Chuyên đề Ứng dụng thể tích tính khoảng cách diện tích - Hình học 12

 HÌNH HỌC 12. 
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
BÀI 3. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
DẠNG 7: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH, KHOẢNG 
CÁCH, 
A. LÝ THUYẾT 
Tóm tắt ngắn gọn kiến thức cơ bản cần nắm. 
1. Công thức tính thể tích 
 1
- Thể tích khối chóp: V B. h 
 3
- Thể tích khối lăng trụ: V B. h 
 1
- Thể tích khối tứ diện: V AB. CD . d AB , CD .sin AB , CD 
 ABCD 6 
Trong đó: 
B : Diện tích đáy, h : Chiều cao hạ từ đỉnh tới đáy tương ứng. 
2. Công thức tính diện tích, khoảng cách, góc dựa vào thể tích 
- Diện tích khối đa diện: 
 3V
+ Khối chóp: B 
 h
 V
+ Khối lăng trụ: B 
 h
 3V V
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: h chop l. tru 
 BB
 6.V
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d AB, CD ABCD 
 AB. CD .sin AB , CD 
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
DẠNG 7.1: ỨNG DỤNG THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 
 Ví dụ 1 
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và thể tích bằng . Tính chiều cao 
 của hình chóp đã cho. 
 Lời giải 
 2
Diện tích mặt đáy: Sa 3 3a2 . 
 1 3V 3a3
Ta có: V S. h h a . 
 3 S 3a2
1 
 SCD  ABCD CD
 x
Ta có : SI CD SCDcân ( SCD );( ABCD ) SIO 45  SO IO 
 2
 OI CD OCD cân 
 x3 4
Khi đó V a3 x 2 a . Vậy AB 2 a . 
 S. ABCD 63
 Ví dụ 4 
 Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy và với , 
 cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính chiều cao của hình thang 
 , biết khối chóp có thể tích bằng . 
 Lời giải 
 1 3V
V S.3 SA S S. ABCD a2 
 ABCD3 ABCD ABCD SA
 1 2S
S AB CD .2 h h ABCD a . 
 ABCD 2 AB CD
 Ví dụ 5 
 Cho hình chóp , là hình thang vuông tại và với . Tam 
 giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của . Biết 
 khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Tính diện tích hình thang . 
 Lời giải 
3 
 a2 11 AB AC BC
 S ppABpACpBC , với p . 
 ABC 2 2
 3Va 66
 Suy ra: d S,. ABC 
 SABC 11
 Ví dụ 7 
 Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh bằng . Tam giác cân tại 
 và mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng 
 . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
 Lời giải 
Ta có chiều cao của khối chóp S. ABCD là SI với I là trung điểm của AD . 
 4 14
Suy ra thể tích của khối chóp bằng a3 2a23 . SI a SI 2 a . 
 3 33
Xét tam giác SCD vuông tại D có: 
 32a 1 1 3aa 2 3 2
SD SI22 ID nên S SD. CD . . a 2 . 
 2 SCD 2 2 2 2
 4 1 4
Thấy ngay VVV 22 a3 2. S . h h a . 
 S... ABCD S BCD B SCD 3 3 SCD 3
 Ví dụ 8 
 Lăng trụ có đáy là tam giác vuông cân tại , , biết thể tích của lăng trụ 
 là .Tính khoảng cách giữa và . 
 Lời giải 
5 
cao h của hình chóp đã cho. 
 Lời giải 
 a3 3
 3.
 1 34Va3
Ta có: V SABC . h h . 
 3 S 2 3 3
 ABC a 3.
 4
Câu 12: Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi một vuông góc. Biết OA a, OB 2 a , 
OC a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC . 
 Lời giải 
 A
 O C
 B
 13a3
V OAOB.. OC . 
 OABC 63
Tính được AB OA22 OB a 5 , AC OA22 OC 2 a , BC OB22 OC a 7 . 
 19 AB AC BC
S ppABpACpBC (với p ) 
 ABC 2 2
 1 3VOABC 2 3
Gọi h d O; ABC . Ta có VOABC h. S ABC h . 
 3 SABC 19
Câu 13: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên bằng SA vuông 
góc với đáy, SA a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC ? 
 Lời giải 
 S
 a
 2a C
 A
 2a E
 2a
 B
Ta có SB SC a5; SE 5 a22 a 2 a . 
7 
 D
 A C
 B 
Do các tam giác ABC , ACD , ABD vuông tại A nên nếu D là đỉnh hình chóp thì AD là đường 
cao 
của hình chóp. 
 1 1 1a3 6
Khi đó thể tích khối chóp D. ABC là: V . DA . S . a 3. . a 2. a . 
 D. ABC3 ABC 3 2 6
 1 3VABCD
Ta lại có VABCD V D. ABC.,. d A BCD S BCD d A, BCD . 
 3 SBCD
Ta có AB a , AC a 2 , AD a 3 nên BC a 3 , BC 2 a , CD a 5 . 
 11
Theo công thức Hê rông, ta có Sa 2 . 
 BCD 2
 a3 6
 3.
 a 66
Vâỵ d A, BCD 6 . 
 11 11
 a2
 2
DẠNG 7.2: ỨNG DỤNG THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG 
CHÉO NHAU 
Phương pháp giải: 
Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau ab, . 
+ Ta chuyển khoảng cách d a,,, b d a d A với A  a, a // , b 
 3VS. ABC
+ Áp dụng công thức ha AH . 
 SABC
Bài tập luyện tập 
 Ví dụ 1 
 Cho hình chóp tam giác có vuông góc với mặt đáy, tam giác vuông cân tại , 
 , góc giữa mp với mp bằng . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp 
 tam giác . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng với . 
 Lời giải 
9 
 3V
 AB// SCD d AB , SC d AB , SCD d B , SCD BSCD . 
 S SCD
 aa2 11
Tam giác SGC vuông tại G suy ra SG SC2 GC 2 4 a 2 . 
 3 3
 aa3
Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên: OC , OB . 
 22
 1 1aa2 3
Tam giác BCO vuông tại O : S OC. BD . . a 3 . 
 BCD 2 2 2 4
 1 1a 11 a23 3 a 11
Do đó: V SG... S . 
 SBCD3 BCD 33 4 12
 CD SG
 CD CG
Ta có: CD  SGC CD  SC . 
 SG CG G
 SG, CG SCG 
 11
Tam giác SCD vuông tại C : S SC. CD .2 a . a a2 . 
 SCD 22
 3V a 11
Vậy d AB, SC BSCD . 
 S SCD 4
 Ví dụ 3 
 Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc 
 của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và 
 mặt đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo . 
 Lời giải 
 A C
 B
 A C
 H
 F
 B
 K
 E 
 3VV
Ta có: d AA ,,,, BC d AA BCC B d A BCC B d A BCB ABCB ABC. A B C 
 SSBCB BCB
 3
VABC. A B C A H.3 S ABC a . 
11