Chuyên đề Ứng dụng phương tích, trục đẳng phương trong bài toán yếu tố cố định - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
 TRONG BÀI TOÁN YẾU TỐ CỐ ĐỊNH
 Tác giả: Nguyễn Bá Hoàng
 Trường THPT Chuyên Lào Cai
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
 Các bài toán về Hình học phẳng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG môn toán 
và luôn được đánh giá là nội dung khó trong đề thi. Có rất nhiều dạng bài tập về hình học 
phẳng cùng với sự tương ứng của các công cụ đi cùng, trong đó phương tích và trục đẳng 
phương là một trong những công cụ thực sự hiệu quả để giải nhiều lớp bài toán về hình học. 
Mặc dù là một vấn đề khá quen thuộc của hình học phẳng, kiến thức về nó khá đơn giản và dễ 
hiểu, tuy nhiên nó có ứng dụng nhiều đối với các bài toán chứng minh vuông góc, đồng quy, 
thẳng hàng, điểm cố đinh, đường cố định hay các bài toán về tập hợp điểm. Chính vì thế 
trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế và khu vực, những bài toán 
có liên quan đến phương tích và trục đẳng phương thường xuyên được đề cập và thường được 
xem là những dạng toán hay của kì thi.
 Đối với lớp bài toán về yếu tố cố định thì học sinh thường gặp phải khá nhiều khó khăn 
khi giải từ việc dự đoán yếu tố cố định và chứng minh nó thỏa mãn yêu cầu đề bài. Tuy nhiên 
với hệ thống lý thuyết khá đơn giản nhưng hiệu quả phương tích, trục đẳng phương thường 
đem lại lời giải độc đáo, đẹp mắt và không kém phần thú vị cho lớp bài toán này.
 Chính vì vậy tác giả lựa chọn chuyên đề: "Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương 
trong bài toán yếu tố cố định" để hy vọng phần nào chia sẻ và giúp các bạn tiếp cận tốt hơn với 
các bài toán yếu tố cố định bằng công cụ vô cùng hữu hiệu này.
II. Mục đích của đề tài
 Thông qua đề tài “Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương trong bài toán yếu tố cố 
định” tác giả rất mong muốn nhận được góp ý trao đổi của các bạn đồng nghiệp và các em học 
sinh. Chúng tôi mong muốn đề tài này góp một phần nhỏ để việc ứng dụng phương tích, trục 
đẳng phương trong bài toán về yếu tố cố định nói riêng và các bài toán hình học phẳng nói 
chung đạt hiệu quả cao nhất. Từ đó giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về việc sử dụng phương HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
 M nằm ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi M / O 0 
 M nằm trong đường tròn (O) khi và chỉ khi M / O 0 
 2
2) Khi M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì M / O MT
3) Nếu A, B cố định và AB.AM const M cố định. Ý tưởng này giúp ta giải các bài toán về 
đường đi qua điểm cố định. 
4) Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt nhau tại M (M không trùng với A, B, T). Khi 
đó, nếu MA.MB MT 2 thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T.
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn.
Định lý 2.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O 1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm M có 
cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục 
đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2). 
Chứng minh:
 M
 O1 H I O2
Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau.
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2. Ta có: HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
 M
 A
 C
 O1 O2
 O3
 D
 B
3. Tâm đẳng phương.
Định lý 3.1 Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường 
tròn hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm. Nếu các trục đẳng phương đó 
cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. 
Chứng minh. 
 O3
 M
 O1
 O2
Gọi dij là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ci) và (Cj). Ta xét hai trường hợp sau.
TH1: Giả sử có một cặp đường thẳng song song, không mất tính tổng quát ta giả sử d12 // d23. 
Ta có d12  O1O2 ,d23  O2O3 suy ra O1,O2 ,O3 thẳng hàng. Mà d13  O1O3 suy ra d13 // d23 // d12
TH2: Giả sử d12 và d23 có điểm M chung. Khi đó ta có: HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có A/ I AC.AB AM.AN A/ O (không đổi vì 
 
A, (O) cố định). Suy ra AC A/ O 
 AB
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
Nhận xét: Việc tìm ra điểm C cố định là dễ hiểu bởi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm 
trên đường trung trực của dây cung bất kì. Hơn nữa điểm B cố định và đường tròn ngoại tiếp 
tam giác BMN với đường tròn (O) có trục đẳng phương là MN. Do A và (O) cố định nên 
A/ O không đổi
Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay 
đổi trên tiếp tuyến tại B của (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng 
CD luôn đi qua một điểm cố định.
