Chuyên đề Ước chung và ước chung lớn nhất Toán 6

 BÀI 9: ƯỚC CHUNG - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Hiểu được khái niệm ước chung, ước chung lớn nhất, và khái niệm các số nguyên tố cùng nhau. 
 + Nhận biết được giao của hai tập hợp. 
 + Nhận biết được quan hệ giữa ước chung và ước chung lớn nhất. 
  Kĩ năng 
 + Xác định được ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số tự nhiên lớn hơn 1. 
 + Biết cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố. 
 + Tìm được tập hợp các ước chung của các số đã cho thơng qua tìm ước chung lớn nhất của 
 chúng. 
 + Vận dụng giải các dạng tốn tìm ước chung và ước chung lớn nhất. 
 + Chứng minh được hai hay nhiều số nguyên tố cùng nhau. 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
1. Ước chung Ví dụ. 
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả Ư 8 1;2;4;8 
các số đĩ. 
 Ư 12 1;2;3;4;6;12 
 x ƯC a , b nếu a x và b x 
 Các số 1; 2 và 4 vừa là ước của 8, vừa là ước của 
 x ƯC a , b , c nếu a x , b x và c x 12 nên chúng được gọi là ước chung của 8 và 12. 
Chú ý: ƯC 8,12 Ư 8  Ư 12 . 
Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần 
tử chung của hai tập hợp đĩ. 
Kí hiệu giao của hai tập hợp A và B là A B . 
2. Ước chung lớn nhất 
 Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 8 và 
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn 
 12 là 4. 
nhất trong tập hợp các ước chung của các số đĩ. 
 Suy ra ƯCLN 8;12 4 
Nhận xét: ƯCLN a,, b ƯC a b 
 ƯC 8,12 đều là ước của 4. 
Chú ý: Số 1 chỉ cĩ một ước là 1. Do đĩ với mọi số 
tự nhiên a và b, ta cĩ: ƯCLN 7;1 1; ƯCLN 15;20;1 1 
 ƯCLN a;1 1; ƯCLN a ; b ;1 1 
3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích 
các số ra thừa số nguyên tố Ví dụ. Tìm ƯCLN 8;12 
Muốn tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số 8 23 ;12 2 2 .3 
 Trang 1 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Tìm ước chung 
 Phương pháp giải 
Tìm ước chung của hai số a và b: Ví dụ: Ư 4 1;2;4 
+ Bước 1. Ư a .... 
 Ư 6 1;2;3;6 
 Ư b .... 
+ Bước 2. ƯC a, b Ư a  Ư b 
 ƯC 4,6 1;2. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. 
a) Số 15 cĩ là ước chung của 45 và 60 khơng? Vì sao? 
b) Số 24 cĩ là ước chung của 48 và 140 khơng? Vì sao? 
Hướng dẫn giải 
a) 15 là ước chung của 45 và 60 vì 45 và 60 cùng chia hết cho 15. 
 Trang 3 
 Số bút ở mỗi phần Số vở ở mỗi phần 
 Cách chia Số phần thưởng 
 thưởng thưởng 
 Thứ nhất 8 6 8 
 Thứ hai 12 .  
 Thứ ba 16 3 4 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Bài tập cơ bản 
Câu 1. 
a) Số 12 cĩ là ước chung của 24 và 30 khơng? Vì sao? 
b) Số 14 cĩ là ước chung của 28; 56 và 84 khơng? Vì sao? 
Câu 2. Viết các tập hợp sau: 
a) Ư 30 , Ư 42 , ƯC 30,42 ; b) Ư 27 , Ư 54 , ƯC 27,54 ; 
c) ƯC 12,20,32 ; d) ƯC 14,28,56 . 
Câu 3. Viết các tập hợp sau: 
a) Ư 6 , Ư 16 , ƯC 6,16 ; b) Ư 9, Ư 18, Ư 27, ƯC 18,27 ; 
c) Ư 14 , Ư 42 , ƯC 14,42 . 
Câu 4. Cĩ 32 học sinh nam và học sinh 40 nữ. Người ta muốn chia đều số học sinh nam và nữ vào các 
nhĩm. Trong các cách chia sau, cách nào thực hiện được? Điền vào chỗ trống (...) các trường hợp chia 
được. 
