Chuyên đề Ứng dụng của tích phân- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (Phần 1) - Đại số 12

 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN- CÓ GIẢI CHI TIẾT 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Diện tích hình phẳng 
 a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f() x liên tục trên đoạn ab; , 
 b
 trục hoành và hai đường thẳng xa, xb được xác định: S f() x dx 
 a
 y f() x
 y f() x
 b
 y0 S f() x dx
 ()H 
 a
 xa 
 c c
 2 3 xb 
 b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f() x , y g() x liên tục trên đoạn 
 b
 ab; và hai đường thẳng xa, xb được xác định: S f()() x g x dx 
 a
 y
 ():()C11 y f x
 ()C1 
 ():()C y f x
 ()H 22
 xa 
 ()C
 2 
 xb 
 b
 a c x S f12()() x f x dx
 O 1 c2 b 
 a
 Chú ý: 
 bb
 - Nếu trên đoạn [;]ab , hàm số fx() không đổi dấu thì: f()() x dx f x dx 
 aa
 - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối 
 - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g() y , x h() y và hai đường 
 d
 thẳng yc, yd được xác định: S g()() y h y dy 
 c
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay 
 a) Thể tích vật thể: 
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a 
 và b; Sx() là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox 
 tại điểm x , ()a x b . Giả sử Sx() là hàm số liên tục trên đoạn [;]ab . I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
Những điểm cần lưu ý: 
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới 
 b
hạn bởi các đường y f( x ), y g ( x ), x a , x b là S f()() x g x dx . 
 a
Phương pháp giải toán 
+) Giải phương trình f( x ) g ( x ) (1) 
 b
+) Nếu (1) vô nghiệm thì S f()() x g x dx . 
 a
+) Nếu (1) có nghiệm thuộc . ab; . giả sử thì 
 b
S fx()()()() gxdx fx gxdx 
 a
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f()() x g x trên đoạn a; b rồi dựa vào bảng xét dấu 
để tính tích phân. 
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi các đường y f( x ), y g ( x ) là S f()() x g x dx . Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất 
và lớn nhất của phương trình f()() x g x ab. 
Phương pháp giải toán 
 Bước 1. Giải phương trình f()() x g x tìm các giá trị , . 
 Bước 2. Tính S f()() x g x dx như trường hợp 1. 
Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f() x ,
 y g() x liên tục trên [ab ; ] và hai đường thẳng xa, xb ()ab là: 
 b b
 A. S f()(). x g x dx . B. S( f ( x ) g ( x )) dx . 
 a a
 b b
 C. S( f ( x ) g ( x ))2 . dx . D. S f()(). x g x dx . 
 a a
Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ab ; ] 
 trục hoành và hai đường thẳng x a, x b a b cho bởi công thức: 
 b b b b
 A. S f x dx. B. S f x dx. C. S f x dx. D. S f2 x dx. 
 a a a a Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số yx3 , trục hoành và hai 
 đường thẳng x 1, x 3 là 
 A. 19 B. 18 C. 20 D. 21 
Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số yx , trục hoành và hai 
 đường thẳng x 1, x 4 là 
 14 13 14
 A. 4 B. C. D. 
 5 3 3
Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số yx3 , trục hoành và hai 
 đường thẳng x 1, x 8 là 
 45 45 45 45
 A. B. C. D. 
 2 4 7 8
Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số yxsin , trục hoành và hai 
 3
 đường thẳng x , x là 
 2
 1 3
 A. 1 B. C. 2 D. 
 2 2
Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số yxtan , trục hoành và hai 
 đường thẳng x , x là 
 6 4
 3 6 3 6
 A. ln B. ln C. ln D. ln 
 3 3 3 3
Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ye2x , trục hoành và hai 
 đường thẳng x 0, x 3 là 
 e6 1 e6 1 e6 1 e6 1
 A. B. C. D. 
 22 22 33 33
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x323 x , trục hoành và 
 hai đường thẳng x 1, x 4 là 
 53 51 49 25
 A. B. C. D. 
 4 4 4 2
Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4234 x , trục hoành và 
 hai đường thẳng x 0, x 3 là 
 142 143 144 141
 A. B. C. D. 
 5 5 5 5
 x 1
Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y , trục hoành và 
 x 2
 đường thẳng x 2 là Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x3 4 x , trục hoành và hai đường 
 thẳng xx 3, 4 là 
 202 203 201 201
 A. B. C. D. 
 3 4 5 4
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xln x , trục hoành và đường 
 thẳng xe là 
 e2 1 e2 1 e2 1 e2 1
 A. B. C. D. 
 2 2 4 4
Câu 29. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 x2, y x 2 và hai 
 đường thẳng xx2; 3. Diện tích của (H) bằng 
 87 87 87 87
 A. B. C. D. 
 5 4 3 5
Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y1 ex x , y 1 e x . 
 Diện tích của (H) bằng 
 e 1 e 2 e 2 e 1
 A. B. C. D. 
 2 2 2 2 
 II –HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ,
 liên tục trên và hai đường thẳng , là: y f() x
 A.y g() x [ab. ; ] B. xaxb()ab. 
 b b
 S f()(). x g x dx S( f ( x ) g ( x )) dx
 C. a . D. a . 
 b b
 S( f ( x ) g ( x ))2 . dx S f()(). x g x dx
Câu 2. Diện tícha S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàma số , liên tục trên 
 trục hoành và hai đường thẳng cho bởiy công f x thức: [ab ; ]
 A. B. x a , x bC. a b D. 
 b b b b
 S f x dx. S f x dx. S f x dx. S f2 x dx.
 32
Câu 3. Diện tícha hình phẳng giới haạn bởi các đường ya x11 x 6, y 6 x , xxa 0, 2 . (Đơn 
 vị diện tích)