Chuyên đề Xác suất của biến cố - Đại số Lớp 11

 Đại số lớp 11 | 
 CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 
 I LÝ THUYẾT. 
1. Phép thử và biến cố. 
a) Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của 
nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. 
b) Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian 
mẫu của phép thử đó và ký hiệu là  . 
c) Biến cố: là một tập con của không gian mẫu. 
+) Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). 
+) Tập  được gọi là biến cố chắc chắn. 
d) Phép toán trên các biến cố. 
* Biến cố đối: Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . 
* Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có: 
+) Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B . 
+) Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B . 
+) Nếu AB  thì ta nói A và B xung khắc. 
e) Bảng đọc ngôn ngữ biến cố. 
 Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố 
 A  A là biến cố 
 A  A là biến cố không 
 A  A là biến cố chắc chắn 
 CAB  C là biến cố “ A hoặc B ” 
 CAB  C là biến cố “ A và B ” 
 AB  A và B xung khắc 
 BA A và B đối nhau 
2. Xác suất của biến cố. 
 1 | Đại số lớp 11 | 
 nA 1
Vậy xác suất của biến cố A là PA . 
 n  4
 Ví dụ 2 
 Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố : “Xuất hiện 
 mặt có số chấm chia hết cho 3”. 
 Lời giải 
Ta có không gian mẫu  1,2,3,4,5,6 n  6. 
Biến cố A 3,6 n A 2 . 
 nA 21
Vậy xác suất của biến cố là PA . 
 n  63
 Ví dụ 3 
 Xét phép thử là gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Gọi là biến cố “lần đầu 
 xuất hiện mặt chấm”. Tính xác suất của biến cố . 
 Lời giải 
Số phần tử của không gian mẫu là: n( ) 6.6 36 . 
Ta có: N 5;1 , 5;2 , 5;3 , 5;4 , 5;5 , 5;6  
Suy ra số phần tử của biến cố N là nN 6 . 
 nN 61
Khi đó PN . 
 n  36 6
 Ví dụ 4 
 Gieo 3 đồng xu cùng một lúc. Gọi là biến cố “có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa”. 
 Tính xác suất của biến cố . 
 Lời giải 
Mỗi đồng xu có hai khả năng: ngửa hoặc sấp. Do đó số phần tử của không gian mẫu khi gieo ba 
đồng xu là n  283 . 
Ta có biến cố đối của A là A : “Không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa” “Cả ba đồng xu đều 
xuất hiện mặt sấp”. 
 nA 17
Khi đó A S; S ; S  n A 1 PAP 1 A 1 1 . 
 n  88
 3 | Đại số lớp 11 | 
 A 1;2 , 2;1, 3;2 , 2;3 , 3;4 , 4;3 , 4;5 , 5;4 , 5;6 , 6;5  
 10 5
nên nA 10. Vậy PA . 
 36 18
 Ví dụ 9 
 Bạn Quân gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố : 
 “Tổng số chấm ở hai lần gieo là một số chia hết cho 5”. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân 
Ta có số phần tử của không gian mẫu là n  6.6 36. 
Các trường hợp thuận lợi của biến cố A là: 1;4 , 2;3 , 3;2 , 4;1, 4;6 , 5;5 , 6;4 
Suy ra nA 7 . 
 nA 7
Vậy xác suất cần tìm là PA . 
 n  36
 Ví dụ 10 
 Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 3 lần. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo 
 đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba là: 
 Lời giải 
 Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú 
Số phần tử của không gian mẫu là n  63 216. 
Ta cần chọn một bộ hai số chấm ở hai lần gieo đầu tiên sao cho tổng của chúng thuộc đoạn 2;6. 
Khi đó chỉ có một cách chọn cho số chấm ở lần gieo thứ ba. 
Những bộ thỏa mãn điều kiện vừa nêu là: 
 1;1,1;2 ,1;3 ,1;4 ,1;5 , 2;1, 2;2 , 2;3 , 2;4 , 3;1, 3,2 , 3,3 , 4,1 , 4,2 , 5,1 
Số phần tử của biến cố A là nA 15. 
 nA 15 5
Xác suất của biến cố là PA . 
 n  216 72
 Ví dụ 11 
 Gọi là phép thử “Gieo hai con súc sắc”. Gọi là biến cố “Tổng số chấm trên các mặt xuất 
 hiện của hai con súc sắc bằng 8”. Hãy tính . 