Giải
 C K
 B
 A O H M I
 D
Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K). 
Gọi M là giao điểm của CD và AB.
Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có: 
 MH.MI MC.MD MA.MB MB BH MB BI MB MB BA 
 2
 2 2 2 2 BH
 MB BH MB BH MB MB.BA MB BH MB MB.BA BM 
 BA HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
a) Không mất tính tổng quát, ta giả sử AB AC như hình vẽ, các trường hợp còn lại hoàn toàn 
tương tự. Khi đó, M nằm ngoài đoạn AB và N nằm trong đoạn AC. Do NA = NB nên 
 N· BA N· AB và do MA = MC nên M· CA M· AC . Từ đây suy ra N· BA M· CA hay tứ giác BMCN 
nội tiếp và khi đó ta được QM.QN = QB.QC.
Từ đây suy ra Q có cùng phương tích đến hai đường tròn (O) và (AMN) nên nó nằm trên trục 
đẳng phương của hai đường tròn này. Trục đẳng phương đó chính là dây chung AP nên suy ra 
A, P, Q thẳng hàng.
b) Ta thấy rằng đường tròn (ODC) tiếp xúc với (O) tại C nên trục đẳng phương của hai đường 
tròn này chính là tiếp tuyến d của (O) ở C. Ta sẽ chứng minh rằng O ∈ (ADE).
Thật vậy, ta có O,M cùng nằm trên trung trực của AC nên OM ⊥ AC. Tương tự thì ON ⊥ AB 
nên O là trực tâm tam giác AMN. Suy ra AO ⊥ MN.
Xét hai đường tròn (M, MA), (N, NA) thì do dây chung vuông góc với đường nối tâm nên ta 
có AK ⊥ MN. Từ đây suy ra A, O, K thẳng hàng nên O· AE 900 . Hơn nữa, ta cũng có 
O· DE 900 nên tứ giác AODE nội tiếp hay O ∈ (ADE). Do đó, trục đẳng phương của (ADE) và 
(ODC) chính là OD. Ngoài ra, trục đẳng phương của (O) và (ADE) là AF.
Xét ba đường tròn (O), (ADE), (ODC) có các trục đẳng phương của từng cặp đường tròn là 
OD, d, AF nên chúng sẽ đồng quy tại một điểm. Vậy AF đi qua giao điểm của OD với đường 
thẳng d và đó là một điểm cố định.
Nhận xét.
Câu a) của bài toán này có thể dễ dàng giải quyết bằng ý tưởng chứng minh các điểm B, M, N, 
C cùng thuộc một đường tròn Ω và các đoạn AP, MN, BC đều là các trục đẳng phương tương 
ứng của hai trong ba đường tròn (O), Ω, (AMN) nên sẽ đồng quy tại tâm đẳng phương Q. 
Hướng tiếp cận này có thể nhận thấy được. 
Tuy nhiên, ở ý b) do có sự xuất hiện của nhiều đường tròn, đường thẳng hơn với yêu cầu “đi 
qua điểm cố định” thì nhiều bạn gặp khó khăn. Nhưng nếu để ý cẩn thận ta có thể dễ dàng tìm 
được điểm cố định I bằng cách cho A tiến dần đến hai điểm đối xứng với B, C qua tâm (O) để 
phát hiện ra rằng điểm cố định nếu có thì phải nằm trên tiếp tuyến của (O) tại B, C. Và cũng 
không khó để nhận ra mô hình quen thuộc về tứ giác điều hòa hoặc đường đối trung. Cụ thể thì 
ABFC là tứ giác điều hòa tương ứng với AF là đường đối trung của tam giác ABC. Lời giải HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
 A
 E
 R S
 O
 F I
 C
 B D
Gọi R, S lần lượt là giao điểm của (I) với BC (các giao điểm này có thể tương ứng trùng E, F 
 AR AE AB
trong trường hợp tam giác ABC cân). Ta có AR.AF AS.AE RS / /BC 
 AS AF AC
 DB2 BF.BR BF BR BF AB BF BE cot B
Do (I) tiếp xúc với BC tại D nên . . . 
 DC 2 CE.CS CE CS CE AC CE CF cot C
 DB cot B
Do đó 
 DC cot C
Cách 2
 A
 E
 I O
 F
 X
 Y
 C
 B D
Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của (I) với BE, CF. 
Ta có BD2 BX.BE, CD2 CY.CF (phương tích với đường tròn (I)).
 BX BF cosB
Hai tam giác BXF,CYE có ·XBF Y·CE, B· XF C· YE nên đồng dạng. Suy ra 
 CY CE cosC