Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường thẳng - Hình học 10

 HÌNH HỌC 10 
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Lý thuyết: 
 Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là 
 1:0a 1 x b 1 y c 1 và 2:0a 2 x b 2 y c 2 . 
 a1 x b 1 y c 1 0
 Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: . 
 a2 x b 2 y c 2 0
 ● Nếu hệ có một nghiệm xy00; thì 1 cắt 2 tại điểm M0 x 0;. y 0 
 ● Nếu hệ có vô số nghiệm thì 1 trùng với 2 . 
 ● Nếu hệ vô nghiệm thì 1 và 2 không có điểm chung, hay 1 song song với 2 . 
 Cách 2. Xét tỉ số 
 a111 b c
 ● Nếu thì 1 trùng với 2 . 
 a222 b c
 a111 b c
 ● Nếu thì 1 song song 2 . 
 a222 b c
 ab11
 ● Nếu thì 1 cắt 2 . 
 ab22
 Các trường hợp khác 
 ● Với n1 a 1; b 1 và n2 a 2; b 2 lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 1 và 2 ; 1 vuông góc 
với với 2 nn12.0 . 
 ● Cách tìm điều kiện để ba đường thẳng 1 , 2 , 3 đồng quy: Ta tìm giao điểm của hai trong 
ba đường trên, sau đó tìm điều kiện để điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại. 
 II BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
2.1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (không chứa tham số) 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: 
a) d1 : 4 x 10 y 1 0 và d2 : x y 2 0; 
b) d3 :12 x 6 y 10 0 và d4 : 2 x y 5 0; 
1 
Cho hai đường thẳng 12: 3x y 3 0, : x y 2 0 và điểm M (0;2) 
a) Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2 . 
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt 1 và 2 lần lượt tại A và B sao cho B là 
trung điểm của đoạn thẳng AM 
 Lời giải 
 19
a) N ; là giao điểm của hai đường thẳng 1 và 2 . 
 44
 b) A 1 3 xAAAA y 3 0 y 3 x 3 , B 2 xBBBB y 2 0 y 2 x 2 . B là trung 
 3
 xA 
 2xxBA 4
điểm AM suy ra : 29xy 3 6 0. 
 4xx 4 2 3 3 3
 BA x 
 B 8
 Ví dụ 5 
 Ví 
Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB,, BC CA là AB:2 x y 2 0 , 
BC:3 x 2 y 1 0 , CA:3 x y 3 0. 
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng :3xy 2 0 . 
 Lời giải 
 2x y 2 0 x 1
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A 1;0 
 3x y 3 0 y 0
Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là u 2; 3 . 
Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên 
có phương trình là: 2 xy 1 3 0 hay 2xy 3 2 0 d . 
 31 
Ta có suy ra hai đường thẳng d và cắt nhau. 
 23 
3 
Câu 5. Hai đường thẳng d12: 4 x 3 y 18 0; d :3 x 5 y 19 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ: 
 A. 3;2 . B. 3;2 . C. 3; 2 . D. 3; 2 . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 4xy 3 18 0 x 3
 Xét hệ phương trình . Vậy d12 d A 3;2 . 
 3xy 5 19 0 y 2
Câu 6. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng 4xy 3 26 0 và 3xy 4 7 0. 
 A. 2; 6 . B. 5;2 . 
 C. 5; 2 . D. Không có giao điểm. 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình: 
 4x 3 y 26 0 x 5
 . Vậy toạ độ giao điểm là 5; 2 . 
 3x 4 y 7 0 y 2
Câu 7. Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng 
 d: y 2 x 1? 
 A. 2xy 5 0. B. 2xy 5 0. C. 2xy 0. D. 2xy 5 0. 
 Lời giải 
 Chọn D 
 d : y 2 x 1 2 x y 1 0 và đường thẳng 2xy 5 0 không song song vì 
 21 
 . 
 21
Câu 8. Cho 4 điểm ABCD()()()0 ; 2, 1 ; 0, 0 ; 4 , ( 2 ; 0) . Tìm tọa độ giao điểm của 2 
 đường thẳng AB và CD 
 31
 A. (1 ; 4) . B. ;. 
 22
 C. () 2 ; 2 . D. Không có giao điểm. 
 Lời giải 
 Chọn D 
 AB có vectơ chỉ phương là AB 1;2 và CD có vectơ chỉ phương là CD 2;4 . 
