Chuyên đề Trường hợp đồng dạng thứ hai Toán 8

 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc 
tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng. 
 A
 ABC, A'B'C '
 GT AB BC 
 ,B B' A'
 A'B'B'C'
 ABC∽ A'B'C' 
 KL 
 B C B' C'
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng 
Phương pháp giải: 
Bước 1: Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau và chứng minh (nếu cần); 
Bước 2: Lập tỉ số các cạnh tạo nên mỗi góc đó, rồi chứng minh chúng bằng nhau; 
Bước 3: Từ đó, chứng minh hai tam giác đồng dạng. 
1. Cho xOy , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng 
 AOB∽ COD nếu biết một trong các trường hợp sau: 
 OA OB
a) ; b) OA.OD OB.OC. 
 OC OD
2. Cho xoy , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng 
 AOD∽ BOC nếu OA 4cm,OC 15cm,OB 6cm và OD 10cm. 
3. Cho hình thang ABCD AB CD , biết AB 9cm,BD 12cm,DC 16cm. Chứng minh 
 ABD∽ BDC. 
4. Cho xoy , trên Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm, trên Oy lấy các điểm B và C sao cho 
 OB 2cm,OC 8cm. Chứng minh rằng AOB∽ COA. 
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài các cạnh hoặc chứng 
minh các góc bằng nhau 
Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam 
giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng còn 
lại bằng nhau. 
5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Lấy điểm E 
 DE CK
trên DH và điểm K trên BC sao cho . Chứng minh: 
 DH CB
 DA HD DA HD
 HDA ADB (2) Từ (1) và (2) 
  DB AD AC BC
 DE DA
suy ra mà ADE ACK nên ta có 
 CK AC
 ADE ACK( c g c) . 
 AE AD
b) Từ phần a) ta suy ra được . 
 AK AC
Chứng minh được EAK CAD nên ta có 
 AEK ADC(..) c g c 
c) Có AEK ADC AEK ADC 900 
  
6. 
 AB DI
a) Theo đề bài ta chỉ ta được từ đó suy ra 
 AI DC
 ABI DIC( c g c) 
b) Chứng minh được AIB DCI mà 
 00
 DIC DCI 90 BIC 90 
7. 
 BE CE
a) Có BC// AD ; 
 BA CF
 EC AD
Lại có DC// AB 
 FC DF 
Suy ra ĐPCM. 
b) Do ABCD là hình thoi có A 600 nên: 
AB = BD = DC = CA = AD 
 EB AD 
Ta có EBD BDF 1200 và theo câu a) 
 BA DF
 EB BD
hay EBD BDF(..) c g c 
 BD DF 
c) Từ phần b) ta có: BED DBF từ đó chứng minh được 
 0
 BDI EDB mêm suy ra BID EBD 120 
8. 
 Bài 9: Cho ABC, biết AB = 3cm, AC = 6cm, BC = 4cm. Trên AB lấy điểm E sao cho AE = 
2cm, trên AC lấy điểm D sao cho AD = 1cm. 
 AD AE
a) Chứng minh: . 
 AB AC
b) Chứng minh: ADE” ABC 
c) Tính độ dài đoạn DE. 
Bài 10: Cho ABC, biết AB = 3cm, AC = 6cm, BC = 6cm. Trên AB lấy điểm E sao cho AE = 
2cm, trên AC lấy điểm D sao cho AD = 1cm. 
 AD AE
a) Chứng minh: . 
 AB AC
b) Chứng minh: ADE” ABC 
c) Tính độ dài đoạn DE. 
Bài 11: Cho ABC, biết AB = 7,5cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Trên AB, AC theo thứ tự lấy 
điểm M và N sao cho AN = 3cm, AM = 2,5cm. 
a) Chứng minh: AMN” ABC 
b) Tính độ dài đoạn MN. 
 HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI SỐ 1 
 ABBD 3 B
Bài 1: Ta chứng minh được ABD BDC và . A
 BD DC 4
Từ đó suy ra ABD” BDC(.) c gc 
Bài 2: 
 C
 D
 a) Chứng minh được OAB” OA B (..)c g c 
 AB AC BC 1
b) Chứng minh được 
 A''BA''CB''C 3
Bài 3: 
a) Xét tam giác AEB và tam giác ADC có 
 AB 8 1 AE 3 1 AB AE
 ; 
 AC 16 2 AD 6 2 AC AD
 Mặt khác lai có góc A chung 
 AEB ” ADC (c-g-c) 
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có AED” ABC 
 AED  ABC (hai góc tương ứng) 
 AE AD
c) Theo câu b) ta có AED”   ABC AEAC. AB. AD 
 AB AC
Bài 4: 
 Suy ra BND” DBM c.. g c 
 M BD BND M BD M BN BND M BN 600 
 0
Mà BPD BND MBN nên BPD 60 . 
