) 97.193 = 18721.
Bài toỏn 2. Chứng minh rằng một số tự nhiờn lớn hơn 0 là số chớnh phương khi và chỉ khi 
số ước số của nú là số lẻ. 
9 | CHUYấN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 
⇒ [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3). 
⇔ 12 chia hết cho (n +3) . 
⇔ (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. 
⇔ n ∈ {0; 1; 3; 9}. 
 n + 15
Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9}thỡ là số tự nhiờn. 
 n + 3
Bài toỏn 3. Tỡm số tự nhiờn n để n2 + 3n + 6  n + 3. 
 Hướng dẫn giải 
 Ta cú: n2 + 3n + 6  n + 3 
 Suy ra: n (n + 3) + 6  n + 3 ⇔ 6  n + 3 
=> n + 3 ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 3. 
 4n+ 5
Bài toỏn 4. Tỡm số nguyờn n để phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn 
 2n− 1
 Hướng dẫn giải C 
 Ọ
 H
 4n+ 5 4n−+ 2 7 n(2n − 1) + 7 7 
Ta cú: = = =n + 
 − −− − Ố
 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 S
 4n+ 5 7 Ề
Vỡ n nguyờn nờn để nguyờn thỡ nguyờn 
 2n− 1 2n− 1
=> 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 
⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} 
 4n+ 5 CHUYấN Đ 
Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thỡ cú giỏ trị là một số nguyờn 
 2n− 1
Bài toỏn 5. Tỡm số tự nhiờn n để biểu thức sau là số tự nhiờn: 
 2nn++ 2 5 17 3 n
 B =+−
 n+2 nn ++ 22 
 Hướng dẫn giải 
Ta cú: 
 2n+ 2 5 n + 17 3 n 2 n++ 2 5 n + 17 − 3 nn 4 + 19
 B = + −= = 
 n+2 nn ++ 22 n + 2 n + 2
 4(n ++ 2) 11 11
 = =4 + 
 nn++22
 11
Để B là số tự nhiờn thỡ là số tự nhiờn 
 n + 2
⇒ 11  (n + 2) ⇒ n + 2 ∈ Ư(11) = {±±1; 11} 
11 | CHUYấN ĐỀ SỐ HỌC