Chuyên đề Vectơ môn Toán 12

 Chuyên đề : Vectơ 
 VEC TƠ 
 I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
 1. Về kiến thức: Học sinh nắm vững
 - Định nghĩa và các phép toán vectơ
 - Các quy tắc và kết quả ứng dụng vectơ
 - Trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
 - Véc tơ trong mặt phẳng tọa độ
 2. Về kỹ năng
 - Học sinh xác định thành thạo các khái niệm về véc tơ
 - Chứng minh được các đẳng thức véc tơ
 - Xác định được điểm thỏa mãn đẳng thức véc tơ
 -Tìm được tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
 - Phân tích được véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương
 - Xác định và tính được độ dài véc tơ.
 Trong chương trình học lớp 10 sách giáo khoa học sinh bắt đầu là quen kiến thức vectơ và tọa 
độ. Đây là mô hình cụ thể của không gian vectơ, một cấu trúc đại số quan trọng được dùng trong 
nhiều ngành toán học. Học chủ đề vectơ là việc chuẩn bị cho học sinh công cụ nghiên cứu một số vấn 
đề trong hình học phẳng như hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác, nghiên cứu đường thẳng, 
đường tròn elip. Qua chủ đề này các em sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình 
THPT, đồng thời là cơ sở lý thuyết để mở rộng phương pháp tọa độ từ mặt phẳng sang không gian. 
 PHẦN 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
 A. Lý thuyết
 1. Các định nghĩa
  
 • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
 + Ta còn sử dụng kí hiệu a,b,... để biểu diễn vectơ. Chuyên đề : Vectơ 
 + a 0 0 a a (tính chất vectơ – không).
b. Hiệu của hai vectơ
 • Vectơ đối: vectơ b là vectơ đối của a nếu b a và a,b là hai vectơ ngược 
 hướng. Kí hiệu b a .
 + Vectơ đối của 0 là 0 .
 + a b a b .
 +a a a a 0 .
    
 • Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: OB OA AB .
 c) Tích của một vectơ với một số
 • Cho vectơ a và số k ¡ . ka là một vectơ được xác định như sau:
 + ka cùng hướng với vectơ a nếu k 0 , ka ngược hướng với vectơ a nếu k 0 .
 +ka k . a .
 • Tính chất: Với các vectơ a,b tùy ý và h,k ¡ .
  
 + k a b ka kb; 
 + h k a ha ka; 
 + h ka hk a; 
 + 1.a a; 1 a a;0.a 0;k.0 0; 
 + ka 0 k 0 hoặc a 0 .
 • Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ a,b với a 0 cùng phương 
 khi và chỉ khi k ¡ :b ka 
   
 • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng k 0 : AB k AC Chuyên đề : Vectơ 
 Đáp án B.
 STUDY TIP Ví dụ 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng
- Hai vectơ bằng nhau khi 
 A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b
chúng cùng chiều và cùng 
độ dài. B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b
- Hai vectơ cùng chiều thì 
cùng phương nhưng hai C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 
vectơ cùng phương thì D. Cả A, B, C đều sai
chưa chắc đã cùng chiều.
 Lời giải
 Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a 
 và b , đó là vectơ 0 .
 Đáp án C.
 Ví dụ 3: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, 
  
 cùng phương với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
 A. 4B. 6 C. 8 D. 10 
 Lời giải
  
 Các vectơ cùng phương với vectơ OB là:
       
 BE, EB, DC,CD, FA, AF. 
 Đáp án B.
 Ví dụ 4: Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, 
 BC, CD, DA. Mệnh đề nào sau đây là sai?
         
 A. MN QP B. QP M C.N M QD. NP MN AC
 Lời giải
 MN //PQ 1
 Ta có (do cùng song song và bằng AC ).
 MN PQ 2 Chuyên đề : Vectơ 
Ví dụ 7: Cho ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A', B ',C 'lần lượt là 
trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua 
 A', B ',C '. Câu nào sau đây đúng?
         
 A. AM PC và QB NC B. vàA C QN AM PC
         
 C. AB CN và D.AP QN và A B ' BN MN BC
 Lời giải
   
Ta có AMCP là hình bình hành AM PC 
Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành
 NC BM QA 
   
 AQNC là hình bình hành AC QN .
 Đáp án B.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp:
- Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.
- Biến đổi vế này thành vế kia.
- Biến đổi đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đã biết hiển nhiên đúng.
- Từ một đẳng thức đúng biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của 
BC và AD. Tìm đẳng thức sai:
        
 A. AM AN AC B. AM AN AB AD
        
 C. AM AN MC NC D. AM AN DB
 Lời giải
    
+ Tứ giác AMCN là hình bình hành AM AN AC A đúng. Chuyên đề : Vectơ 
          
 3HO OA OB OC 2HO OH OA OB OC (2)
         1  
Từ (1) và (2) OH 3OG OG GH 3OG GH 2OG OG GH .Đáp án C.
 2
Ví dụ 4: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
Đẳng thức nào sau đây là sai?
       
 A. AB CD 2IJ B. AC BD 2IJ
       
 C. AD BC 2IJ D. 2IJ DB CA 0
 Lời giải
         
+ B đúng vì AC BD AI IJ JC BI IJ JD 
       
 2IJ AI BI JC JD 2IJ 
          
+ C đúng vì AD BC AI IJ JD BI IJ JC 2IJ 
       
+ D đúng vì AC BD 2IJ 2IJ CA DB 0 Đáp án A.
Ví dụ 5: Cho ABC , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây 
là đúng?
  MC  MB   MA  MB  
 A. AM .AB .AC B. BM .AC .BC
 BC BC AB AB
  MB  MA   MC  MB  
 C. 3CM .AB .AC D. 2AM .AB .AC
 AC AB BC BC
 Lời giải
Kẻ MN / / AC, N AB .
  AN  MC  
Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN .AB .AB 
 AB BC
  NM  MB  
 NM .AC .AC 
 AC BC Chuyên đề : Vectơ 
    1   1   1   
 MD ME MF MA MA MB MB MC MC 
 2 1 2 2 1 2 2 1 2 
 1    3  
 MA MB MC MO . Đáp án D.
 2 2
Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng 
  
tâm biến đổi đẳng thức đã cho về dạng OM u trong đó u đã biết trước.
- Bước 2: Dựng điểm M, dựng một vectơ bằng vectơ u , điểm cuối của vectơ chính là M.
* Chú ý:
   
+ Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 MA kMB và với điểm O tùy ý thì 
   
  OA kOB
 OM 
 1 k
+ Điều kiện cần và đủ để ABC và A' B 'C ' cùng trọng tâm là
    
 AA' BB ' CC ' 0 .
   
Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho IA 2IB 0 .
 1
 A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho IB AB 
 3
 1
 B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho IB AB 
 3
 C. Điểm I là trung điểm đoạn AB
 1
 D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và IB AB .
 3
 Lời giải
     
 IA 2IB 0 IA 2IB .
 1
Vậy I thuộc đoạn AB sao cho IB AB . Đáp án B.
 3