Chuyên đề Vecto trong không gian - Hình học 11

 VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN-CĨ GIẢI CHI TIẾT 
 LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 
1. Định nghĩa và các phép tốn 
 Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn 
 tồn tương tự như trong mặt phẳng. 
 Lưu ý: 
 + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ: AB BC AC 
 + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: AB AD AC 
 + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A B C D , ta cĩ: AB AD AA'' AC 
 + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. 
 Ta cĩ: IAIB 0; OA OB2 OI 
 + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta cĩ: 
 GA GB GC 0; OA OB OC 3 OG 
 + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta cĩ: 
 GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4 OG 
 + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương( a 0)  ! k R : b ka 
 + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý. Ta cĩ: 
 OA kOB
 MA kMB; OM 
 1 k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ 
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt 
 phẳng. 
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,, b c , trong đĩ a và b khơng cùng 
 phương. Khi đĩ: a,, b c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb 
 Cho ba vectơ khơng đồng phẳng, x tuỳ ý. 
 Khi đĩ: ! m, n, p R: x ma nb pc 
3. Tích vơ hướng của hai vectơ 
 Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian: 
 AB u, AC v ( u , v ) BAC (000 BAC 180 ) 
 Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian: 
 + Cho uv,0 . Khi đĩ: u. v u . v .cos( u , v ) 
 + Với u 00 hoặc v . Qui ước: uv.0 
 + u v u.0 v 
4. Các dạng tốn thường gặp: 
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ. 
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo 
ba vectơ khơng đồng phẳng. 
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta cĩ thể chứng minh bằng một trong các cách: 
 - Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. 
 - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu cĩ m, n R: c ma nb thì a,, b c
đồng phẳng 
+ Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a,, b c khơng đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao 
cho: x ma nb pc 
Hướng dẫn giải: S
Chọn A. 
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau: d
 a
 SA SC2 SO c
 (do tính chất của đường trung tuyến) b
 A D
 SB SD2 SO
 SA SC SB SD a c d b . O
 B C
Câu 4: Cho tứ diện . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b , 
AC c , AD d . Khẳng định nào sau đây đúng? 
 1 1
 A. MP c d b . B. MP d b c . 
 2 2 
 1 1
 C. MP c b d . D. MP c d b . 
 2 2 
Hướng dẫn giải: 
 A
Chọn A. 
Ta phân tích: 
 1 M
MP MC MD (tính chất đường trung tuyến) 
 2 
 11 B D
 AC AM AD AM c d 2 AM 
 22 
 P
 11
 c d AB c d b . C
 22 
Câu 5: Cho hình hộp ABCD. A B C D cĩ tâm . Gọi I là tâm hình bình hành . Đặt 
AC u ,CA' v , BD x , DB y . Khẳng định nào sau đây đúng? 
 1 1
 A. 2OI u v x y . B. 2OI u v x y . 
 2 2
 1 1
 C. 2OI u v x y . D. 2OI u v x y . 
 4 4
Hướng dẫn giải: 
 A' D'
Chọn D. v x
Ta phân tích: B' C'
u v AC CA ACCC CA AA 2 AA . y I u
 A
x y BD DB BD DD DB BB 22 BB AA . D
 u v x y 4 AA 4 A A 4.2 OI . O
 B C
 1
 2OI u v x y . 
 4
Câu 6: Cho hình hộp . Gọi và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A 
và BCC B . Khẳng định nào sau đây sai? A' D'
 11
 A. IK AC A C . 
 22
 B' C'
 B. Bốn điểm , , C , A đồng phẳng. 
 I
 C. BD 22 IK BC . K
 A
 D. Ba vectơ BD ; IK ; BC khơng đồng phẳng. D
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. B C
Câu 9: Cho hình hộp cĩ tâm O . Đặt AB a ; BC b . M là điểm xác định bởi 
 1
OM a b . Khẳng định nào sau đây đúng? 
 2 
 A. là tâm hình bình hành ABB A . B. là tâm hình bình hành BCC B . 
 C. là trung điểm BB . D. là trung điểm CC . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 A' D'
Ta phân tích: 
 1 1 1 1 B'
OM a b AB BC AB AD DB . C'
 2 2 2 2
 O
 A
 M là trung điểm của . a D
 B b C
Câu 10: Cho ba vectơ abc,, khơng đồng phẳng. Xét các vectơ x 2 a b ; y 4 a 2 b ; z 3 b 2 c
. Chọn khẳng định đúng? 
 A. Hai vectơ yz; cùng phương. B. Hai vectơ xy; cùng phương. 
 C. Hai vectơ xz; cùng phương. D. Ba vectơ x;; y z đồng phẳng. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
+ Nhận thấy: yx 2 nên hai vectơ cùng phương. 
Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau tại . Trong các 
khẳng định sau, khẳngABCD định. A nào B C Dsai ? 
 A. Nếu là hình bình hành thì OA OB OC OD 0. 
 B. Nếu là hình thang thì OA OB 2 OC 2 OD 0 
 C. Nếu thì là hình bình hành. 
 D. Nếu thì là hình thang. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
Câu 12: Cho hình hộp ABCD. A1 B 1 C 1 D 1 . Chọn khẳng định đúng? 
 A. BD,, BD11 BC đồng phẳng. B. CD1,, AD A 1 B 1 đồng phẳng. 
 C. CD11,, AD AC đồng phẳng. D. AB,, AD C1 A đồng phẳng. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. D C 
 MNPQ,,, lần lượt là trung điểm của 
 A B 
AB,,, AA11 DD CD . 
 Ta cĩ CD11/ /( MNPQ ); AD / / MNPQ ; AC / /( MNPQ )
 CD11,, AD A C đồng phẳng. 
 D1 C
 A B1 
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B 1 C 1 . Đặt AA1 a,,,, AB b AC c BC d trong các 
đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? 
 A. a b c d 0 . B. a b c d . C. b c d 0 . D. a b c . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 A C 
+ Dễ thấy: AB BC CA 00 b d c . 
 B 
 A
 1 C1 
 B
 1 
Câu 17: Cho hình hộp ABCD. EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình 
bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
 A. BD,, AK GF đồng phẳng. B. BD,, IK GF đồng phẳng. 
 C. BD,, EK GF đồng phẳng. D. BD,, IK GC đồng phẳng. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
 D C 
 IK//( ABCD )
+ GF//( ABCD ) IK,, GF BD đồng phẳng. 
 A 
 BD (ABCD) B 
+ Các bộ véctơ ở câu ACD,, khơng thể cĩ giá 
 K 
cùng song song với một mặt phẳng. 
 I 
 H G
 E F
Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?