Chuyên đề Xác định hệ số của số hạng chứa x mũ m trong khai triển nhị thức Newton - Đại số 11

 CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
 DẠNG 2: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển nhị thức Niu – tơn . 
A, Phương pháp giải 
 nnn n k k
Ta có: p q k p q k n k k np pk qk 
 ax bx  Cnn ax bx C a b x
 k 0 k 0
Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m. 
 m np
Từ đó tìm k 
 pq 
 m k n k k
Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên. 
 Nếu k không nguyên hoặc kn thì trong khai triển không chứa xm , hệ số phải tìm bằng 0. 
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển 
 n
 pq 2n
P x a bx cx được viết dưới dạng a0 a 1 x ... a 2n x . 
Ta làm như sau: 
 nkn
* Viết p q k n k p q ; 
 P x a bx cx  Cn a bx cx 
 k0 
 k
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bxpq cx thành một đa thức theo luỹ 
thừa của x. 
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm . 
 Ví dụ 1 
 13
 4 3
 Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển 3x 
 x
 Lời giải 
Ta có 
 13 15 k
 443 k 315 k 15 k k k 45 4 k
 3x  C15 3 x 3 .4 C 15 . x
 xx kk 00 
Số hạng chứa x9 tương ứng với 45 4kk 9 9 nên hệ số của x9 trong khai triển trên là 
 6 9 9 6 9 9
 3 4CC15 3 4 15 
 Trang 65 CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
với 0 k n 8. 
Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2n là một số chẵn. 
Thử trực tiếp ta được k 0;n 4 và k 2,n 3 . 
 8 3 2 4 0
Vậy hệ số của x là C8 .C 3 C 8 .C 4 238. 
 Ví dụ 4 
 10
 2 20
 Đa thức Px 13x2x a0 ax...ax 1 20 . Tìm a15
 Lời giải. 
 1010 k
 2 k 2
Ta có: Px 13x2x  C10 3x2x 
 k0 
 10 k 10 k
 k i ki 2i k ikiiki 
 C10  C(3x) k .(2x)  C 10  C.3 k .2x 
 k 0 i 0 k 0 i 0
với 0 i k 10 . Do đó k i 15 với các trường hợp 
k 10,i 5 hoặc k 9,i 6 hoặc k 8,i 7 
 10555 9636 87 7
Vậy a15 C 10 .C 10 .3 .2 C 10 .C 9 .3 .2 C 10 .C 8 .3.2 . 
 Ví dụ 5 
 2
 Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3n ) , biết rằng Cn 1 C n 2 78 với x0 
 x nn
 Lời giải. 
 n! n!
Ta có: Cn 1 C n 2 78 78 
 nn (n 1)!1! (n 2)!2!
 n(n 1)
 n 78 n2 n 156 0 n 12 . 
 2
 12 12
 32 k k 36 4k
Khi đó: f(x) x  C12 ( 2) x 
 x k0 
Số hạng không chứa x ứng với k: 36 4k 0 k 9 
 99
Số hạng không chứa x là: ( 2) C12 112640 
 Trang 67 CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 20 q 3 p 0 3 p q 20 . Mà 0 q p n 
và q,, p n nên qp; 7;1 ; 8;4 ; 10;10  Lúc này số hạng không chứa x trong khai triển là 
 17 1 4 8 4 10 10 10 7 9 7
 1 CCCCCCCC10 7 1 10 8 1 10 10 1 10 9 1951 
 Ví dụ 9 
 8
 Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển xx32 1 
Lời giải 
Từ lý thuyết ta có công thức tổng quát như sau: Với 0 q p n thì số hạng tổng quát khi khai 
 32 8 p q310 p 2 p q qq p q 24 3 p 2 p 2 q
triển tam thức xx 1 làTp C88 C p x x 11 C C p x x 
Ta có: 24 3p 2 p 2 q 8 p 2 q 16 . Suy ra qp; 8;4 ; 6;5  . Lúc này hệ số của x8 
 8 486 5 5
trong khai triển là CCCC8 8 1 10 6 1 238 
 Ví dụ 10 
 n
 1
 x 2 n
 Tìm số hạng không chứa trong khai triển x 3 biết là số nguyên dương thỏa mãn 
 x
 13
 Cnn C13 n
Lời giải 
Theo giả thiết ta có: 
 1 3n! n n 12 n 2
 CCnnnn 13 13 nn 13 nnnn 3 70 0 n 10 
 3! n 3 ! 6
 nk10 10 
 1 1 10 1 10
Khi đó ta có 2 2k 2 k 5 k 30 
 x 3 x 3  C10 x 3 C 10 x
 x x kk 00 x 
Số hạng không chứa x tương ứng với 5kk 30 0 6 5kk 30 0 6. Vậy số hạng 
 6
không chứa x trong khai triển đã cho là C10 210 .. 
