Chuyên đề Vecto trong không gian - Hình học Lớp 11

 HÌNH HỌC 11 
CHƯƠNG III 
BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 I. Vectơ trong không gian 
 1. Phép cộng vectơ: 
  Quy tắc ba điểm: AB BC AC , A, B , C . 
  Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB AD AC . 
  Qui tắc hình hộp: Nếu ABCD. A B C D là hình hộp thì AC AB AD AA . 
 2. Phép nhân một số k với một vectơ a : 
 Ta có ka là một vectơ được xác định như sau: 
 - cùng hướng với a nếu k 0 . 
 - ngược hướng với a nếu k 0 . 
 - có độ dài ka k. a . 
 3. Một số tính chất 
 a) I là trung điểm của AB IA IB 0 MA MB 2 MI ( M là một điểm bất kì 
 trong không gian). 
 b) Nếu I là trung điểm của AB , J là trung điểm của CD thì ta có 
 11
 IJ AD BC AC BD 
 22 
 c) G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC 0 MA MB MC 3 MG (
 là một điểm bất kì trong không gian). 
 d) là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD 0 
 MA MB MC MD 4 MG ( là một điểm bất kì trong không gian). 
 e) Nếu AB k AC k 1 thì với mọi điểm M trong không gian ta có 
 1 k
 MA MB MC . 
 11 kk
 4. Điều kiện cùng phương của hai vectơ: 
 a cùng phương với bb 0 k :. a k b . 
 Hệ quả: A , B , C thẳng hàng k :. AB k AC l : l . MA 1 l . MB MC . 
 b b
 Chú ý: a , b cùng hướng ba; , ngược hướng ba . 
 a a
 5. Tích vô hướng của hai vectơ 
 a) Định nghĩa: a. b a . b .cos a , b . 
 b) Tính chất: 
  a.. b a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương. 
 2 2
  aa . 
1 | 
 a) Vì O là trung điểm của AC nên SA SC2 SO (1). Tương tự O cũng là trung điểm của 
 BD nên SB SD2 SO (2). Từ (1) và (2) suy ra SA SC SB SD . 
 22 2 2 22 2 2
 b) SA SO OA SO OA 2. SO OA , SC SO OC SO OC 2. SO OC . 
 2 2 2 2 2 2 2
 Suy ra: SA SC 2 SO OA OC 2 SO OA OC 2 SO OA (1) 
 (vì OA và OC là hai vectơ đối nhau). 
 2 2 2 2
 Tương tự: SB SD 2 SO OB (2) 
 2 2 2 2
 Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA OB . Từ (1) và (2) suy ra SA SC SB SD . 
 Dạng 2. Biểu diễn một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng 
  Phương pháp: 
 1) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vectơ và các tính chất vectơ đã được học trong hình học 
 phẳng 
 - Quy tắc ba điểm: 
 Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có: AB BC AC . 
 - Quy tắc trừ: 
 Với ba điểm , , bất kỳ ta luôn có: AB AC CB . 
 - Quy tắc hình bình hành: 
 Cho hình bình hành ABCD ta có: AB AD AC . 
 - Tính chất trung điểm đoạn thẳng: 
 Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: 
 1
 MI MA MB 
 2 
 - Tính chất trọng tâm tam giác: 
 Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm ta có: 
 1
 MG MA MB MC 
 3 
 - Tính chất điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k : 
 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 tức là MA kMB thì ta có: 
 OA kOB
 OM 
 1 k
 2) Sử dụng các quy tắc vectơ và các tính chất vectơ trong không gian 
 - Quy tắc hình hộp: 
 Cho hình hộp ABCD. A B C D ta có: AC AB AD AA . 
 - Tính chất trọng tâm tứ diện: 
 Nếu là trọng tâm tứ diện ABCD thì với mọi điểm ta có: 
 1
 MG MA MB MC MD 
 4 
3 | 
 uv.
 Bước 2: Sử dụng công thức cos u; v . Từ đó suy ra góc giữa hai vectơ u ; v . 
 uv.
 Đặc biệt nếu uv.0 thì ; vuông góc với nhau. 
 2. Tính độ dài đoạn thẳng 
 Cách 1: Sử dụng độ dài vectơ 
 Bước 1: Phân tích vectơ cần tính độ dài theo các vectơ cơ sở trong bài. 
 Bước 2: Bình phương vectơ trên rồi từ đó suy ra độ dài đoạn thẳng cần tính. 
