Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Ôn thi vào Lớp 10

 Chuyên đề 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
 A. Kiến thức cần nhớ
• Bảng tóm tắt
 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Hệ thức giữa d và R
 Đường thẳng và đường tròn cắt nhau d < R
 Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc d = R
 Đường thẳng và đường tròn không giao d > R
 nhau
• Tính chất của tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của 
đường tròn thìĐường nó vuông thẳng góc và với đường bán kínhtròn tiếpđi xúc
qua tiếp điểm.
• Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm 
 Đường thẳng và đường tròn không giao 
đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
 nhau
• Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
 Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;
 Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;
 Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp 
 điểm.
• Đường tròn nội tiếp tam giác BE 2 AB2 AE 2 42 32 25 .
 Suy ra BE = 5cm.
 Bán kính của đường tròn (O) là 5 : 2 = 2,5(cm).
Vẽ OH  CD .
 Xét hình thang EBCD có OH là đường trung bình nên
 DE BC 1 4
 OH 2,5 cm 
 2 2
 Suy ra H đường tròn (O).
 Do đó đường tròn (O) tiếp xúc với CD.
Ví dụ 2.Cho đường tròn (O) và một đường thẳng xy. Hãy dựng tiếp tuyến của đường tròn song 
song với xy.
 Giải
 a) Phân tích:
 Giả sử đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại A và a // xy.
 Đường thẳng OA cắt xy tại H.
 Ta có OA  a nên OA  xy .
 b) Cách dựng
 Dựng OH  xy H xy cắt đường tròn (O) tại A.
 Qua A dựng đường thẳng a  OA . Đường thẳng a là tiếp tuyến cần dựng,
 c)Chứng minh
 Ta có OA  a nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 Mặt khác OH  xy nên a // xy.
 d) Biện luận (dấu “=” xảy ra M  C OC  AB ).
 Vậy minS = 2R2 khi OC  AB .
 Nhận xét. Việc nối OC, OD, OE là để vận dụng tính chất của tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến 
 cắt nhau. Như vậy nếu đề bài có cho tiếp tuyến thì nên vẽ bán kính đi qua tiếp điểm.
Ví dụ 4.Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 2a. Vẽ đường tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với hai 
 cạnh bên. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tính tích 
 BM.CN.
 Giải
 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MO và NO là các tia phân giác ngoài đỉnh M và N 
 của tam giác AMN
 Suy ra AO là tia phân giác của góc A.
 Mặt khác, ABC cân tại A nên O là trung điểm của BC.
 Xét AMN có góc BMN là góc ngoài nên:
 B· MN M· AN M· NA
 ¶ µ ¶ ¶ µ ¶
 Suy ra 2M1 180 2B 180 2N1 2M1 360 2B 2N1
 ¶ µ ¶ µ ¶ µ
 Do đó M1 180 B N1 180 C N1 O1
 ¶ µ µ µ
 BMO và CON có: M1 O1 (chứng minh trên); B C (do ABC cân).
 BM BO
 Vậy BMO ∽ CON g.g BM.CN OB.OC a2
 CO CN
Ví dụ 5.Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại 
 D, E, F. Gọi p là nửa chu vi và S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng: b) Ta có BF AF AB p c .
 Do đó BD BF p c .
 Tương tự CD CE p b .
 Lưu ý: Cần nhớ các kết quả trên để giải các bài tập khác.
 C. Bài tập vận dụng
 • Tiếp tuyến
8.1. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Một đường thẳng xy tiếp xúc với đường tròn tại 
C. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A và B trên xy. Chứng minh rằng:
a)C là trung điểm của DE;
b) Tổng AD + BE không đổi khi C di động trên nửa đường tròn;
 DE 2
c) Tích AD.BE 
 4
8.2. Cho đường thẳng xy, một điểm A và đường tròn (O) nằm trên một nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy 
dựng điểm M xy sao cho nếu vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) thì ·AMx B· My .
8.3. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến MA với đường tròn.
a) Vẽ dây AB  OM . Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho biết R = 3cm; OM = 5cm, tính độ dài AB.
8.4. Cho tam giác ABC, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.
b) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính 
 AH.
8.5. Một hình vuông cạnh 8 được chia thành 64 ô vuông nhỏ bằng nhau. Vẽ đường tròn (O; 4) với 
O là tâm hình vuông.
a) Chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với bốn cạnh của hình vuông;
b) Có bao nhiêu ô vuông nhỏ nằm hoàn toàn trong đường tròn?
