Chuyên đề Ứng dụng của dấu tam thức bậc hai - Toán 10

 CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA DẤU TAM THỨC BẬC HAI
 A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Việc giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình trong chương trình học lớp 10 nĩi 
riêng và lớp 11,12, ơn thi đại học nĩi chung rất phức tạp, tuy nhiên ta cĩ thể đưa về tam thức bậc hai hoặc 
sử dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bài tốn sẽ đơn giản hơn nhiều, vì những lí do đĩ tơi soạn 
chuyên đề Tam thức bậc hai và một số ứng dụng. 
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
 Mục đích viết chuyên đề này nhằm giúp cho các em học sinh cĩ thể xét dấu được tam thức bậc 
hai, giải được một số phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình bằng cách sử dụng dấu của 
tam thức bậc hai hoặc đưa về tam thức bậc hai để giải.
Ưu điểm:
 Định lí về dấu của tam thức bậc hai ngắn gọn dễ hiểu dễ nhớ.
Khuyết điểm:
 Các dạng tốn rất đa dạng nên học sinh dễ nhằm lẫn.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
 Tốn 10-tập 2-Sách kết nối tri thức với cuộc sống
 B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
 1/ Định nghĩa tam thức bậc hai:
 Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax 2+bx+c trong đĩ a, b, c là những số cho trước 
với a 0.
 2/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
 Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a 0)
 -Nếu <0 ' 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc ¡ .
 b
 -Nếu = 0 ' 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x .
 2a
 '
 -Nếu >0 0 thì f(x) cĩ hai nghiệm x1 và x2 (x1<x2). Khi đĩ f(x) trái dấu với hệ số a với mọi 
x nằm trong khoảng(x1;x2) ( tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngồi đoạn x1; x2 ( 
tức là x < x1 hoặc x < x2).
 Với b2 4ac ' (b' )2 ac 
 Ví dụ 1: f(x)= x2-x+1>0 x ¡ vì tam thức f(x) cĩ = - 3 0
Cĩ thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:
 x - + 
 x2-x+1 +
 Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3
 Giải 
 Vì a=-1<0 và tam thức f(x) cĩ hai nghiệm x1=-3 ; x2= 1 ( dễ thấy x1 < x2) nên
 f(x) 0 (trái dấu với a) khi x 3;1 .
 Cĩ thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau: 1/f(x) = (m-1)x2 + (2m+1)x + m + 1 
2/f(x) = - x2 + 2m 2 x - 2m2 - 1 
3/f(x) = (m-2)x2 - 2(m-3)x + m - 1 
Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luơn dương với mọi x thuộc ¡
1/f(x) = (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1 
1/f(x) = (m+1)x2 + 2(m+2)x + m + 3
 2/Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn 
 dưới mẫu.
 Cách giải: 
 - Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình 
 kết luận nghiệm
 - Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đĩ lại với nhau, 
 dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm.
 - Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng 
 P x P x P x P x 
 , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất 
 0; 0; 0; 0 
 Q x Q x Q x Q x 
 phương trình kết luận nghiệm
 Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
1/ - x2 + 2x + 3 < 0
2/ x2 + 2x + 1 > 0
3/ - x2 + 2x – 6 > 0
 2x2 16x 27
4/ 2
 x2 7x 10
5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12 ) < 0
 Giải
1/ - x2 + 2x + 3 < 0
 2 
Ta cĩ: - x + 2x + 3 = 0 cĩ hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1<0
Bảng xét dấu:
 x - -1 3 + 
 vt - 0 + 0 - 
Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= ; 1  3; 
2/ x2 + 2x + 1 > 0
Ta cĩ: x2 + 2x + 1 =0 cĩ nghiệm kép x = -1, a=1>0
Bảng xét dấu:
 x - -1 + 3/ - 2x2 + x – 1 > 0
4/- 3x2 + 2x < 0
5/ x2 – 4 > 0
6/ - 2x2 – 1 > 0 
 x2 16x 27
7/ 0
 x2 7x 1
8/ (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 0
 x2 1x 7
9/ 3
 x2 x 1
 1 1
10/ 
 x2 x 1 x2 7x 10
 3/Giải hê bất phương trình .
 Cách giải: 
 Giải từng bất phương trình sau đĩ giao nghiệm lại.
 Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau
 3x2 7x 2 0
 2
 2x x 3 0
 Giải
 1 
 Bất phương trình thứ nhất cĩ tập nghiệm là S1= ;  2; 
 3 
 3 
 Bất phương trình thứ hai cĩ tập nghiệm là S2= 1; 
 2 
 1 
 Tập nghiệm của hệ là S S1  S2 1; 
 3 
4/ Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vơ nghiệm
 Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vơ nghiệm
 (m-2)x2+2(m+1)x+2m > 0
 Giải 
 Đặt f(x)=(m-2)x2+2(m+1)x+2m 
 Để bất phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi f(x) 0 x ¡
 Với m = 2 ta cĩ f(x)=6x+4. Khi đĩ f(x) nhận cả các giá trị dương
 Giá trị m=2 khơng thỏa mãn điều kiện địi hỏi
 Với m 2 ta cĩ:
 a 0 m 2 0 m 2
 f x 0,x R m 3 10 Vậy bất 
 ' 2 
 0 m 6m 1 0 m 3 10 hoặcm 3 10
phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi m 3 10
 Bài tập áp dụng
 Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau
 3x 3 3x 4
a/ 2
 x 7x 10 0 2/ 3x2 24x 22 2x 1
 Giải
1/ | x2 - 8x + 15| = x - 3
 x 3 0 x 3 0
 I hoặc II
 2 2 
 x -8x+15=x-3 x -8x+15=-x+3
 x 3
 x 3 x 3
Hpt I trởthành: 
 2 x 3 
 x -9x+18=0 x 6
 x 6
 x 3
 x 3 x 3
Hpt II trởthành: 
 2 x 3 
 x -7x+12=0 x 4
 x 4
Vậy phươngtrìnhcó3nghiệm S 3;4;6
2 / 3x2 24x 22 2x 1
 1
 1 x 
 2x 1 0 x 2
 2 x 21
 2 2 x 1
 3x 24x 22 4x 4x 1 2 
 x 20x 21 0 
 x 21
 Vậy phươngtrìnhcónghiệm x 21
Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau:
1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8
2/ x2 4x x 3
3/ x2 2x 15 x 3
 Giải
1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8
 x2 3x 4 0 x2 3x 4 0
 I hoặc II
 2 2 
 x 3x 4 x 8 x 3x 4 x 8
 x 4  x 1
Hệ pt I x 4  x 1 S ; 4  1; 
 2 1   
 x 2x 4 0x
 4 x 1 4 x 1
Hệ pt II 4 x 1 S 4;1
 2 2 
 x 4x 12 0 6 x 2
Vậy bất phươngtrìnhcónghiệm S S1  S2 ¡
2/ x2 4x x 3 Bác Việt cĩ một tấm lưới hình chữ nhật dài 20 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặ
t áp bên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau.
Câu hỏi: Hai cột gĩc hàng rào (H.6.8) cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét để mảnh vườn được 
rào chắn cĩ diện tích khơng nhỏ hơn 48m2 . 
 Ví dụ 2.Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320m
 với vận tốc ban đầu v0 20m / s . Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đĩ cách mặt đất khơng
 quá 100m ? Giả thiết rằng sức cản của khơng khí là khơng đáng kể.
Ví dụ 3.Xét đường trịn đường kính AB 4 và một điểm
 M di chuyển trên đoạn AB , đặt AM x (hình vẽ). Xét hai đường
 trịn đường kính AM và MB . Kí hiệu S x là diện tích phần hình 
phẳng nằm trong hình trịn lớn và nằm ngồi hai hình trịn nhỏ. Xác
 định các giá trị của x để diện tích S x khơng vượt quá một nửa
 tổng diện tích hai hình trịn nhỏ.