Chuyên đề Ứng dụng phương pháp tọa độ hóa giải các bài tập hình học không gian - Hình học 12

 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG III 
 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG KHÔNG GIAN 
DẠNG 1. GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CÓ SẴN MÔ HÌNH TAM 
DIỆN VUÔNG 
 Phương pháp 
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp. Trong đó gốc tọa độ là giao điểm chung của ba 
đường đôi một vuông góc với nhau, các tia Ox,, Oy Oz lần lượt nằm trên ba đường đó. 
Bước 2: Xác định các toạ độ điểm toạ độ của các véc tơ có liên quan 
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết các bài toán có liên quan 
Loại 1. Hình chóp có đáy là tam giác 
 Ví DỤ 1 
 Cho tứ diện ABCD có AD ABC , AC AD 4 cm ; AB 3 cm ; BC 5 cm . Tính khoảng 
 cách từ A đến mặt phẳng BCD . 
Tam giác ABC có AB 3, AC 4, BC 5 nên tam giác vuông tại A . Do đó tứ diện 
có ba cạnh AB,, AC AD đôi một vuông góc. 
Chọn hệ trục như hình vẽ. Khi đó: ABCD 0;0;0 , 3;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4 
 x y z
Phương trình mặt phẳng BCD : 1 4 x 3 y 3 z 12 0 . 
 3 4 4
 4.0 3.0 3.0 12 12
Vậy d A, BCD . 
 16 9 9 34
 Ví DỤ 2 
 Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA OB OC a 
 Gọi M là trung điểm cạnh AB.Tính góc tạo bởi hai vectơ BC và OM . 
1 
 3 3
Ta có . 
 cos SBC , SCD cos n12 , n 
 3. 5 15
 Ví DỤ 4 
 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB 2, a CD DA a . Cạnh 
 bên SA 2 a và vuông góc với đáy ABCD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC . 
 S
 A B
 D
 C 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O 0;0;0, D a ;0;0, B 0;2;0, a S 0;0;2 a , thì C a; a ;0 
 2 2 2
Ta có BD a;2;0, a SC aa ;;2, aSB 0;2;2 a a , BD, SC 4 a ;2 a ;3 a , 
 BD, SC SB 3
 3 2 22aa
 BD,2 SC SB a , BD, SC 29 a . Suy ra d BD, SC 
 29a2 29
 BD, SC
 Ví DỤ 5 
 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB 2, a CD DA a . Cạnh 
 bên SA 2 a và vuông góc với đáy ABCD. Gọi M là trung điểm SD , G là trọng tâm tam giác 
 SBC . Tính thể tích khối tứ diện ACMG 
 S
 M
 G
 A B
 D
 C 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O 0;0;0, D a ;0;0, B 0;2;0, a S 0;0;2 a , thì C a; a ;0 
 a a2 a 
M ;0; a , G ; a ; . 
 2 3 3 
3 
 z
 S
 P
 N
 M
 A y
 D
 B
 x
 C
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 
 Ta có tọa độ các điểm A 0;0;0, B a ;0;0, D 0;2;0, a C a ;2;0, a S 0;0;3 a . 
 Suy ra SB a;0;3, aSD 0;2;3, aaSC aaa ;2;3 . 
 x a t
 Phương trình SB:0 y . 
 zt 3
 M a t;0; 3 t AM a t ;0; 3 t . 
 a 93aa
 Mà AM SB AM. SB 0 a t 9 t 0 t M ;0; . 
 10 10 10
 18aa 12
 Tương tự vậy ta tìm được N 0; ; . 
 13 13
 27a2
 Suy ra n AM, AN 1;2; 3 . 
 1 65
 Do đó ta có phương trình của AMN : x 2 y 3 z 0. 
 xt 
 Phương trình SC:2 y t nên tọa độ điểm P là nghiệm của hệ 
 z 33 a t
 xt 
 yt 2 9a 9 a 15 a 9 a 9 a 15 a
 x ,,;; y z P . 
 yt 2 14 7 14 14 7 14
 x 2 y 3 z 0
 27a2 27a2
 Ta có: AM, AP 1;2; 3 , AN, AP 1;2; 3 
 70 91
 2
 1 621 14.a 9a
 Suy ra SAMPN AM,, AP AN AP và d S, AMN . 