 Lời giải 
 5 | Đại số lớp 11 | 
 Ví dụ 14 
 Công ty Strong chọn ngẫu nhiên một tỉnh ở miền Trung Việt Nam (xem hình ảnh bên dưới) để tổ 
 chức sự kiện ra mắt sản phẩm Toán VDC. Xác xuất để công ty chọn được một tỉnh giáp biển để 
 tổ chức sự kiện là bao nhiêu? 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân 
Từ giả thiết suy ra n  17 . 
Các tỉnh giáp biển gồm có: Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Quảng Trị, Thừa Thiên Huế, Đà Nẵng, 
Quảng Nam, Quảng Ngãi, Bình Định, Phú Yên, Khánh Hòa, Ninh Thuận và Bình Thuận. Suy ra 
nA 13. 
 nA 13
Vậy xác suất cần tìm là PA . 
 n  17
 Ví dụ 15 
 Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa thẻ được đánh số từ đến . Tính xác suất để thẻ 
 được lấy ghi số chẵn. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu 
Không gian mẫu  1,2,3,...,20 n  20. 
Biến cố A 2,4,6,...,20 n A 10 . 
 nA 10 1
Vậy xác suất của biến cố A là PA . 
 n  20 2
 7 | Đại số lớp 11 | 
Như vậy có tổng cộng 10 bộ x;; y z thỏa mãn x y z 16. 
Số bộ x;; y z thỏa mãn x y z 16 là 216 10 206. 
 206 103
Xác suất cần tính là P . 
 216 108
 Ví dụ 19 
 Gieo đồng thời ba con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số nốt xuất hiện của 
 ba con là 9. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang 
Mỗi kết quả của phép thử là một bộ ba abc,, , trong đó abc,, là các số nguyên từ 1 đến 6. Vậy 
 A
không gian mẫu là  a, b , c / a , b , c ,1 a 6,1 b 6,1 c 6. 
Vì có 6 cách chọn a và có 6 cách chọn b và có 6 cách chọn c nên n  6.6.6 216 . 
Các bộ ba abc,, có tổng bằng 9 là : 
 1,2,6 và 5 hoán vị của nó 
 1,3,5 và 5 hoán vị của nó 
 1,4,4 và 2 hoán vị của nó 
 2,2,5 và 2 hoán vị của nó 
 2,3,4 và 5 hoán vị của nó và 3,3,3 . 
 25
Suy ra số kết quả thuận lợi là : 6 6 3 3 6 1 25 . Vậy xác suất cần tính là . 
 216
 Ví dụ 20 
 Bạn Quân gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần. Tính xác suất của biến cố : “Số 
 chấm ở lần gieo thứ nhất không nhỏ hơn tích số chấm ở lần gieo thứ hai và thứ ba”. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân 
Ta có số phần tử của không gian mẫu là n  6.6.6 216 . 
Các trường hợp thuận lợi của biến cố là: 
 1;1;1 ; 
 2;1;1 , 2;1;2 , 2;2;1 ; 
 9 | Đại số lớp 11 | 
Suy ra nA 2 . 
 nA 21
Vậy xác suất của biến cố A là PA . 
 n  36 18
 Ví dụ 23 
 Năm đoạn thẳng có độ dài . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong 
 năm đoạn thẳng trên. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra có thể tạo thành 1 tam giác. 
 Lời giải 
 Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân 
 a b c
Ba đoạn thẳng với chiều dài a,, b c có thể là 3 cạch của một tam giác khi và chỉ khi a c b . 
 b c a
 3
Số phần tử của không gian mẫu là: n A C5 10 . 
Gọi A là biến cố “lấy ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác” 
Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác là 3;5;7, 3;5;9, 5;7;9. 
Số phần tử của biến cố A là nA 3. 
 nA 3
Suy ra xác suất của biến cố A là PA . 
 n  10
 Ví dụ 24 
 Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số và chia hết cho . Chọn ngẫu nhiên một số 
 từ tập . Tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: Conganhmai. 
Số chia hết cho 9 có dạng: 9m, với m . 
Ta có 1.000.000 9m 9.999.999 111.111 m 1.111.111. 
Không gian mẫu:  111.112,111.113,...,1.111.111 hay n  1.000.000. 
Từ các chữ số 0;1;2;...;9 ta có các bộ gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 là: 
 0;2;3;4;5;6;7 , 0;1;2;4;5;7;8 , 0;1;2;3;6;7;8 , 0;1;2;3;5;7;9 , 0;1;2;4;5;6;9 0;1;2;3;4;8;9 , 
 0;3;4;5;7;8;9 , 0;2;4;6;7;8;9 , 0;1;5;6;7;8;9 , 2;3;4;5;6;7;9 , 1;3;4;5;6;8;9 , 1;2;4;5;7;8;9 
, 1;2;3;6;7;8;9 . 
 11 |