Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Đại số 12

 Giải tích lớp 12 | 
 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ 
 1 
 KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 CHƯƠNG
 BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
 I LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa 
Cho hàm số y f() x xác định trên K với K là một khoảng. 
 y f() x
+) Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x 2 K , x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ). 
 y f() x
+) Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x 2 K , x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ). 
+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. 
2. Định lý 
Cho hàm số y f() x có đạo hàm trên khoảng K. 
+) Nếu f( x ) 0, x K và fx( ) 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng 
biến trên khoảng . 
+) Nếu f( x ) 0, x K và xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số 
nghịch biến trên khoảng . 
3. Lưu ý: 
+) Nếu hàm số y f() x liên tục trên đoạn [;]abvà f'( x ) 0, x ( a ; b ) thì ta nói hàm số đồng 
biến trên đoạn [ab ; ]. 
+) Nếu hàm số liên tục trên đoạn và f'( x ) 0, x (a; b ) thì ta nói hàm số nghịch 
biến trên đoạn 
+) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng. 
 PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
 Xét tính đơn điệu của hàm số y f() x trên tập xác định 
Bước 1:Tìm tập xác định D. 
Bước 2 :Tính đạo hàm y f() x . 
Bước 3 :Tìm nghiệm của fx () hoặc những giá trị x làm cho fx () không xác định. 
 1 | Giải tích lớp 12 | 
 Câu 3 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định D . 
 2
Ta có: y x2 10 x 26 x 5  1 0, x . 
Hàm số nghịch biến trên khoảng ; . 
 Câu 4 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định . 
 2
Ta có: y x2 6 x 9 x 3 0,  x . 
Hàm số đồng biến trên khoảng . 
 Câu 5 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định D . 
 32 x 0
Ta có y 4 x 4 x 4 x x 1 ; y 0 . 
 x 1
Bảng biến thiên: 
Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1; . 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 0; 1 . 
 Câu 6 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định . 
Ta có y 4 x32 8 x 4 x x 2 . 
yx 00 . 
 3 | Giải tích lớp 12 | 
 2 .7 1.3 17
Ta có y 0;  x D . 
 xx 77 22 
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ;7 và 7; . 
 Câu 10 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: . 
 Lời giải 
 xx2 45 
Tập xác định D \ 2. Ta có: y . 
 x 2 2
 xx2 45 x 5
 2 . 
y' 0 2 0 x 4 x 5 0 
 x 2 x 1
Bảng biến thiên 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;5 và 1; . 
 Câu 11 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số . 
 Lời giải 
 xx2 2 x 2
Tập xác định : D \ 1 . Ta có: yy 2 '0 .
 x 1 x 0 
Bảng biến thiên : 
 5 | Giải tích lớp 12 | 
 Câu 14 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định D \2 . 
 x 4
Ta có y ; yx 0 4 0 x 4. 
 x 2 3
Bảng biến thiên: 
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 4;2 , nghịch biến trên các khoảng ;4 và 2; . 
 Câu 15 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định D . 
 2
 xx 23 2 x 1
Ta có ; y 0 x 2 x 3 0 . 
 y 2 
 xx2 2 x 3
Bảng biến thiên: 
Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 , nghịch biến trên các khoảng ;1 và 3; . 
 Câu 16 
 [Mức độ 1] Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số . 
 Lời giải 
 7 | Giải tích lớp 12 | 
 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và ; . 
 2 62
 Hàm số đồng biến trên khoảng 0; . 
 6
 Câu 19 
 [Mức độ 2] Cho hàm số với hai số thực sao cho . Hãy so 
 sánh với ? 
 Lời giải 
Xét hàm số: y x32 x 8 x cos x có: 
Tập xác định D . 
 2
 2 1 23
y 3 x 2 x 8 sin x 3 xx sin . 
 33
Nhận xét: y 0 với mọi số thực x nên hàm số đồng biến trên ; . 
Vậy với hai số thực ab, sao cho ab thì f a f b . 
 Câu 20 
 [Mức độ 2] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 
 . 
 Lời giải 
Tập xác định D . 
 11nÕu x 
y 4x 2 nÕu 1 x 2 . 
 32nÕu x 
 1
yx 0 1;2 . 
 2
 9 | Giải tích lớp 12 | 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 1;1 và 3; , nghịch biến trên các khoảng ;1 và 
 1;3 . 
b) Tập xác định . 
 x2 6 nÕu x 1 hoÆc x 3
Ta có y x2 4 x 3 4 x 3 . 
 2
 x 8 x nÕu 1 x 3
 2x nÕu x 1 hoÆc x 3
y 
 2x 8 nÕu 1 x 3 
yx 00 . 
Bảng biến thiên: 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; và nghịch biến trên khoảng ;0 . 
 Câu 22 
 [Mức độ 2] Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: 
 . 
 Lời giải 
Tập xác định: D= 1;8. 
 1 1 7 2x
y 
 2xx 1D 2 8 xx 1 . 8 
 11
 72 x . 
 2x 1. 8 x . x 1 8 x 2xx 1 8
 7
yx'0 . 
 2
Bảng xét dấu y ' : 
 11 | Giải tích lớp 12 | 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; và nghịch biến trên khoảng ;1 . 
 Câu 25 
 [Mức độ 2] Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ? 
 Lời giải 
Tập xác định D  1; . 
 1 5xx2 22
y x2 x 20 x 1 2 x 1 . 
 21x 21x 
 11
 x 
y 0 5 x2 x 22 0 5 . 
 x 2
Bảng xét dấu y : 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 2; và nghịch biến trên khoảng 1;2 . 
 Câu 26 
 [Mức độ 2] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số . 
 Lời giải 
Tập xác định D  2; . 
 1
Ta có: y x2 2 x 3 2 x 2 . x 2 
 22x 
 x2 2 x 3 2 2 x 2 x 2 5xx2 14 11
 0, x 2 . 
 22x 22x 
Vậy hàm số y x 2 x2 2 x 3 đồng biến trên khoảng 2; . 
 13 |