Chuyên đề Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn - Hình học 10

DẠNG 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1.1. Phương pháp 1 
 Cho đường thẳng và đường tròn C có tâm I bán kính R 
- Nếu d I; R thì cắt tại hai điểm phân biệt. 
- Nếu d I; R thì tiếp xúc với 
- Nếu d I; R thì và không có điểm chung. 
1.2. Phương pháp 2 
Cho đường thằng :0Ax By C và đường tròn C : x22 y 2 ax 2 by c 0 
 Ax By C 0
Xét hệ phương trình 22 I 
 x y 2 ax 2 by c 0
- Nếu hệ I có hai nghiệm thì cắt tại hai điểm phân biệt. 
- Nếu hệ có một nghiệm thì tiếp xúc . 
- Nếu hệ vô nghiệm thì và không có điểm chung. 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
 BÀI 1 
Cho đường tròn C : x22 y 4 x 2 y 0 và đường thẳng :xy 2 1 0 . Tìm mệnh đề đúng 
trong các mệnh đề sau: 
 A. tiếp xúc với C . B. không có điểm chung với C . 
 C. đi qua tâm của C . D. cắt C tại hai điểm. 
 Lời giải 
Chọn A 
 Cách 1: Đường tròn C có tọa độ tâm I 2;1 . 
 Thay I 2;1 vào 2 2.1 1 5 0 I . 
 Xét hệ phương trình 
 x22 y 4 x 2 y 0 xy 12 
 2 2
 xy 2 1 0 1 2y y 4 1 2 y 2 y 0
 xy 12 y 1
 2
 5yy 10 5 0 x 1
 Vậy tiếp xúc C tại điểm 1; 1 . 
 Cách 2: Đường tròn có tọa độ tâm , bán kính R 5 
1 | 
 BÀI 4 
Với giá trị nào của m thì đường thẳng d:3 x 4 y 3 0 tiếp xúc với đường tròn
 C :()xy m 22 9? 
 A. m 6. B. m 0 và m 1. 
 C. m 4 và m 6. D. m = 2 . 
 Lời giải 
Chọn C 
 Đường tròn ()x m22 y 9 có tâm Im ;0 và bán kính R 3. 
 | 3m 3| m 6
 Khoảng cách từ tâm Im ,0 đến đường thẳng d là dI( ;d) 3 . 
 5 m 4
 BÀI 5 
 Đường tròn C : x22 y – 2 x 2 y 1 0 cắt đường thẳng d: x y 2 0 theo một dây 
 cung có độ dài bằng bao nhiêu? 
 2
 A. . B. 1. C. 2 . D. 2 . 
 2
 Lời giải 
Chọn C 
 Tâm I 1,1 bán kính R 1. 
 Khoảng cách từ tâm I(1;1 ) đến đường thẳng d là d(I,d) 0 nên dây cung đi qua tâm I
 có độ dài bằng đường kính dR 2 2.1 2. 
 BÀI 6 
 Đường tròn ()C có tâm I( 1;3) và tiếp xúc với đường thẳng d:3 x 4 y 5 0 tại điểm 
 H có tọa độ là 
 17 17 17 17
 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 
 55 55 55 55
 Lời giải 
Chọn B 
 IHd IH: 4 x 3 y c 0 . Đường thẳng IH qua I 1;3 nên 
 4( 1) 3.3 cc 0 5 . Vậy IH: 4 x 3 y 5 0 . 
 1
 x 
 4xy 3 5 0 5 17
 Giải hệ: H ;
 3xy 4 5 0 7 55
 y 
 5 
3 | 
BÀI TẬP CỦNG CỐ. 
 BÀI 1 
Xét vị trí tương đối của đường thẳng : x y 1 0 và đường tròn C : x22 y 4 x 2 y 4 0? 
 Lời giải 
Đường tròn C có tâm I 2; 1 và bán kính R 3. 
 2 1 1
Vì dI ; 2 2 3 nên cắt tại hai điểm phân biệt. 
