Chuyên đề Vectơ - Toán 12

 MỤC LỤC
CÁC ĐỊNH NGHĨA ................................................................................................................................3
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.................................................................................................................3
B – BÀI TẬP ............................................................................................................................................3
 I - CÁC VÍ DỤ .....................................................................................................................................3
 II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM..........................................................................................................4
TỔNG, HIỆU CỦA HAI VECTƠ .......................................................................................................12
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...............................................................................................................12
B – BÀI TẬP ..........................................................................................................................................12
 I - CÁC VÍ DỤ ...................................................................................................................................12
 II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM........................................................................................................14
TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ ....................................................................................................36
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...............................................................................................................36
B – BÀI TẬP ..........................................................................................................................................36
 I - CÁC VÍ DỤ ...................................................................................................................................36
 II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM........................................................................................................39
 DẠNG TOÁN: ĐẲNG THỨC VÉCTƠ ..........................................................................................39
 DẠNG TOÁN: TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ .........................................................................................54
 DẠNG TOÁN: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM............................................................................................62
TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ..........................................................................................64
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...............................................................................................................64
B – BÀI TẬP ..........................................................................................................................................64
Trang 1 1   
 EF= BC=CD EF=CD EF CD (1)
 2 A
   
 EF cùng hướng CD (2)
   E
 Từ (1),(2) EF CD F
 Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
 1
 EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành 
 2 B D C
  
EF CD
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I 
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. 
     D M
 Chứng minh: AM NC, DK NI C
Hướng dẫn giải: 
 I
 Ta có MC//AN và MC=AN MACN là hình bình hành K
   
 AM NC
 Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm N B
   A
 của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
     
 suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 5: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có 
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Hướng dẫn giải: 
   
 Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc 
A BC. 
 (trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 6: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
  
 a) AM = a ;
  
 b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |.
Hướng dẫn giải: 
 Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// 
 d 
 (nếu A thuộc thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M và M thuộc 
 1 2 
 d sao cho: AM1=AM2=| a | a A
 Khi đó ta có:
  
 a) AM1 = a
   
 b) AM1 = AM 2 cùng phương với a
II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Với hai điểm phân biệt A, B ta có được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là A hoặc 
B?
 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.  
đó là AB, BA .
Câu 2. Cho tam giác ABC. Có thể xác định bao nhiêu vectơ ( khác vectơ không ) có điểm đầu và điểm 
cuối là đỉnh A, B, C ?
Trang 3     
Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB là AP, PB, NM .
Câu 9. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ 
 B. Có ít nhất hai vectơ cùng phương với mọi vectơ 
 C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ
 D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng ?
 A. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
 B. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
   
 C. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành
 D. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu cùng độ dài. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Câu 11. Cho vectơ a, mệnh đề nào sau đây đúng ?
 A. Có vô số vectơ u mà a u 
 B. Có duy nhất một vectơ u mà a u
 C. Có duy nhất một vectơ u mà u a
 D. Không có vectơ u nào mà a u 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Câu 12. Cho hai vectơ không cùng phương a vàb . Khẳng định nào sau đây đúng :
 A. Không có vectơ nào cùng phướng với cả hai vectơ a vàb
 B. Có vô số vectơ cùng phướng với cả hai vectơ a vàb
 C. Có một vectơ cùng phướng với cả hai vectơ a vàb , đó là 0
 D. Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Câu 13. Chọn câu sai trong các câu sau. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là :
 A. Được gọi là vectơ suy biến 
 B. Được gọi là vectơ có phương tùy ý 
 C. Được gọi là vectơ không, kí hiệu 0 
 D. Làvectơ có độ dài không xác định.
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Câu 14. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau:
 A. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng.
 B. Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau
 C. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài 
 D. Cả A, B, C đều đúng. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Câu 15. Mệnh đề nào sau đây đúng: 
 A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng hướng
 B. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương
 C. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương
 D. Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Trang 5 Câu 22. Khẳng định nào sau đây đúng ?
 A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác vectơ-không thì cùng phương.
 B. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương.
 C. Vectơ-không là vectơ không có giá.
 D. Điều kiện đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
 vì áp dụng tính chất hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây đúng.
 A. Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài.
 B. Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có độ dài bằng nhau.
 C. Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng giá và cùng độ dài.
 D. Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng phương và cùng độ dài.
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
HS nhớ định nghĩa hai vectơ bằng nhau.
Câu 24. Cho lục giác ABCDEF, tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
     
 A. AB ED B. AB OC
   
 C. AB FO D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Câu 25. Cho  hình vuông ABCD. Khi đó :   
 A. AC BD B. AB CD
     
 C. AB BC D. AB, AC cùng hướng
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Câu 26. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
 A. M , MA MB B. M , MA MB MC
      
 C. M , MA MB MC D. M , MA MB
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Câu 27. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Trong các 
khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai:
         
 A. MN QP B. MQ NP C. PQ MN D. MN = AC 
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Câu 28.  Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây sai:   
 A. AB BC B. AC BC 
     
 C. AB BC D. AC, BC không cùng phương
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Câu 29. Cho tam giác đều ABC, cậnh. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
    
 A. AC a B. AC BC
    
 C. AB a D. AB, BC cùng hứơng
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Câu 30. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau 
:
Trang 7