 • Hai tiếp tuyến cắt nhau
8.6. Cho nửa đường tròn đường kính AB, các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm C trên nửa đường tròn 
vẽ một tiếp tuyến cắt Ax, By lần lượt tại M và N. Gọi D là giao điểm của AN và BM. Đường thẳng 
CD cắt AB tại E. Chứng minh rằng: lượt tại H và K. Tiếp tuyến của đường tròn song song với AB cắt CA và CB lần lượt tại P và Q. Gọi 
diện tích các tam giác AMN, BHK, CPQ và ABC lần lượt là S1, S2, S3 và S.
 S S S
 a) Chứng minh rằng: 1 2 3 1
 S S S
 S S S
 b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3
 S
8.13. Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, AB = c, AC = b. Qua O vẽ một đường thẳng 
 CE BD OA2
vuông góc với OA, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng 1
 b c bc
8.14. Gọi r và Ra, Rb, Rc lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn bàng tiếp 
 1 1 1 1
trong góc A, góc B, góc C của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
 r Ra Rb Rc
 HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ
8.1.
 a) Nối OC ta được OC  xy
 Ta có AD // BE // OC (cùng vuông góc với xy).
 Mặt khác OA = OB nên CD = CE.
 b) OC là đường trung bình của hình thang ABED
 AD BE
 nên OC 
 2
 Suy ra AD BE 2OC 2R (không đổi).
 c) Vẽ CH  AB
 DAC và HAC có Dµ Hµ 90 ; AC chung; D· AC H· AC ·ACO 
 Do đó DAC HAC AD AH;CD CH . OBM OAM c.c.c 
 Suy ra O· BM O· AM .
 Ta có O· AM 90 (vì MA là tiếp tuyến) nên O· BM 90
 Suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 b) OAM vuông tại A có OA = 3cm; OM = 5cm nên MA = 4cm.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OA.MA = OM.AH
 OA.AM 3.4
 AH 2,4 cm 
 OM 5
 Do đó AB = 4,8cm.
8.4.
 a) Gọi O là trung điểm của AH.
 Xét ADH và AEH vuông tại D và E ta có:
 1 
 OD OE OA OH AH 
 2 
 Suy ra đường tròn (O; OD) đi qua bốn điểm A, D, H, E.
 1
 b) DBC vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên MD MB BC .
 2
 Ta có O· DA O· AD (vì OAD cân); O· AD D· BC (vì cùng phụ với góc ACB) MC DA
 Do đó CD / / AM .
 NC DN
Mặt khác, AM  AB nên CD  AB 
 CD ND
 b) Xét NMA có CD // MA, suy ra (1)
 MA NA
 DE BD
Xét BMA có DE // MA, suy ra (2)
 MA BM
 ND BD
Ta có (vì AM // BN) (3) 
 NA BM
 CD DE
Từ (1), (2), (3) suy ra do đó CD = DE
 MA MA
8.7.
 • Tìm cách giải
 Điều phải chứng minh rất gần với bất đẳng thức tam giác nên ta vận dụng bất đẳng thức này 
 để chứng minh.
 • Trình bày lời giải
 Vì hai tiếp tuyến vẽ từ A tới đường tròn bằng nhau, hai tiếp tuyến vẽ từ B tới đường tròn cũng 
 bằng nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp AM và BN cắt nhau tại K nằm giữa A và M, đồng thời 
 K nằm giữa B và N.
 Xét KAB ta có AK BK AB AK BK Vì AB, AC là hai tiếp tuyến nên AB  OB; AC  OC và AB AC .
 Tứ giác ABOC có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
 Hình chữ nhật này có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.
 Do đó AB = AC = OB = OC = R.
 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta còn có: MD = MB, ND = NC.
 Suy ra MN MD ND MB NC .
 Xét AMN ta có:
 MN AM AN AB AC MB NC
 hay MN AB AC MN .
 Do đó 2MN R R 2R .
 Suy ra MN R . (1)
 Xét AMN vuông tại A ta có AM MN; AN MN .
 Suy ra AM AN 2MN . Do đó AM AN MN 3MN
 2
 Vậy AB AC 3MN hay 2R 3MN R MN (2)
 3
 2
 Từ (1) và (2) suy ra R MN R
 3
8.10.
 a) Gọi D, E, F, G lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (O) trên các cạnh AB, BC, CA và 
 MN. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MD = MG; NF = NG.
Chu vi AMN AM MG NG NA
 AM MD NF NA 
 Do đó p1 AD AF .