 Cách 2: Sử dụng các công cụ hình học phẳng: định lý Pitago, công thức trung tuyến, 
 Ví dụ 1 
 Cho tứ diện ABCD có và . Gọi là điểm trên 
 cạnh sao cho và là trung điểm của . 
 a) Tính độ dài đoạn thẳng . 
 b) Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ? 
 Lời giải 
 A
 J D
 C
 I
 B 
 a2 a2
 a) Ta có: AC.0 AD ; AB. AD AB . AD .cos 60  ; AC. AB . 
 2 2
 13 
 IJ IA AJ AC AD AB 
 22 
 2 2
 222 1 3 1 17 5aa 5
 IJ IJ AC AD AB a 2 AC . AD 3 AC . AB 3 AB . AD IJ .
 4 2 4 4 16 4
 2
 1 3 1 3 2 a
 b) IJ..... AB AC AD AB AB AC AB AD AB AB 
 2 2 2 2 4
 a2
 IJ.5 AB
 cos IJ , AB 4 
 IJ.5 AB a 5
 .a
 4
5 | 
 Theo quy tắc trọng tâm, ta có: 
 1 1
 * AG AB AD AA abc . 
 3 3 
 1 1 2
 * AG AC AB AD a b a c b c abc . 
 3 3 3 
 3
 Vậy AC 3 AG AG nên các điểm A , G , G , C thẳng hàng. 
 2
 Ví dụ 2 
 Cho tứ diện , các điểm , lần lượt là trung điểm của và . Gọi là trung 
 điểm của đoạn thẳng , điểm là trọng tâm của tam giác . Chứng minh ba điểm , 
 , thẳng hàng. 
 Lời giải 
 Chọn hệ cơ sở: AB a , AC b , AD c . 
 Ta có: 
 1
 * AA AB AC AD . 
 3 
 1 1 1 1 1
 * AO AM AN a b c abc . 
 2 2 2 2 4
 4
 Vậy AA AO nên ba điểm O , A , A thẳng hàng. 
 3
  Chứng minh song song 
  Phương pháp: Để chứng minh AB// DC , ta cần chứng minh AB k.. DC 
 Lưu ý: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k 1 khi và chỉ khi: 
 OA kOB
 MA kMB OM . 
 1 k
 Ví dụ 3 
 Cho lăng trụ tam giác . Giả sử , , , lần lượt là trọng tâm của các tam giác 
 , , , . Chứng minh . 
 Lời giải 
7 | 
 a) Gọi E là trung điểm AC . Khi đó BC// ( IEJ ) , AD// ( IEJ ). Mà IJ () EIJ . Vậy ba vectơ 
 BC , IJ , AD đồng phẳng. 
 b) Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có: 
 MN MA AB BN
 MN MD DC CN 3 MN 3 MD 3 DC 3 CN
 Suy ra: 4MN MA 3 MD AB 3 DC BN 3 CN 
 00
 13
 MN AB DC . 
 44
 Vậy MN , AB , DC đồng phẳng. 
 Dạng 6. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng 
  Phương pháp: 
 1. Để chứng minh 4 điểm A , B ,C , D đồng phẳng ta chứng minh 3 vectơ AB , AC , AD đồng 
 phẳng. 
 2. Để chứng minh đường thẳng MN// ( ABC ) (ngoài các cách chứng minh trong quan hệ song 
 song đã học) ta chứng minh MN () ABC và ba vectơ MN , , đồng phẳng. 
 Chú ý: 
 1. Cho 3 vectơ a , b , c , trong đó và b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba 
 vectơ , , đồng phẳng là tồn tại các số thực x , y sao cho c xa yb . 
 2. Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Điều kiện cần và đủ dể 4 điểm M , , , đồng 
 phẳng là OM xOA yOB zOC trong đó x y z 1. 
 Ví dụ 
 Cho tứ diện , các điểm , lần lượt là trung điểm của , . Gọi , lần lượt 
 là các điểm trên đường thẳng , sao cho , . Chứng minh rằng 4 
 điểm , , , đồng phẳng. 
 Lời giải 
 1
 Từ giả thiết PA 3 PD ta có: MA MP 3 MD MP MP 3 MD MA . 
 2 
 1
 Tương tự QB 3 QC MQ 3 MC MB . 
 2 
 3
 Từ đó suy ra MP MQ MC MD (do M là trung điểm của AB ) 
 2 
 3
 .2MN 3 MN (Do N là trung điểm của CD). 
 2
 Suy ra ba vectơ MP , MQ , MN đồng phẳng hay bốn điểm M , N , P , Q đồng phẳng. 
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ 
 Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC. A B C , M là trung điểm của BB . Chứng minh rằng: 
 1
 CB AA CA AM . 
 2
9 |