 2 1820 14
 1 9a 621 14. a23 1863. a
 Vậy V .. . 
 S. AMPN 314 1820 1820
 Ví DỤ 8 
5 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho OA , tia Ox chứa B , tia Oy chứa D và tia Oz chứa S . Khi đó: 
 a22 a a a 
 A 0;0;0, BaCaa ;0;0, ; 2;0, Da 0; 2;0, SaM 0;0; , 0; ;0, N ; ; . 
 2 2 2 2 
 a a2 a
 AB a;0;0 , AN ; ; . 
 222
Ta có IAM đồng dạng với ICB (góc-góc) 
 IC BC aa2
Suy ra: 22 IC IA . Từ đây tìm được I ; ;0 . 
 IA AM 33
 aa2 aa222
 AI ; ;0 , AN, AI ; ;0 . 
 33 66
 1 1aa33 2 2
Thể tích khối tứ diện ANIB là V AN,. AI AB  . 
 ANIB 6 6 6 36
 Ví DỤ 10 
 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA 2 và SA vuông góc với mặt 
 phẳng đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng 
 11
 SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng T khi thể tích khối chóp 
 AN22 AM
 S. AMCN đạt giá trị lớn nhất. 
 Lời giải 
7 
 Chọn hệ trục toa độ như hình vẽ. 
 Khi đó ta có: 
 A 0;0;0 , B 3;0;0 , C 0;4;0 , B' 3;0;2 . 
 Ta có: AB' 3;0;2, BC 3;4;0 . 
 AB'. BC 3. 3 0.4 2.0 9 13
 Khi đó : cos AB ', BC . 
 AB'. BC 32 0 2 2 2 . 3 2 4 2 0 2 65
 Ví DỤ 12 
 Cho hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C có mặt đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB 1, AC 3 
 và AB'2 . Gọi M là trung điểm của AC . Tính khoảng cách từ đến A' BC . 
 Bài giải 
 Chọn hệ trục toa độ như hình vẽ. 
 Ta có: AA' A ' B2 AB 2 2 2 1 2 3 . 
 2
 BC AC22 AB 3 1 2 . 
 Khi đó ta có: 
 21
 B 0;0;0 , A 0;1;0 , C 2 ;0;0 , A' 0;1; 3 , M ; ;0 . 
 22
9 
 Cho hình lăng trụ đứng với đáy ABC là tam giác vuông tại C có AB 8 cm , 
 BAC 600 , diện tích tam giác A'' CC là 10cm2 . Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng C AB và 
 ABC . 
 Bài giải 
 BC
 Ta có : sin 60o BC ABsin 60o 4 3 . 
 AB
 A' C ' AC AB22 BC 4. 
 ABC.''' A B C
 1 2S
 S CC'. A ' C ' CC '5 A'' CC . 
 A'' CC 2 AC''
 Chọn hệ trục toa độ như hình vẽ. 
 Khi đó ta có : C 0;0;0 , A 0;4;0 , B 4 3;0;0 , C' 0;0;5 . 
 Ta có : ABC  Oxy Phương trình ABC là z 0. 
 Lại có CA' 0;4; 5 , CB' 4 3;0; 5 . 
 CACB'  ' 20;203;163 45;53;43 . 
 Suy ra ()C AB có VTPT là n 5;5 3;4 3 và ABC có VTPT là n 0;0;1 
 nn. 23
 Khi đó cos C AB , ABC . 
 nn 37
 1 5 3
 Mà: 1 tan2 tan C AB , ABC . 
 cos2 6
Loại 5. Lăng trụ đứng tứ giác 
 Ví DỤ 15 
 Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh bằng a . 
11