 Cách chia Số nhĩm Số nam trong mỗi nhĩm Số nữ trong mỗi nhĩm 
 Thứ nhất 4 . .. 
 Thứ hai 6 .  
 Thứ ba 8 .. .. 
Câu 5. Lớp 6A cĩ 24 học sinh nam và 36 học sinh nữ. Thầy giáo cần chia cả lớp thành các hàng dọc để 
tập thể dục, sao cho số nam và số nữ ở mỗi hàng bằng nhau. Trong các cách xếp sau, cách nào thực hiện 
được? Điền vào chỗ trống (...) những trường hợp chia được. 
 Cách chia Số hàng dọc Số nam ở mỗi hàng Số nữ ở mỗi hàng 
 Thứ nhất 4 .. . 
 Thứ hai 6  . 
 Thứ ba 8 .. .. 
 Thứ tư 12  . 
Bài tập nâng cao 
 Trang 5 
Câu 5. 
Số hàng dọc chia được là ước chung của 24 và 36. 
Trong bốn số 4, 6, 8, 12 chỉ cĩ 8 khơng là ước chung của 12 nên cách thứ ba khơng thực hiện được. Cách 
thứ nhất: 
Số nam ở mỗi hàng là: 24 : 4 6 (học sinh). 
Số nữ ở mỗi hàng là: 36 : 4 9 (học sinh). 
Tương tự với các cách thứ hai và thứ tư, ta cĩ bảng: 
 Cách chia Số hàng dọc Số nam ở mỗi hàng Số nữ ở mỗi hàng 
 Thứ nhất 4 6 9 
 Thứ hai 6 4 6 
 Thứ ba 8 . .. 
 Thứ tư 12 2 3 
Bài tập nâng cao 
Câu 6. 
Gọi d là ước chung của n 3 và 2n 5 với n . 
Ta cĩ: n 3  d và 2n 5  d . 
Suy ra 2 n 3 2 n 5  d 1  d . 
Vậy d 1. 
Câu 7. 
Giả sử 4 là ước chung của n 1 và 2n 5 n . 
Ta cĩ: n 1  4 và 2n 5  4. 
Suy ra 2n 5 2 n 1  4 3  4 (vơ lí). 
Vậy số 4 khơng thể là ước chung của n 1 và 2n 5 n . 
Dạng 2: Tìm ước chung lớn nhất 
 Phương pháp giải 
+ Tìm ước chung lớn nhất của hai số a và b: Ví dụ. ƯC 4,6 1;2 . 
Cách 1. Tìm ƯC a, b , chọn số lớn nhất trong tập 
 Cách 1. 2 là số lớn nhất trong tập ƯC 4,6 . Vậy 
hợp đĩ. 
 ƯC 4,6 2 . 
Cách 2. 
 2
Bước 1. Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố. Cách 2. 4 2 ; 
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. 6 2.3. 
Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số Thừa số chung là: 2 với số mũ nhỏ nhất là 1. 
lấy với số mũ nhỏ nhất của nĩ. ƯCLN 4,6 21 2 
Tích đĩ là ƯCLN cần tìm. 
 Ví dụ. ƯCLN 12,30 6 
 Trang 7 
 và 3 (số mũ nhỏ nhất là 1). 
 ƯCLN 18,24 21 .3 1 6 . 
Các ước của 6 là: 1; 2; 3; 6. 
Vậy ƯC 18,24 1;2;3;6. 
b) Ta cĩ: 36 22 .3 2 ; 
 54 2.33 ; 
 81 34 . 
Thừa số chung là: 3 (số mũ nhỏ nhất là 2). 
 ƯCLN 36,54,81 32 9 
Các ước của 9 là: 1; 3; 9. 
Vậy ƯC 36,54,81 1;3;9 . 
c) Ta cĩ: 48 24 .3 ; 
 60 22 .3.5 ; 
 120 23 .3.5. 
Thừa số chung là: 2 (số mũ nhỏ nhất là 2) 
 và 3 (số mũ nhỏ nhất là 1). 
 ƯCLN 48,60,120 22 .3 1 12 . 
Các ước của 12 là: 1; 2; 3; 6; 12. 
Vậy ƯC 48,60,120 1;2;3;6;12 . 
d) Ta cĩ: 30 2.3.5 ; 
 75 3.52 ; 
 135 33 .5. 