 11 
 BÀI 2 
 xt 12 22
Tìm giao điểm của đường thẳng d : với đường tròn C : x 1 y 2 16 : 
 yt 2 
 Lời giải 
Thế xt 12 và yt 2 từ phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình đường 
 t 0
 22
tròn C , ta được 2t t 4 16 5 t2 8 t 0 8 . 
 t 
 5
 21 2
Vậy có hai giao điểm là A 1; 2 và B ; . 
 55
 BÀI 3 
Tìm m để đường thẳng d: y x m có điểm chung với đường tròn C : x22 y 4 x 2 y 3 0 
 Lời giải 
Đường tròn C có tâm I 2;1 và có bán kính R 2 . 
Đường thẳng d có điểm chung với đường tròn C khi và chỉ khi 
 21 m
 d I, R 2 m 1 2 2 m 1 2 3 m 1 . 
 2
 BÀI 4 
Chứng minh rằng đường thẳng :x m 1 y m 0 luôn cắt đường tròn 
 C : x22 y 4 x 8 y 5 0 với mọi m ? 
 Lời giải 
Đường tròn có tâm I 2; 4 và bán kính R 5. 
Với điểm A 1; 1 , ta có IA 18 5 nên điểm A nằm trong đường tròn với mọi m . 
Mà A nên đường thẳng luôn cắt đường tròn với mọi m . 
5 | 
 x 1
 yx 21 
 yx 21 y 3
 x 1 . 
 5xx2 10 15 0 x 3
 x 3
 y 5
Vậy tọa độ các giao điểm là: 1; 3 ; 3;5 . 
 BÀI 3 
Với những giá trị nào của m thì đường thẳng : 43x y m 0 có điểm chung với đường tròn 
 C : xy22 90 
 Lời giải 
 4xm 
Từ 4x 3 y m 0 y thay vào phương trình đường tròn ta được 
 3
 2
 2 4xm 2 2
x 90 25 x 8 mx m 810 1 . Đường thẳng có điểm chung với 
 3
đường tròn C khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 
 2
 0 4m 25 m22 81 0 m 225 0 15 m 15 . Vậy với 15 m 15 thì 
Đường thẳng có điểm chung với đường tròn C . 
 BÀI 4 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C : x22 y 2 x 8 y 8 0 . Viết phương 
trình đường thẳng song song với đường thẳng d:3 x 4 y 2 0 và cắt đường tròn theo một dây 
cung có độ dài bằng 6 . 
 Lời giải 
 I
 A
 H
 B
- Đường tròn có tâm I 1;4 và bán kính R 5 
- Đường thẳng d song song với đường thẳng d nên phương trình của d là: 
3x 4 y m 0 m 2 
7 | 
 BÀI 6 
 22
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 1 y 1 25 và điểm 
 M 1;2 . Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt tại 2 điểm phân biệt AB, sao 
cho độ dài dây cung AB nhỏ nhất . 
 Lời giải 
 A I
 M H
 B
Đường tròn C có tâm I 1;1 bán kính R 5 .Ta có: IM 5 IM R nên điểm M nằm 
 AB
trong đường tròn , kẻ IH d IH IM và HA HB . Ta có 
 2
AH2 IA 2 IH 2 25 IH 2 , AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AH nhỏ nhất IH lớn nhất 
 IH IM H  M . Khi đó đường thẳng d đi qua M và vuông góc với IM nên đường thẳng 
 có một vecto pháp tuyến là IM 2;1 . Vậy phương trình đường thẳng là: 
 2 x 1 1 y 2 0 2 x y 4 0 . 
 DẠNG 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1) PHƯƠNG PHÁP: 
- Cho hai đường tròn CC12 ; có tâm lần lượt là I;K bán kính RR12; . Ta có 
+) C1 và C2 ở ngoài nhau (không có điểm chung) khi và chỉ khi IK R12 R 
9 | 
+) và tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi IIRR1 2 1 2 
 I K
 H
+) và tiếp xúc trong khi và chỉ khi IIRR1 2 1 2 
 K
 M I
+) và cắt nhau khi và chỉ khi RRIIRR1 2 1 2 1 2 
 I K I K
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 C C 
 =1 2 
 2) CÁC VÍ DỤ: 
11 |