Chuyên đề Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Hình học 10

 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
1. Phương pháp giải 
Bước 1: Xác định đường tròn và đường thẳng. 
Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán để xác định điều kiện phù hợp. 
2. Các ví dụ minh họa 
 Ví DỤ 1 
 mx m 12 y 
Định m để hệ phương trình sau có nghiệm 
 22
 xy 4
 Lời giải: 
Gọi :mx m 1 y 2 và C :4 x22 y 
 C có tâm I 0;0 , bán kính R 2 
Số nghiệm của hệ phương trình đã cho cũng là số giao điểm của đường thẳng và đường tròn C 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm 
 002 2 m 1
 d I; R 2 2 m 2 m 0 
 mm2 1 2 m 0
Vậy m ; 1  0; 
 Ví DỤ 2 
 x my m 0
 m
Định để hệ phương trình sau có nghiệm 22 
 x y x 0
 Lời giải 
 22 1 1
Gọi :0x my m và C :0 x y x C có tâm I ;0 , bán kính R 
 2 2
Số nghiệm của hệ phương trình đã cho cũng là số giao điểm của đường thẳng và đường tròn 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm 
 1
 mm.0
 2 14
 d I; R 3 m2 4 m 0 0 m 
 1 m2 23
 4
 Vậy m 0; thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 3
 Ví DỤ 3 
 x22 y 2 x 4 y 4 0
Định m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm 
 mx y 20
 Lời giải 
Gọi :mx y 2 0 và C : x22 y 2 x 4 y 4 0 C có tâm I 1;2 , bán kính R 1 
Số nghiệm của hệ phương trình đã cho cũng là số giao điểm của đường thẳng và đường tròn 
Hệ phương trình đã cho có đúng một nghiệm 
 m 23 
 d I; R 1 m22 2 m 1 m 1 m 0 
 m2 1
1 
Ta có xy22 9 là phương trình đường tròn ()C tâm O(0;0) và (2m 1) x my m 1 0 là 
phương trình đường thẳng d . 
Hệ (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng d cắt đồ thị ()C tại hai điểm phân biệt. 
Giả sử giao điểm là M x1;,; y 1 N x 2 y 2 
 2 2 2
Khi đó A ()() x1 x 2 y 1 y 2 MN . 
A lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất MN 26 R d đi qua tâm O của đường tròn ()C 
 mm 1 0 1 
Vậy với m 1 thì hệ đã cho có hai nghiệm thỏa mãn A đạt giá trị lớn nhất 
 BÀI 2 
 x22 y 4 x 6 y 12 0
Tìm m đề hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất . 
 x y m 0
 Lời giải 
Ta có x22 y 4 x 6 y 12 0 là phương trình đường tròn ()C tâm I( 2; 3) , bán kính R 5 . 
x y m 0 là phương trình đường thẳng d . 
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi d là tiếp tuyến của đường tròn ()C 
 23 m
 dm(I,d) R 5 1 5 2 . 
 2
Vậy với n 1 5 2 thì hệ có nghiệm duy nhất. 
3 
a x 1 b y 1 0 
 2a b 2 a 5 b ab 
ycbt d B,, d d C d 
 a2 b 2 a 2 b 2 b 0
+TH1: a b d: x y 2 0 
+TH2: b 0 d : x 1 0. 
 BÀI 2 
Cho đường tròn C đi qua hai điểm MN 2;1 , 1;1 và đi qua gốc tọa độ. 
a) Viết phương trình đường tròn C . 
b) Đường thẳng d qua M vuông góc với đường kính NK K C cắt C tại F . Tìm 
khoảng cách từ K đến MF . 
 Lời giải 
a) Đường tròn có dạng x22 y 2 ax 2 by c 0 đi qua hai điểm và đi qua 
 1
 a 
 2
 2a 2 b c 2 
 3 22
gốc tọa độ. Nên ta có hệ: c 0 b C : x y x 3 y 0 
 2
 4a 2 b c 5
 c 0
 13
b) Tâm của là: ; . Tọa độ của K 2;2 . 
 22
Phương trình đường thẳng d là : d:3 x y 7 0 . 