Thừa số chung là: 3 (số mũ nhỏ nhất là 1) và 5 (số mũ nhỏ nhất là 1). 
 ƯCLN 30,75,135 31 .5 1 15 . 
Các ước của 15 là: 1; 3; 5; 15. 
Vậy ƯC 30,75,135 1;3;5;15. 
Ví dụ 3. Minh cĩ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 60 cm và 84 cm. Minh muốn cắt tấm bìa thành 
các mảnh nhỏ hình vuơng bằng nhau, sao cho tấm bìa được cắt hết, khơng cịn thừa mảnh nào. Tính độ 
dài lớn nhất của cạnh hình vuơng (biết số đo của cạnh hình vuơng nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị 
xentimet). 
Hướng dẫn giải 
Gọi độ dài cạnh các mảnh hình vuơng là a (cm). 
 Trang 9 
Câu 1. Tìm ước chung lớn nhất của: 
a) 18 và 30; b) 36; 48 và 72; c) 27; 45 và 81. d) 54; 135 và 162; 
Câu 2. Tìm ƯCLN rồi tìm ước chung của: 
a) 40 và 60; b) 28; 39 và 35; c) 48; 60 và 120; d) 30; 75 và 135. 
Câu 3. Tìm số tự nhiên x , biết 126x ,210  x và 15 x 30 . 
Câu 4. Tìm số tự nhiên a lớn nhất thỏa mãn: 
a) 320a và 480a ; b) 360a và 600a . 
Câu 5. Tìm số tự nhiên a lớn hơn 25, biết rằng các số 525; 875 và 280 đều chia hết cho a. 
Câu 6. Một đội y tế gồm cĩ 36 bác sĩ và 120 y tá. Cĩ thể chia đội y tế đĩ thành nhiều nhất bao nhiêu tổ để 
các bác sĩ và các y tá được chia đều vào mỗi tổ? 
Câu 7. Một nhĩm thanh niên tình nguyện gồm 48 nam và 54 nữ. Cĩ thể thành nhiều nhất bao nhiêu tổ để 
đi tham gia tình nguyện ở các địa phương? Biết rằng số nam và số nữ được chia đều vào mỗi tổ. 
Câu 8. Đào và Mai mỗi người mua một số bút chì màu, trong mỗi hộp đều cĩ nhiều hơn hai bút và số bút 
ở mỗi hộp bằng nhau. Biết rằng Đào mua được 28 bút và Mai mua được 36 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu 
cĩ bao nhiêu chiếc? 
Câu 9. Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ chiều dài 132 m và chiều rộng 72 m. Người ta muốn trồng cây 
xung quanh vườn sao cho mỗi gĩc vườn cĩ mỗi cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau.Tính 
khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp cĩ thể trồng được (khoảng cách là số tự nhiên đơn vị là m). 
Khi đĩ tổng số cây là bao nhiêu? 
Bài tập nâng cao 
Câu 10. Một mảnh đất hình chữ nhật cĩ chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Người ta muốn trồng cây 
xung quanh vườn, sao cho mỗi gĩc vườn cĩ một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Hỏi 
số cây phải trồng ít nhất là bao nhiêu? 
Câu 11. Tìm số tự nhiên a , biết rằng 130 chia cho a dư 10 và 172 chia cho a dư 12. 
Câu 12. Tìm số tự nhiên a , biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia cho a dư 10. 
Câu 13. Tìm hai số tự nhiên a và b a b , biết rằng: 
a) a b 84 ; ƯCLN a, b 14 . b) a b 135 ; ƯCLN a, b 27 . 
c) a. b 96 ; ƯCLN a, b 4 . 
Câu 14. Tìm hai số tự nhiên a và b a b , biết rằng tổng của chúng bằng 128 và ước chung lớn nhất là 
32. 
ĐÁP ÁN 
Câu 1. 
a) 18 2.32 ; b) 36 22 .3 2 ; 
 30 2.3.5. 48 24 .3 ; 
 ƯCLN 18,30 2.3 6. 72 23 .3 2 . 
 2
c) 27 33 ; ƯCLN 36,48,72 2 .3 12 . 
 45 32 .5 ; d) 54 2.33 ; 
 Trang 11