Chuyên đề Tứ giác nội tiếp đường tròn Lớp 9

 CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
I. Khái niệm
* Định nghĩa: 
Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.
II. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn:
1/ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một 
đường tròn.
2/: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp 
được trong một đường tròn.
3/: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
4/: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc (an-
pha) thì nội tiếp được trong một đường tròn.
III. Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
1) Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD và điểm I 
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I
⇔ IA=IB=IC=ID
2) Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc A + góc C = 180° hoặc 
góc B + góc D = 180°
3) Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng 
nhau
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔ góc DAC = góc DBC cùng 
chắn cung DC
4) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một 
đường tròn
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD
 1 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = IO. 
Kẻ dây MN AB tại I. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng 
với M, N và B. Nối AC, cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn. Xác định tâm đường tròn 
này.
b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 
 Gợi ý:
 a/ Chứng minh tương tự câu a ở bài 1 trên. (Góc ACB chắn đườngkính AB; MIAB) 
 Tâm đường trong nội tiép IECB nằm tại trung điểm EB
Câu b/ Hai TG đó có chung góc A, góc AME và ACM chắn 2 cung AM = cung AN
* Bài 3: 
Cho tam giác ABC cân tại A ( ). Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. 
Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.
a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm 
các đường tròn này.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
 Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa 
vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMNE nội tiếp.
- Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvuông 
- Góc M và góc N cùng chắn AB 
 Trung điểmAB là tâm ĐT ngoại tiếp
b/ Chứng minh 2 tamgiác vuông AME và FME 
bằng nhau do EM chung, 
chứng minh thêm AM = MF
• Bài 4: 
Cho đường tròn ( O;R) và đường thẳng xy cách tâm O một khoảng OK= a ( 0 < a < R ). Từ 
một điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) ( B, C là 
các tiếp điểm; O và B nằm cùng phía với xy)
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D và E.
b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của 
đường tròn này.
c/ BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S. Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp được 
trong một đường tròn.
 3 a/Chứng minh HK EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được trong một đường tròn.
 Gợi ý:
* Câu a/ 
- B chắn đường kính AI B vuông
- OE AB HK là đường trung bình của hình thang EBOI, từ đó kết luận HK EB
*Câu b/ 
- Chứng minh ∆EKB cân tại K BEK = EBK (1)
- Chứng minh EBK = KCA do ∆KCB cân (2) 
- Từ (1) và (2) BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng ACK ( là góc 
tại đỉnh đối của đỉnh E). AEKC nội tiếp được trong đường tròn.
 • Bài 7: 
Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính MN. Kẻ tiếp tuyến Nx và lấy điểm P chính giữa 
nửa đường tròn. Trên cung PN, lấy điểm Q ( không trùng với P, N ). Các tia MP và MQ cắt 
tiếp tuyến NX theo thứ tự tại S và T.
a/ Chứng minh NS = MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.
 Gợi ý:
a/ Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn
  MPN vuông PMN = 450 PNS = 450
 ∆MNS là tam giác vuông cân 
 MN = N S (điều cần chứng minh).
b/ Vì NQT vuông nên 2 tam giác MNT và NTQ là 2 
tam giác vuông đồng dạng ( góc - góc) 
c/ Kẻ tiếp tuyến PH , PH NS ta có các tam giác 
vuông cân và các góc bằng nhau = 45o như hình vẽ 
Chứng minh được T1 = S + M2 = S + P2 + P2 
 ( dựa vào dấu hiệu 2) ĐPCM
 • Bài 8: 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn 
đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy 
một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.
 5