Chuyên đề Trường hợp đồng dạng thứ ba Toán 8

 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì 
hai tam giác đó đồng dạng. 
 A
 G ABC, A 'B'C'
 T A A',B  B'
 A'
 K
 ABC∽ A'B'C' 
 L B C B' C'
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng 
Phương pháp giải: Chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác để suy ra 
hai tam giác đồng dạng. 
1. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song 
với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh: 
a) ABD∽ ECD; b) ACE cân tại C. 
2. Hình thang ABCD AB CD , có DAB CBD .Chứng minh ABD∽ BDC. 
3. Cho ABC có AM là phân giác của BAC M BC . Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng 
 1
bờ BC không chứa A sao cho BCx BAC. Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng 
 2
minh: 
a) BM.MC MN.MA; b) ABM∽ ANC; 
c) Tam giác BCN cân. 
4. Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến d qua A bất kì cắt đường chéo BD tại E và 
các đường thẳng BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh: 
a) GCF∽ GDA; b) GCF∽ ABF; 
c) GDA∽ ABF và tích số BF.DG luôn không đổi khi d quay quanh A. 
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng 
minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau 
Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai 
tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương 
ứng tỉ lệ. 
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh: 
 2 2
a) AB BH.BC; b) AH BH.HC. 
 d) AEF ABC và BDF EDC 
e) AHB AFD và suy ra các kết quả tương tự. 
f) Điểm H cách đều 3 cạnh của DEF 
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và 
BD. 
a) Chứng minh OA.OD = OB.OC. 
b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh 
 OH AB
 OK CD
Bài 7: Cho tam giác ABC có B 2.C , AB = 4 cm, AC = 8 cm, Tính độ dài cạnh BC ? 
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN A
Bài 1: 
a) Do AB//CE nên BAD DEC . Chứng minh được 
 C
 ABD~ ECD( g g) B D
b) Chứng minh được CAD CED ( BAD ) nên ACE cân tại C. 
Bài 2: Xét ABD và BDC: E
 A CBD ; ABD BDC (so le trong) 
 ABD” BDC (g – g) 
 AB BD BD26 2
 = CD = = 9 cm 
 BD CD AB 4
Bài 3: a) Chứng minh: ABK ∽ CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.
 A
 C
 B
 K
 0 
 ABK CBA( 90 BAK )
 ABK, CBA: ABK” CBA 
 AK B CAB ( 900 )
 Xét CFB và ADB có: 
 CFB ADB 90 
 CFB ADB( g g) 
   A
 B chung  
 CF CB E
 FCB DAB và AD.BC CF. AB (2) 
 AD AB F
Từ (1) và (2) suy ra: AD. BC BE. AC CF. AB H
 B
 CDH ADB
b) Xét và có: D
 CDH ADB 90  C
  CDH ADB( g g) 
 HCD BAD ( cmt)  
 HD CD CH
 AD.HD CD.BD; AB.HD CH. BD; CD.AB CH. AD
 BD AD AB 
 AEH BDH 90  AH EH
c) Xét AEH và BDH có:  AHE” BDH( g g) 
 AHE BHD (dd)  BH DH
 AHEH 
 (cmt) 
Xét AHB và EHD có: BH DH  AHB” EDH( c g c) 
 AHB E HD(dd)
Tương tự ta có: AHC FHD; BHC FHE 
 FA AC
d) Vì CFA” BEA 
 EA AB
 FA AC 
 (cmt) 
Xét AEF và ABC có: AE AB  AEF” ABC( c g c) 
 A(chung) 
 BDF” BAC
Chứng minh tương tự ta có  BDF” EDC (t/c..) 
 BAC” EDC
e) Vì BDF” BAC BD F BA C ADF ABH (cùng phụ với BDF BAC ) 
 ABH ADF 
Xét AHB và AFD có:  AHB” AFD( g g) 
 A(chung)  
Tương tự ta có: AED AHC 
f) 
 ” 
 AHB AFD ABH FDA 
  FDA EDH DH là tia phân giác FDE (3) 
 AHB” EHD ABH EDH 
  
 Biết AB 3 cm; AD 2,5 cm ; BD 6 cm và DBC DAB . 
a. Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng. 
b. Tính độ dài các cạnh BC và CD. 
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC  A 900 có AB 9 cm, AC 12 cm . Dựng AD vuông góc 
với BC D BC . Tia phân giác góc B cắt AC tại E . 
a. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DB và DC . 
b. Tính diện tích các tam giác ABD và ACD . 
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC BD. Gọi E, F lần lượt là chân 
đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD . Gọi G là chân đường vuông 
góc kẻ từ B đến AC . Chứng minh rằng: 
a. BCG đồng dạng với CAF 
b. BG. AF CG .CF 
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD , trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM AB, 
trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN AD . Chứng minh: 
a. CNB và MDC cân. 
b. CNB MDC 
c. Chứng minh M,,CN thẳng hàng. 
Bài 7: Cho tam giác ABC AB BC có các góc đều nhọn, đường phân giác AD . Các 
đường cao BE, CF cắt nhau ở H , đường phân giác AD . Vẽ tia Dx sao cho CDx BAC 
(tia Dx và A cùng phía đối với BC), tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh: 
a. ABE ACF . Từ đó suy ra: AE. AC AF. AB 
b. ABC DKC. 
c. DK DB. 
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 6 cm, AC 8 cm , BC 10 cm . Đường cao 
 AH( H BC). 
a. Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng. 
b. Chứng minh rằng AH2 BH. HC 
 LỜI GIẢI PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2 
Bài 1: 
 A E B
 D F C
 AECF là hình bình hành (Vì có AE, FC song song và bằng nhau), suy ra: AF // EC . 
Khi đó, ta có: AFD ECF (hai góc đồng vị) 
 CEB ECF (hai góc so le trong) 
Từ đó: AFD CEB 
Xét ADF và CBE , ta có: 
 B D 900 
 AFD CEB 
Do vậy: ADF CBE (g.g) 
Bài 2: 
 B
 H
 A C
a. Xét ABC và HBA , ta có: 
 A H 900 
 B chung 
Do đó: ABC  HBA (g.g) 
 AB BC
 HB BA
 AB. BA HB. BC hay AB2 BC.BH 
 B
 D
 A E C
a. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC : 
 AB2 AC2 BC 2
 222
 9 12 BC 
 BC 15 cm . 
Xét ABC và DAC có: 
 ABC DAC (cùng phụ với C ) 
 C góc chung 
 AB AC BC
Do đó: ABC DAC (g.g) 
  AD DC AC
 912 15 912 5
Hay hay 
 AD DC 12 AD DC 4
 AD 7,2 cm ; DC 9,6 cm ; DB 5, 4 cm . 
 11
b. Tính diện tích các tam giác ABD là: .BD.AD .5, 4.7,2 19, 44 cm2 
 22
 11
Tính diện tích các tam giác ACD là: .DC. AD .9,6.7,2 34,56 cm2 
 22
Bài 5: 
 E
 B C
 G
 A D F
a. Xét BCG và CAF có: 
 G F ( 900 )