 Trang 69 CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
 Ví dụ 13 
 n
 1
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 1 x biết n 2 là số nguyên dương thỏa 
 x
 22n 
 mãn Ann C 1 14 14 n 
 Lời giải 
 n 11 n n 
Ta có A22 Cn 14 14 n n n 1 14 14 n 
 nn 1 6
 nn 1 2
 n1 n 140 n 1 n 5840 n n 12 vì n 2 . 
 6
 n 12
 11 
Lúc này ta có 11 xx 
 xx 
Từ công thức tổng quát tam thức Newton ta có với 0 qp 12 thì số hạng tổng quát khi khai 
 12 q
 1 pq12 ppq 1 pqpqq pqpq 2
triển tam thức 1 x là Tp C12 C p1 x C 12 C p x C 12 C p x 
 x x
Ta có: p 2 q 0 p 2 q . Kết hợp với điều kiện ở trên ta có: 
 pq; 0;0 , 2;1 , 4;2 , 6;3 , 8;4 , 10;5 , 12;6 . Suy ra số hạng không chứa x là 
 00 21 42 63 84 105 126
CCCCCCCCCCCCCC12 0 12 2 12 4 12 6 12 8 12 10 12 12 73789 . 
 Ví dụ 14 
 2n 2 2n
 Cho khai triển: 1 x x a0 a 1 x a 2 x ... a 2n x , n 2 với a0, a 1 , a 2 ,..., a 2n là các hệ số. 
 a3 a4
 Tính tổng S a0 a 1 a 2 ... a 2n biết . 
 14 41
 Lời giải 
 2n 2 2n
Theo giả thiết ta có: Px 1 xx aaxax0 1 2 ... ax 2n 
 n
Thay x 1 ta được S a0 a 1 a 2 ... a 2n P 1 3 . Như vậy ta chỉ cần xác định được n 
 n
Với 0 q p n thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức 1 xx2 là 
 p q n p p q2 q p q p q
Tp C n C p1 x x C n C p x 
 Trang 71 CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
 Lời giải 
 n!
A21 3 Cn 11 n 3 n 11 n . 
 nn n 2! 
 n n 1 3 n 11 n n 15. 
 15
 15 k k15 k
 x 2  C15 . x .2 
 k 0
 k15 k k 1 14 k
Xét bất phương trình: akk a 1 C 15.2 C 15 .2 
 15! 15! 2 1 13
 2 k , k k 0,1,2,3,4 
 k!15 k ! k 1!14 k !15 k k 1 3
 akk a 1  k 0,1,2,3,4
 13
Từ đây ta có: akk a 1 k , k 
 3
 a a  k 5,6,...,15
 kk 1 
Do đó: a0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ... a 15 
 5 10
Vậy a5 max ai | i 0,15 C 15 .2 . 
 Ví dụ 17 
 n aa a
 Giả sử P x 2 x 1 a a x a x2 ... a xn thỏa mãn a 12 ... n 212 . Tìm 
 0 1 2 n 0 2 222 n
 hệ số lớn nhất trong các hệ số a0, a 1 , a 2 ,..., an 
 Lời giải 
 2 n
 12 aa12 an 1 1 1 
2 a0 2 ... n a 0 a 1 a 2 ... an 
 222 2 2 2 
 n
 11 n
 P 1 2. 2 
 22 
 n 12
 12 12
 12 k k k k k
 2x 1  C12 (2 x ) C 12 2 x 
 kk 00
 k k k k k 11 k
 ak C12.2  k 0,1,...,12 a k a k 1 C 12 .2 C 12 .2 
 12! 12!
 2. 
k!. 12 k ! k 1 !. 11 k !
 Trang 73