Chuyên đề Ứng dụng hệ thức Viet giải bài toán về số phức - Đại số 12

 Giải tích 12| 
 Giải tích 12. 
CHƯƠNG 
BÀI : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ CÁC ỨNG DỤNG 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 = Định lý Vi- ét: 
 =
 2
 I Phương trinh bậc hai az bz c 0 ( a 0) với hệ số thực trên tập số phức luôn có hai 
 b
 S z z 
 12 a
nghiệm z12,z . Ta có hệ thức Vi-ét : 
 c (*) 
 Pz .z
 12 a
 Chú ý:  Với là nghiệm phức của một phương trình bậc hai thì ta có 
 - là hai số phức liên hợp. 
 - z12 z . 
  Nếu hai số thỏa mãn z1 z 2 S, z 1 .z 2 P thì là nghiệm của phương 
 z2 Sz P 0
trình bậc hai 
 Ví DỤ 1 
Tìm 2 số phức zz12, sao cho tổng và tích của hai số đó lần lượt bằng 6 và 13. 
 Lời giải 
 zz12 6
 Ta có hệ thức 
 zz12. 13
 2 zi1 32
 Vậy là nghiệm của phương trình bậc hai zz 6 13 0 . 
 zi2 32
 Ví DỤ 2 
 2
Kí hiệu zz12, là hai nghiệm phức của phương trình z az b 0 , với ab, là các số thực thuộc 
đoạn  1;1. Tìm giá trị lớn nhất của zz12 . 
 Lời giải 
 Xét 1 , ab2 4 với ab,  1;1 . 
1 | Giải tích 12| 
 zz
 P 12 
 zz21
 Lời giải 
 3
 zz12 
 2 2
 2zz 3 3 0 có hai nghiệm z1 , z2 suy ra . 
 3
 zz. 
 12 2
 3
 22 2
 zz zz 2 zz 3
 Ta có P 12 1 12 22 4 . 
 3
 z2 z 1 z 1.2 z 2 z 1 z 2
 2
 Ví DỤ 6 
 2 11
 Gọi , là hai nghiệm phức của phương trình 2zz 3 4 0 . Tìm số phức w iz12 z . 
 zz12
 Lời giải 
 3
 Theo định lý Viét ta có zz , zz 2 . 
 122 12
 zz12 3
 Do đó iz12 z 2i . 
 zz12 4
 Ví DỤ 7 
Gọi zz12, là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức 
 22
 P z12 z . 
 Lời giải 
 Cách1: Phương trình có hai nghiệm 
 3 21 3 21
 z i; z i 
 124 4 4 4
 22
 3 21 3 21 9
 Suy ra biểu thức P z22 z i i . 
 12 
 4 4 4 4 4
 9
 Vậy P . 
 4
 3
 zz12 
 2
 Cách 2: Áp dụng định lý Viet cho phương trình: . Ta có: 
 3
 zz. 
 12 2
3 | Giải tích 12| 
 Giải : 
 Với m 0 . Phương trình trên tập số phức luôn có hai nghiệm xx12, . 
 Theo định lí Vi- et , ta có : 
 2m 3 3 12
 x x x x 2 4 x x 8 
 1 2m 1 2 m 1 2 m
 . (*) 
 m 4 4 12
 x. x x . x 1 3 x . x 3 
 1 2m 1 2 m 1 2 m
 Từ (*) suy ra 4 x1 x 2 3 x 1 . x 2 11 
 Vậy ta có hệ th ức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m là 
2 x1 x 2 3 x 1 . x 2 1 mới mọi . 
5 |