Chuyên đề Ứng dụng tích phân Toán Lớp 12

 Bài 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 
 b
đường (C) : y f(x), trục hoành (y 0) , hai đường thẳng x a, x b là S f (x dx . 
 a
 y
 y f() x
 y f() x
 b
 y 0 S f() x dx
 ()H 
 a
 x a
 O a c c c x
 1 2 3 b x b
Bước 1. Lập công thức tính diện tích. 
Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x) trên đoạn [a; b]. 
 Chú ý: Nếu có đồ thị (C) thì ta dựa vào đồ thị mà không cần lập bảng xét dấu. 
 b
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) dx . 
 a
 x 1
VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y , x 0, x 1,Ox . 
 x 1
 Giải: 
 1 x 1
Diện tích hình phẳng là S dx 
 0 x 1
 x 1 x 1 1 x 2
Do trên 0;1 , 0 nên 1. 
 x 1 x 1 x 1 x 1
 1x 1 1 2 1
 S dx 1 dx (2ln x 1 x ) 2ln21. 
 0x 1 0 x 1 0
 ln x
VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = 1, x = e, Ox, ( C) : y . 
 2 x
 Giải: 
 e ln x
Diện tích hình phẳng là S dx. 
 1 2 x
 1 
 Bài toán 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên a;b. Diện tích hình phẳng giới 
 b
hạn bởi các đường y f(x), y g(x) , x a, x b là: S f(x) g(x)dx . 
 a
 y
 ()C 1
 ()C 2
 a c x
 O 1 c 2 b
Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x) tìm nghiệm thuộc khoảng (a;b) (nếu có) 
Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x) g(x) trên đoạn a;b . 
 b
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f (x) g(x) dx . 
 a
Chú ý: 
 1) Nếu trong đoạn a; b phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có 
 b b
 thể dùng công thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx . 
 a a
 2) Nếu bài toán không cho hoặc cho thiếu đường x a, x b thì ta tìm bằng cách giải 
 phương trình f(x) g(x) 
VD1: 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x3 11x 6, y 6x 2 , x 0, x 2 . 
 Hướng dẫn giải: 
 2
Diện tích hình phẳng là: S x3 11 x 6 6 x 2 dx
 0
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường: 
 x 1
 3 2 3 2 
 x 11 x 6 6 x x 6 x 11 x 6 0 x 2
 x 3
 2 1 2 5
 S x31166 x xdx 2 xx 3 6116 2 xdx xx 3 6116 2 xdx 
 0 0 1 2
 3 
 II. TÍNH THỂ TÍCH 
 1. Thể tích vật thể 
 Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại 
 x a, x b a b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x a x b cắt V 
 theo thiết diện có diện tích là S x . Giả sử S x liên tục trên đoạn a; b thì thể tích V 
 của phần vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức: 
 b
 V S x dx 
 a
VD1: Tính thể tích vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x 1, x 1 biết thiết diện của vật thể bị cắt 
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc  1;1 là một hình vuông 
cạnh 2 1 x2 . 
 Hướng dẫn giải: 
 2
Diện tích thiết diện: S x 2 1 x2 
 12 1 16
Thể tích vật thể là V 2. 1 x2 dx 4 1 x 2 dx 
 1 1 3
VD2: Tính thể tích vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x = 0, x = biết thiết diện của vật thể bị cắt 
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc [0, ] là một tam giác đều 
cạnh 2 sin x . 
 Hướng dẫn giải: 
 2 3
Diện tích thiết diện: S x 2 sin x . 3.sin x 
 4
Thể tích vật thể : V 3.sin xdx 3 cos x 2 3 
 0
 0
 5 
 1) y 2x x2 và y 0 
 2) y x3 3x 2 4 ; y 0 
 3) y x2 4x ; y x 2 
 x 3
 4) y ; trục hoành và x 3;x 1 
 2 x
 5) y lnx ; y 0 và x 2 
 x
 6) y xe2 ; y 0,x 0,x 1 
 7) y sin2 x; y 0,x 0,x 
 8) y sinxcosx ; y 0,x 0,x 
 2
 x3
Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y ,y x2 quay quanh trục Ox. Tính thể 
 3
tích vật thể tròn xoay tạo nên. 
 7