Chuyên đề Tứ giác Toán Lớp 8

 TỨ GIÁC 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào 
cũng không nằm trên một đường thẳng. 
* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào 
của tứ giác. 
* Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi. 
a) Tứ giác lồi b) Tứ giác không lồi 
a) Tứ giác không lồi b) Không phải tứ giác 
* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600. 
* Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN 
Dạng 1. Tính số đo góc 
Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học về 
tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu... để tính ra số đo các góc. 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD biết ABC:  : : D = 4: 3: 2 :1 . 
a) Tính các góc của tứ giác ABCD. c) AB // CD. 
Bài 9. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của E và F cắt nhau tại 
I. Chứng minh 
 ABC AD C
a) EIF ; 
 2
b) Nếu BAD 1300 và BCD 500 thì IE IF. 
HƯỚNG DẪN 
 Bài 1. a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 
 A 1440 , B 108 0 , C 72 0 , D 36 0 
 b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được 
 CED 1260 . 
 Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi góc 
 của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với 
 tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được 
 CFD 540 
 Bài 2. HS tự chứng minh: 
 D 500 , C 100 0 
 Bài 3. 
 a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam 
 giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác 
 OAB, OBC,OCD và ODA. 
 b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa 
 chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a). 
 Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu 
 vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong 
 một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các 
 tam giác ABC, ADC, ABD và CBD. 
 Bài 4. 0
 DFC có F 180 ( DC 1 ); 
 0
 EF  360 (2 DAC 1 1 ) 
 ABCD1 1 1 (2 DAC  1 1 ) BD 1  ; 
 B D DB 
 Thay vào (1) được EIF D 1 1
 2 2
 (ĐPCM) 
 b) Áp dụng a). 
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
Dạng 1.Tính số đo góc 
Bài 1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong 
tại hai đỉnh còn lại. 
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB  220  . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K. 
Tính số đo của góc CKD. 
Bài 3. Tứ giác ABCD có AC  . Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song 
song với nhau hoặc trùng nhau. 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có AD DC CB ; C 130  ; D 110  . Tính số đo góc A, góc B. 
Dạng 2.So sánh các độ dài 
Bài 5. Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? 
Bài 6. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB 3; BC 6,6; CD 6 . Tính độ dài 
AD. 
Bài 7. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn 
chu vi của tứ giác. 
Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào 
cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14. 
Bài 9. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng 
S a b c d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác 
bằng nhau. HƯỚNG DẪN 
Bài 1. Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau (h.1.5) 
Gọi C1 , D1 là số đo hai góc trong; D2 , D2 là số đo hai góc ngoài tại 
hai đỉnh kề nhau là C và D. Ta có: 
CD2  2 180  C 1 180  D 1 360  CD 1  1 . (1) 
Xét tứ giác ABCD có: AB  360  CD1  1 . (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: C2 D 2  AB . 
 Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh đối nhau (h.1.6) 
Chứng minh tương tự, ta được A2 C 2 BD  
Bài 2. (h.1.7) 
Ta có: CDx DCy  A B 220  . (bài 1.1). 
 CDx CDy 
 110 . Do đó D2 C 2 110  . 
 2
Xét CKD có: CKD 180  DC2  2 180  110   70 
Bài 3. (h.1.8) 
Xét tứ giác ABCD có: BD  360   AC  360  2 C . 
Vì B1 B 2 , D1 D 2 nên BD1  1 180  CBDC  1 1  180  . 
(1) 
Xét BCM có B1 M 1 C 180  . (2) 
Từ (1) và (2) suy ra D M . Do đó DN // BM . 
 1 1 
Bài 4. (h.1.9) 
Vẽ đường phân giác của các góc C và D chúng cắt nhau tại E. Bài 7. (h1.12) 
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. 
Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Vận dụng 
bất đẳng thức tam giác ta được: 
OA OB aOC; OD c . 
Do đó OA OC OB OD a c hay AC BD a c . (1) 
Chứng minh tương tự, ta được: AC BD d b . (2) 
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được: 
 a b c d
2 AC BD a b c d AC BD 
 2
Xét các ABC và ADC ta có: AC a b; AC c d 
 2AC a b c d . (3) 
Tương tự có: 2BD a b c d . (4) 
Cộng từng vế của (3) và (4) được: 2 AC BD 2 a b c d 
 AC BD a b c d . 
Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh. 
Bài 8. Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ: 
Cho ABC , A 90  . Chứng minh rằng BC2 AB 2 AC 2 . 
 Giải (h.1.13). 
Vẽ BH AC . Vì A 90  nên H nằm trên tia đối của tia AC. 
Xét HBC và HBA vuông tại H, ta có: 
BC2 HB 2 HC 2 AB 2 HA 2 HA AC 2 
 AB2 HA 2 HA 2 AC 22 HAAC . AB 2 AC 2 2 HAAC . . 
Vì HA. AC 0 nên BC2 AB 2 AC 2 ( dấu “=” xảy ra khi H A tức là 
khi ABC vuông). S c S pc p N (3) 
S d S qd q N (4) 
Từ (4) và (*) qd 2 d do đó q 2 . 
Vì a b c d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra m n p q 2 . 
Do đó q 3; p 4; n 5; m 6 . 
 1a 1 b 1 c 1 d
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra ;;; . 
 m S n S p S q S
 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c d
Ta có: 1. 
 6 5 4 3 m n p q S
 19
Từ đó: 1, vô lí. 
 20
Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau. 
Bài 10. Coi mỗi người như một điểm, ta có chín điểm A, B, C, 
Nối hai điểm với nhau ta được một đoạn thẳng. Ta tô màu xanh nếu hai người không quen nhau, ta tô 
màu đỏ nếu hai người quen nhau. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tứ giác có các cạnh và đường chéo cùng 
tô màu đỏ. 
 Trường hợp có một điểm là đầu mút của bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt 
(h.1.17) 
Xét ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ vì bất kì tam giác nào 
cũng có một đoạn thẳng màu đỏ. Tương tự các đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE cũng có màu đỏ (vẽ nét 
liền) (h.1.18). Do đó tứ giác BCDE có các cạnh và đường chéo được tô đỏ nghĩa là tồn tại một nhóm 
bốn người đôi một quen nhau. Bài 6: Cho tứ giác ABCD, A B 500 . Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết 
 0
COD 115 . Chứng minh rằng AB BC. 
Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có B D 1800 ,CB CD . Chứng minh AC là tia phân giác của
BAD . 
Bài 8: Tứ giác ABCD có Cˆ Dˆ 900 . Chứng minh rằng AC2 BD 2 AB 2 CD 2 
Bài 9: Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để 
MA MB MC MD nhỏ nhất. 
Bài 10: Cho tứ giác ABCD có A C tia phân giác góc B cắt đường thẳng AD ở M; tia phân giác của 
góc D cắt đường thẳng BC ở N. Chứng minh rằng: BM// CN 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1:a) Không có tứ giác nào có 4 góc nhọn. 
Tổng các góc của 1 tứ giác bằng 3600. Do đó, một tứ giác có nhiều nhất ba góc nhọn, có nhiều nhất ba 
góc tù, nhiều nhất 4 góc vuông. 
Bài 2: a) A B C D 3600 C 120 0 
b) Tương tự tính được D 1260 . Vậy góc ngoài đỉnh D có số đo là 540 
     0 0 0
 ABAB 360 100 60 0 0 0
Bài 3: 40 . Từ đó tính được A 120 . B 80 . 
 3 2 5 5
Bài 4: a) Từ giả thiết ta có: 2B 2C  2D 200  180  120  B C D 250  
Vì ABCDAˆ ˆ ˆ ˆ 360  ˆ 110  . 
B 250  (C D) 250  120  130  
C 200 B 200  130  70  . 
D 1200 C 120 0 70 0 50 0 . 
b) Trong tam giác ABI: 
 
  ABABCDˆ ˆ360 ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ
AIB 180 . 
 2 2 2
Bài 5: a) Tứ giác ABCD có ABC   D 3600 1200 90 0 C D 360 0 
 0 0 0
 C D 150 C1 D 1 ( CD  ) : 2 150 : 2 75 
 0
 COD có C1 D 1 75 nên 
 0 0 0 0
COD 180 ( CD1 1 ) 180 75 105 . 
 A B
b) Giải tương tự như câu a. Đáp số: COD . 
 2