Bài 7*: 
Trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho BD 1 cm 
 CD BC BD 3 cm CD AC nên ACD 
cân tại C, do vậy DAC ADC (1) 
 BD AB 1
 ABD và CBA có ABD chung và . 
 BA CB 2
Suy ra ABD ” CBA (c.g.c) BAD BCA (2) 
Từ (1) và (2) ta có : 
 BAC BAD DAC ACB ADC ACB ABC BAD 
Do đó BAC ABC 2.ACB . 
Bài 8*: 
Giả sử MB MC . Gọi Q là giao điểm MO và AB ; K là 
giao điểm CP và MN. 
Vì MNAP là hình bình hành nên QPM ANM (1) 
Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra PBM cân tại P và NCM 
cân tại N. 
Do đó PB PM AN và NC NM AP kết hợp với 
 PQ PQ KMPB NA
 MN//AP , suy ra (2) 
 PM PB KNPA NM
Từ (1) và (2) suy ra QPM ” ANM (c.g.c) 
 QMP AMN hay OMP AMN . Điều phải chứng minh. 
Bài 9: 
 AD1 AE21 ADAE
a) ; 
 AB3 AC63 AB AC
 ABAC
b) ABC, ADE: ADAE ABC~ ADE 
 BAC D AE
 Bài 6: Cho hình bình hành  ABCD . Kẻ  AH CDAK,  BC . Chứng minh rằng                      KAH
 S ABC  
Bài 7: Cho hình vuông  ABCD . Trên cạnh  BC lấy điểm E . Tia  AE cắt đường thẳng  CD tại M , tia 
 DE cắt đường thẳng  AB tại N . Chứng minh rằng 
a)  NBC S BCM  
b)  BM CN  
Bài 8: Cho ABC   vuông  tại  A   có  BE   là  đường  phân  giác  của  ABC   ( E AC ).  Kẻ 
 FD EA
 AD BCD( BC), AD  cắt  BE  tại F. Chứng minh   
 FA EC
Bài 9: Cho  ABC   nhọn,  lấy  các  cạnh  AB, AC   và  BC   dựng  các  tam  giác  vuông  cân 
 ABD, ACE, BCF,  hai tam giác đầu dựng ra phía ngoài  ABC , còn tam giác thứ 3 dựng trong 
cùng một nửa mặt phẳng bờ  BC  với  ABC . Chứng minh rằng tứ giác  AEFD  là hình bình hành. 
Bài 10: Cho hình thoi  ABCD  cạnh a có  A = 600 , một đường thẳng bất kỳ qua  C cắt tia đối của các 
tia  BA, DA  tại  M, N  
a) Chứng minh rằng tích  BM. DN có giá trị không đổi 
b) Gọi  K là giao điểm của  BN  và  DM . Tính số đo của góc  BKD  
 LỜI GIẢI PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2 
Bài 1: 
 a) Xét  AED và  ABC  ta có:  A
 E
 A  chung 
 D
 AE61 AD91 AD AD
 ;  
 AB18 3 AC27 3 AB AC
 B C
 Hay  AED S ABC (c - g - c) 
 b) Vì  AED S ABC  nên ta có: 
 DE AE DE 1
 DE 10 cm  
 CB AB 30 3
Bài 2:  
 a = 1; b = 2; c = 3 (loại) 
+ Nếu b = a + 2 thì  a(c – 4) = 4 
- Với a = 1 thì c = 8 (loại) 
- Với a = 2 thì c = 6 (loại) 
- Với a = 4 thì c = 6 ; b = 5 
Vậy a = 4; b = 5; c = 6 
Bài 5:  
 Xét  BAD và  DBC  có   A B
 ABD BDC  (2 góc so le trong) 
 AB BD 2
 BD DC 3
 D C
 BAD S DBC  (c - g - c)  
 A DBC 900  
 BC BD  
Bài 6:  
 Ta có :  S AHDC. AK. BC  
 ABCD A
 B
 AHAB. AK. BC
 AB AK  
 BC AH
 K
 Xét  ABC và  KAH  có  
 D H C
 B KAH  (cùng phụ với  BAK ) 
 AB AK
  (chứng minh trên) 
 BC AH
 ABC S KAH (c- g - c) 
Bài 7: