Chuyên đề Ứng dụng phương tích, trục đẳng phương trong bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương
 CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG 
 BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY
I. Lí do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài
 Nếu so sánh với kiến thức hình học THCS mà học sinh được tiếp nhận thì phần 
 phương tích trục đẳng phương là phần cơ bản và có rất nhiều ứng dụng trong phần 
 đầu của hình học THPT. Phần phương tích trục đẳng phương xuất hiện rất nhiều 
 trong các bài toán thi HSG quốc gia và quốc tế, nó thường mang một nét rất sơ cấp 
 và lời giải rất đẹp. Một học sinh khi học hình học cần phải nắm được và vận dụng 
 tốt phần này.
 Học sinh cần nắm được cơ sở lý thuyết, nhìn nhận được việc sử dụng các tứ giác 
 nội tiếp một cách hợp lý. Đề tài này tập trung vào việc vận dụng kiến thức trong 
 các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy – là một dạng toán xuất hiện nhiều 
 trong các kì thi.
II. Nội dung
1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn. 
Định lý 1.1. Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM d . Một đường thẳng thay 
đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó MA.MB MO2 R2 d 2 R2 .
 Chứng minh:
 A Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB  AM 
 B hay B là hình chiếu của C trên AM. 
 O
M Khi đó ta có
         
 MA.MB MA.MB MC.MA MO OC MO OA
 C 
      2  2
 MO OA MO OA MO OA OM 2 OA2 d 2 R2
Định nghĩa 1.1. Giá trị không đổi MA.MB d 2 R2 trong 
THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương
 Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường 
 tròn bằng nhau.
 M
 Gọi H là hình chiếu của M trên O 1O2, I là trung 
 điểm của O1O2. Ta có: 
 P P MO2 R2 MO2 R2
 M / O1 M / O2 1 1 2 2
 2 2 2 2
 MO1 MO2 R1 R2
 O1 H O2
 2 2 2 2 2 2
 MH HO1 MH HO2 R1 R2
 2 2 2 2
 HO1 HO2 R1 R2
 2 2 2 2
 HO1 HO2 HO1 HO2 R1 R2 O2O1.2HI R1 R2
 R2 R2
 IH 1 2 1 
 O1O2
 Từ đây suy ra H cố định, suy ra M thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với 
 O1O2. 
 b) Phần đảo. 
 Các phép biến đổi trong phần thuận là phép biến đổi tương đương nên ta dễ dàng 
 có điều cần chứng minh.
 Vậy tập hợp những điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau 
 là đường thẳng đi qua điểm H (xác định như (1)) và vuông góc với O1O2. 
 b) Các hệ quả
 Cho hai đường tròn (O) và (I). Từ định lý 2.1 ta suy ra được các tính chất sau:
 1) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm. 
 2) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của 
 chúng.
 3) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M vuông 
 góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn.
THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương
 b) Các hệ quả. 
 1. Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
 2. Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng 
 hàng.
 3. Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng 
 phương trùng nhau.
 4. Cách dựng trục đẳng phương của hai đường tròn không cắt nhau:
 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) không cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương 
của hai đường tròn như sau:
 - Dựng đường tròn (O3) cắt cả hai đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại A, B và 
 C, D.
 - Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M
 - Đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của (O1) 
 và (O2). (Hình vẽ)
 M
 A
 C
 O1 O2
 O3
 D
 B
Các ví dụ. 
 Các ví dụ chỉ dừng ở việc ứng dụng trong các bài toán chứng minh đồng quy, 
 thẳng hàng. Ý tưởng chính là dùng 2 kết quả:
 + Các điểm có cùng phương tích với 2 đường tròn thì nằm trên 1 đường thẳng.
THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương
 2
 a) Ta có CA.CD CH CB.CE , suy ra 
 ADEB nội tiếp. Xét các đường tròn 
 (ADEB), (O) và đường tròn đường kính 
 C CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục 
 P
 D đẳng phương của các cặp đường tròn trên 
 E nên chúng đồng quy.
 Q
 b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) 
 A O H B M
 và (O) nên OC  PQ . Ta cũng dễ thấy 
 OD  DE . 
 Hơn nữa H chính là tâm đẳng phương của 
ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường kính CH. Suy ra PQ đi qua H. 
Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P, Q 
thẳng hàng.
Ví dụ 3 (VMO 2014): Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định. Cạnh BC cố 
định, A thay đổi trên (O). Trên các tia AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho MA = MC, NA = 
NB. Các đường tròn (AMN) và (ABC) cắt nhau tại A, P. Đường thẳng MN cắt BC tại Q.
 a) Chứng minh rằng A, P, Q thẳng hàng.
 b) Gọi D là trung điểm BC. Các đường tròn tâm M, N đi qua A cắt nhau tại K, A. 
Đường thẳng đi qua A vuông góc với AK cắt BC tại E. Các đường tròn (ADE) và (O) cắt 
nhau tại F, A. Chứng minh rằng AF đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
Giải
THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC không cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại 
B, C của (O) cắt nhau T, đường thẳng AT cắt lại đường tròn tại X. Gọi Y là điểm xuyên 
tâm đối của X trên (O). Các đường thẳng YB, XC cắt nhau tại P, các đường thẳng XB, YC 
cắt nhau tại Q.
a. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng.
b. Chứng minh các đường thẳng PQ, BC và AY đồng quy.
Giải
a. Do XY là đường kính của (O) nên Q· BY ·XBY 90o và P· CY ·XCY 90o .
Suy ra P· BQ P· CQ 90o , do đó tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn đường kính PQ.
Từ giả thiết dễ thấy YT là đường đối trung kẻ từ Y của tam giác YBC, suy ra P, Q, T thẳng 
hàng và T là trung điểm PQ.
 AB XB
b. Do tứ giác ABXC điều hòa nên AB.XC AC.XB 
 AC XC
 XB XP
Tứ giác BCQP nội tiếp nên XB.XQ XC.XP 
 XC XQ
Tứ giác ABCY nội tiếp nên ·ABY ·ACY ·ABP ·ACQ 
THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương
 P
 D
 J
 E O
 C I 2
 B
 O1
 A
 O
 S
Gọi O1,O2 ,I, J theo thứ tự là tâm của các đường tròn (ACE), (BCD),(PAOB), (PCO) 
Do tam giác PAO vuông tại O và I là trung điểm PO nên tam giác PIA cân, hay 
P· AI ·APO .
Mặt khác P· AO E· AO ·ACE ·ACB ·AOP ·APO P· AI 
 1 1 2 2 2
Do O1,I nằm về cùng phía với PA nên A,I,O1 thẳng hàng.
Suy ra O1 tiếp xúc với (I). Tương tự O2 tiếp xúc với (I). 
THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương
Suy ra cùng thuộc trục đẳng phương là đường thẳng của .
b) Gọi . Ta chứng minh cố định.
Vì thuộc là trục đẳng phương của nên 
Đẳng thức này chứng tỏ điểm cố định, vậy đường thẳng luôn đi qua một điểm cố 
định.
 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố 
 định sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A lên d thì A B.A C âm và không đổi. Gọi 
 M là hình chiếu của A’ lên AB. Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm 
 của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh 
 rằng K thuộc một đường thẳng cố định. 
 Giải
 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK và MN. 
 Ta thấy O chính là trung điểm của AA’.
 Gọi D và P là giao điểm của AA’ với (ABC) và MN. 
 2
 A Dễ thấy AM.AB AA AN.AC
 Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp. 
 ·AMN ·ACB
 N
 I · ·
 P Mà ADB ACB
 M
 Nên ·AMN ·ADB
 B A' C
 Suy ra MPDB nội tiếp. 
 D
 H K
THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định