 Và các điểm ABC,, không thẳng hàng. 
 Ta có: AB 1;2 và CD 2;4 cùng phương nên AB và CD không có giao điểm. 
Câu 9. Cho 3 đường thẳng d1 :3xy 2 5 0 , d2 : 2xy 4 7 0, d3 : 3xy 4 1 0 . Viết 
 phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 , d2 và song song với d3 . 
 A. 24xy 32 53 0 . B. 24xy 32 53 0. 
5 
 C. 3xy 3 0 . D. xy 3 19 0. 
 Lời giải 
 Chọn C 
 có một vectơ chỉ phương u 3;1 . 
 Vì đường thẳng d vuông góc với nên d có véctơ pháp tuyến nu 3;1 . 
 Phương trình tổng quát của đường thẳng d là 3 x 1 y 6 0 3 x y 3 0. 
Câu 13. Cho đường thẳng d1 :2 x y 15 0 và d2 : x 2 y 3 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? 
 A. d1 và d 2 vuông góc với nhau. 
 B. d1 và d 2 song song với nhau. 
 C. d1 và d 2 trùng nhau với nhau. 
 D. d1 và d 2 cắt nhau và không vuông góc với nhau. 
 Lời giải 
 Chọn A 
 có vectơ pháp tuyến n1 2;1 . 
 d 2 có vectơ pháp tuyến n2 1; 2 . 
 Ta có nn12. 2.1 1. 2 0 . 
 Vậy và vuông góc với nhau. 
Câu 14. Cho bốn điểm A 1;2 , B 1;4 , C 2;2 , D 3;2 . Toạ độ giao điểm của hai đường 
 thẳng AB và CD 
 A. A 1;2 . B. B 3; 2 . C. 0; 1 . D. 5; 5 . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 AB 2;2 và CD 5;0 . 
 Phương trình tổng quát của AB và CD lần lượt là xy 30 và y 20. 
 x y 3 0 x 1
 Toạ độ giao điểm của AB và CD là nghiệm hệ . 
 yy 2 0 2
Câu 15. Cho bốn điểm A 1;2 , B 4;0 , C 1; 3 , D 7; 7 . Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
 AB và CD 
 A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. 
 C. Trùng nhau. D. Vuông góc với nhau. 
 Lời giải 
 Chọn A 
7 
Loại 2.2: Tìm điều kiện của tham số để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng 
nhau, vuông gócvà 3 đường thẳng đồng quy (Chứa tham số). 
 A. VÍ DỤ MẪU 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 
 2
a) d1 : 3 x 4 y 10 0 và d2 : 2 m 1 x m y 10 0 trùng nhau? 
b) d1 : mx m 1 y 2 m 0 và d2 : 2 x y 1 0 song song? 
 2
c) d1 : 3 mx 2 y 6 0 và d2 : m 2 x 2 my 6 0 cắt nhau? 
 Lời giải 
 2 2
 d2 : 2 m 1 x m y 10 0 dd 2mm 1 10
a)  12 
 3 4 10
 d1 : 3 x 4 y 10 0
 2m 1 3
 2 m 2.
 m 4
Vậy m 2 thì hai đường thẳng ()d1 và ()d2 trùng nhau. 
 d1 : mx m 1 y 2 m 0 dd|| mm 1 2m
b)  12  
 dx2 : 2 y 1 0 21 1
 m 0
 m 2 . 
 mm 22
Vậy m 2 thì hai đường thằng và song song. 
 d11: 3 mx 2 y 6 0 n 3 m ;2 
c) Ta có: 
 d: m22 2 x 2 my 6 0 n m 2;2 m
 22 
 dy1 : 3 0
TH1: mm 00 tm . 
 d2 : x y 3 0
 m2 22m
TH2: m 01  d12 d M  m  
 32m
Vậy với m 1 thì hai đường thằng và cắt nhau. 
 Ví dụ 2 
 Ví 
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 
 xt 23
 d: 2 x 3 y 4 0 d :
a) 1 và 2 cắt nhau. 
 y 14 mt
 x 1 at
b) d1 : 2 x 4 y 1 0 và d2 : vuông góc với nhau? 
 y 31 a t
9