Chuyên đề Tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 
TỶ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA 
 DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
 3 
 CHUYÊN ĐỀ: 
 TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU 
 A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức 
 a) Định nghĩa: 
 a c
 Tỉ lệ thức l| đẳng thức của hai tỉ số 
 b d
 Tỷ lệ thức còn được viết: a : b = c : d 
 Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng của tỷ lệ thức; 
 - a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ; 
 - b v| d l| c{c số hạng trong hay trung tỉ; 
 b) Tính chất 
 - Tính chất 1 (tính chất cơ bản) 
 ac
 Nếu thì ad = bc 
 bd
 - Tính chất 2 (tính chất ho{n vị) 
 Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c 0 thì ta có c{c tỉ lệ thức: 
 a c a b d c d b
 ; ; ; 
 b d c d b a c a
 2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 
 a c a c a c
 + Từ tỉ lệ thức ta suy ra b d 
 b d b d b d
 a c e
 + Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau 
 b d f
 a c e a c e a c e
 ta suy ra .... 
 b d f b d f b d f
 (giả thiết c{c tỉ số đều có nghĩa) 
 3.Chú ý: 
 a b c
 + Khi có dãy tỉ số ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 
 2 3 5
 2:3:5. 
 5 
 x 3 1 5 5
 Do đó: 6 x 3 5 x 3 x 3 
 5 6 6 6
 c) 
 Cách 1: Ta có: x 2 x 4 2 x x 4
 Cách 2: Từ 
 xx 24 x 1 x 7 1 x x 7
 xx 17 Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta 
 x 2 x 7 x 1 x 4 có : 
 x22 7 x 2 x 14 x x 4 x 4 2 xx 4 24 xx 6 3
 5xx 14 3 4 1 x x 7 1 x x 7 8 4
 5xx 3 4 14
 Do đó: 
 2x 10
 23 x
 x 5 4 2 x 3 1 x 8 4 x 3 3 x
 14 x
 4x 3 x 8 3 x 5
 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết 
 x y z
 Dạng 1 : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn : (1) 
 a b c
 và x + y + z = d (2) 
 (trong đó a, b, c, a + b + c ≠ 0 v| a, b, c, d l| c{c số cho trước) 
 Cách giải: 
 x y z
 - Cách 1: Đặt k x ka,., y k b z kc 
 a b c
 d
 Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d k a b c d k 
 abc 
 a. d bd cd
 Từ đó tìm được x ;; y z 
 a b c a b c a b c
 - Cách 2: {p dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 xyzxyz d ad bd cd
 xy ; ;z 
 abcabcabc abc abc abc 
 c)Ví dụ minh họa: 
 7 
 x y z
 Dạng 2 : Cho x, y, z thoả mãn : (1) 
 a b c
 và x + y + z = d (2) 
 Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta được c{c b|i to{n phức tạp hơn. 
 C{c c{ch điến đổi thường gặp: 
 + Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau: 
 k x k y k z e
 * 1 2 3 
 2 2 2
 * k1 x k 2 y k 3 z f 
 * x.y.z = g 
 + Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau: 
 x y y z
 ;
 - 
 a1 a 2 a 3 a 4
 - a2 x a 1 y; a 4 y a 3 z 
 - b1 x b 2 y b 3 z 
 b x b zb y b x b z b y
 - 1 3 21 3 2 
 a b c
 x b y b zb 
 - 1 2 2 33 
 a1 a 2 a 3
 +Thay đổi cả hai điều kiện. 
 Thí dụ 1. Tìm x , y, z biết rằng: 
 x y z
 a) và 2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = 14 
 2 3 4 
 Hướng dẫn giải 
 x y z
 a) Cách 1: Đặt = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k. 
 2 3 4
 Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21 
 4k 9 k 20 k 21 7 k 21 k 3 
 Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 
 9 
 Do đó: 
 x2
 4 xx2 36 6
 9
 y2
 4 yy2 64 8
 16 
 z2
 4 zz2 100 10
 25
 Vậy x = 6, x = 8, z = 10 hoặc x = -6, y = -8, z = -10. 
 Thí dụ 3. Tìm x , y, z biết rằng: 
 a b c 40 20 28
 a) và x.y.z = 648 b) và x.y.z = 22400 
 2 3 4 x 30 y 15 z 21
 Hướng dẫn giải 
 a) Cách 1: Đặt = k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k. 
 Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648 
 648
 24k33 648 k 27 k 3 
 24
 Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 
 Cách 2: Từ 
 3
 x x y z xyz 648
   27
 2 2 3 4 24 24 
 x3
 27 xx3 216 6
 8
 Từ đó tìm được y = 9; z = 12. 
 x 30 y 15 z 21 x 3 y 3 z 3 x y z
 b, Từ giả thiết suy ra : 
 40 20 28 40 4 20 4 28 4 40 20 28 
 xk 40
 x yx z y z 
 Đặt : k yk20
 40 20 282 3 4 
 zk 28
 Mà: x. y . z 22400 40 k . 20 k . 28 k 22400 22400 k 22400 k 1 
 11 
 3x 25 1 47
 3x 25 72 3 x 47 x .
 144 2 3
 2y 169 1 25 363
 2yy 169 
 25 2 2 4
 z 144 1 169 119
 zz 144 
 169 2 2 2 
 b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 
 634336634336xzyzzxxzyzzx 
 0
 5 7 9 5 7 9
 6x 3 z ;4 y 3 z ;3 z 6 x
 6x 4 y 3 z x y z
 Từ 6x = 4y = 3z 
 12 12 12 2 3 4
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 2x 3 y 5 z 2 x 3 y 5 z 14
 2x 4; y 6; z 8 
 4 9 20 4 9 20 7
 Nhận xét: Các dạng toán vận dụng tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau luôn rất phong 
 phú và đa dạng, ở trên mình chỉ trình bày một số dạng thông thường được giao, ở nhiều bì toán 
 chúng ta cần vận dụng kiến thức một cách linh hoạt để giải tốt các bài toán. Sau đâu sẽ là một số 
 bài toán hay và khó: 
 PHẦN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 
 ac xm
 Bài toán: Cho tỷ lệ thức . Cần chứng minh tỷ lệ thức , ta thường làm các 
 bd yn
 phương pháp sau: 
 Phương pháp 1. Chứng tỏ rằng : ad = bc . 
 ac xm
 Phương pháp 2: Đặt k l| gi{ trị chung của c{c tỷ số ; . Tính c{c tỷ số , theo k. 
 bd yn
 Phương pháp 3: Dùng biến đổi đại số v| tính chất của dãy tỷ số bằng nhau để từ tỷ lệ thức đã 
 cho biến đổi dần th|nh tỷ lệ thức phải chứng minh. 
 Phương pháp 1. Chứng tỏ rằng : ad = bc .