 3.( 2) 2 7 10
 d K, d 
 2
Khoảng cách là 31 10 
Vậy với thì hệ có nghiệm duy nhất. 
 BÀI 3 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm AB(1;2), (2;1) . 
a) Viết phương trình đường thẳng AB. 
b) Chứng minh tập hợp các điểm M(;) x y trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn 2MB22 11 3 MA là 
một đường tròn. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đó, biết tiếp tuyến vuông góc với 
đường thẳng : 3xy 4 5 0 . 
c) Viết phương trình đường thẳng d , biết đi qua điểm A và cắt tia O,x Oy thứ tự tại MN, 
sao cho tam giác OMN có diện tích nhỏ nhất. 
 Lời giải 
a) Có AB 1; 1 0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB 
 n 1 5 2
 xt 1
Mà đường thẳng AB đi qua điểm A(1;2) .Vậy đường thẳng AB: 
 yt 2
 2 2 2 2
b) Có 2MB22 11 3 MA 2 2 x 1 y 11 3 1 x 2 y 
5 
 A
 R
 α I(-2;3)
 P(x;y) α
 A' 
 Tâm đường tròn I 2;3 , 
 Bán kính đường tròn 
 R 4 9 9sin2 13cos 2 4 4cos 2 2 1 cos 2 2sin 
 IA R 2sin 
 Gọi P x, y , xét tam giác IAP ta có sin 
 IP IP xy 23 22 
 x 2 2 y 3 2 2 x 2 2 y 3 2 4
 22
 x y 4 x 6 y 9 0 
 BÀI 5 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng :xy 0. Đường tròn C có bán kính 
 R 10 cắt tại hai điểm AB, sao cho AB 42. Các tiếp tuyến của tại hai điểm 
cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy . Phương trình của đường tròn là: 
 A. xy 5 22 3 10 . B. xy 5 22 3 10 
 C. xy 5 22 3 10 D. xy 5 22 3 10 
 Lời giải 
 Chọn B 
 I
 A
 H B
 M
7 
 + Ta có OH 3,4 
 + Mặt khác OH OK OK 3 m ,4 m ,( m 0) . 
 a 3 a 4 a 3 a 2 a 
 + OKOHOKOH. . 9 m 16 mam K ; I ; 
 25 25 25 50 25 
 1 3aa 2 1
 + Vậy 3x 4 y 3  4  a 1 
 II2 50 25 2
 Cách 2 
 + Gọi Nxy ,,, ON xyON 2 x 2 y 2 
 aa a
 + OM. ON a OM  ON , mà OM ON OM  ON 
 ON ON 2 ON 2
 ax
 x 
 M 22
 xy 34ax ay
 Suy ra mà M 3 xMM 4 y 25 0 2 2 2 2 25 0 
 ay x y x y
 yM 22
 xy 
 2234aa 32aa
 x y x y 0. Vậy I ;
 25 25 50 25
 1 3aa 2 1
 3xII 4 y 3  4  a 1
 2 50 25 2 
 BÀI 7 
Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn ():(C x 1)22 ( y 1) 10 và đường thẳng 
 d: 2 x y 2 0 . Tìm số tiếp tuyến của đường tròn ()C , biết các tiếp tuyến tạo với đường thẳng 
 d một góc 450 . 
 . 
 A. 4. B. 3. C. 2. D.1. 
 Lời giải 
 Chọn A 
 (C) có tâm I(1;1) bán kính R 10 . Gọi n (;) a b là VTPT của tiếp tuyến 
 (ab22 0), 
 Vì ( ,d ) 450 nên 
 2ab 1 ab 3
 2. 2a b 5. a2 b 2 3 a 2 8 ab 3 b 2 0 
 ba 3
 ab22 .5 2 
 4 c c 6
 Với ab 3 : 30x y c . Mặt khác d(;) I R 10 
 10 c 14
 2 c c 8
 Với ba 3 : x 30 y c . Mặt khác d(;) I R 10 
 10 c 12
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3xy 6 0; 3xy 14 0; xy 3 8 0; xy 3 12 0. 
9