Chuyên đề Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 14. 
 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 
1. Trường hợp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh 
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai 
tam giác đó bằng nhau. 
 Xét ABC và ABC có: B B'
 AB= A B 
 A= A  ABC = A B C (c.g.c) 
 AC= A C 
 
 A A' C'
 I 
2. Trường hợp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh 
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam 
giác đó bằng nhau. 
 Xét ABC và ABC có: B B'
 BB= 
 AB= A B  ABC = A B C (g.c.g) 
 AA=  A C'
 C A' 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau 
I. Phương pháp giải: 
 + Xét hai tam giác. 
 + Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc. 
 + Kết luận hai tam giác bằng nhau. 
II. Bài toán. 
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao? 
 A
 M N
 E
 C Q
 B P
 D 
Lời giải: 
Các tam giác bằng nhau: ABD = AED ; QMP = NPM . Vì: 
+ Xét ABD và AED có : 
 AB= AE (giả thiết); BAD= EAD (giả thiết); AD là cạnh chung 
 ABD = AED (c.g.c). 
+ Xét QMP và NPM có: 
 MN= PQ (giả thiết); NMP= QPM (giả thiết); MP là cạnh chung 
 1 Xét ABC và DEF có: 
 AD= (theo giả thiết); 
 BE= (theo giả thiết); 
 AB= DE (theo giả thiết) 
 ABC = DEF (g.c.g) 
Bài 4. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao? 
 M
 1 2 1 2
 N Q
 P O 
Lời giải: 
Các tam giác bằng nhau: MNP = MQO ; MNO = MQP . 
Thật vậy: 
+) Ta có: PP12+ =180  (hai góc kề bù); OO12+ =180  (hai góc kề bù) 
 Lại có : PO21= =PO12 
 Xét MNP và MQO có: 
 PO12= (chứng minh trên) ; NP= QO (theo giả thiết); NQ= (theo giả thiết) 
 MNP = MQO (g.c.g) 
+) Ta có: NO=+ NP PO ; QP=+ QO OP . Mà NP= QO =NO QP . 
+ Xét MNO và MQP có: 
 MN= MQ (vì MNP = MQO - theo chứng minh trên), 
 NQ= (theo giả thiết), 
 NO= QP (chứng minh trên) 
 MNO = MQP (c.g.c). 
Bài 5. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp 
cạnh - góc - cạnh. 
 A
 P Q
 E F
 I
 B
 D
 H G
 M N
 C 
Lời giải: 
 3 K
 B
 H
 A C 
+ Xét ABH và KBH có: BH là cạnh chung; AH= KH (giả thiết); AHB= KHB =90  
 ABH = KBH (c.g.c). 
+ Xét CAH và CKH có: CH là cạnh chung; (giả thiết); AHC= KHC =90  
 CAH = CKH (c.g.c) 
+ Xét ABC và KBC có: 
 BC là cạnh chung, 
 AC= KC (vì CAH = CKH ), 
 AB= KB (vì ABH = KBH ) 
 (c. c. c). 
Vậy các cặp tam giác bằng nhau: , , ABC = KBC . 
Bài 9. MĐ2 Cho tam giác ABC có AB= AC . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh 
 ABM = ACM . 
 A
 1 2
 1 2
 B
 M C 
Lời giải: 
 Xét tam giác ABM và tam giác ACM có : 
 (giả thiết), 
 BAM= CAM ( AM là tia phân giác góc A ), 
 AM là cạnh chung. 
Suy ra ABM = ACM (c.g.c). 
Bài 10. MĐ2 Cho tam giác ABC có BC= . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh 
 ABM = ACM . 
 5 x
 B
 A
 O
 C
 D
 y
a) Xét tam giác OAD và tam giác OCB , ta có: OA= OC (giả thiết), AOC chung, OD= OB (giả thiết) 
 OAD = OCB (c.g.c). 
b) Ta có : OB=+ OA AB , OD=+ OC CD. Mà OA== OC; OB OD nên AB= CD. 
 Lại có: OAD = OCB (chứng minh trên) suy ra AD== CB; D B (tương ứng). 
 Xét tam giác ACD và tam giác CAB có: AB= CD, DB= , AD= CB(chứng minh trên) 
 ACD = CAB (c.g.c). 
Bài 13. MĐ3 Cho ABC vuông ở A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD= AC . 
a) Chứng minh ABC = ABD. 
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M . Chứng minh MBD = MBC . 
Lời giải: 
 M
 B
 C
 A
 D 
a) Xét ABC và ABD có: AD= AC (giả thiết), BAD= BAC =90  , AB là cạnh chung 
 ABC = ABD (c.g.c). 
b) Xét MBD và MBC có: AD= AC (giả thiết), MAD= MAC =90  , AM là cạnh chung 
 MBD = MBC (c.g.c). 
Bài 14. MĐ3 Cho hình vẽ sau, trong đó AB // CD , AB= CD. Chứng minh rằng: 
a) OAB = ODC . 
b) OAC = ODB . 
Lời giải: 
 7 OO12= (chứng minh trên), 
 OM chung, 
 OMH= OMK (chứng minh trên) 
 OMH = OMK (g.c.g). 
Bài 16. MĐ4 Cho tam giác ABC có A =90 và AB= AC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy 
điểm D và E sao cho AD= AE . Qua A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC lần lượt tại M 
và N . Tia ND cắt tia CA tại I . Chứng minh rằng: 
a) AID = ABE . 
b) Chứng minh CM= MN . 
Lời giải: 
 B
 N F
 H
 D
 M
 I C
 A E
a) Gọi H là giao điểm của BE và IN . 
Ta có: AEB vuông tại A nên ABE+ AEB =90  ; DHB vuông tại H nên DBH+ HDB =90  . 
Suy ra HDB= AEB. 
Mà HDB= ADI (hai góc đối đỉnh) suy ra ADI= AEB . 
Xét ADI và ABE có: DAI= EAB =90 , AE= AD (giả thiết), ADI= AEB (chứng minh trên). 
Do đó AID = ABE (g.c.g). 
b) Ta có AM⊥ BE , IN⊥ BE suy ra AM // IN . 
Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM tại F AC // NF AI // NF . 
Xét AIN và NFA có: 
 IAN= FNA (so le trong, AI // NF ), 
 ANI= NAF (so le trong, AM // IN ), 
 AN là cạnh chung 
 AIN = NFA (g.c.g) NF= AI (hai cạnh tương ứng). 
Mà (chứng minh trên) =AI AB (hai cạnh tương ứng). 
Lại có AB AC (giả thiết) NF AC . 
Lại có: AC // NF CAM= MFN , ACM= MNF (hai góc so le trong). 
Xét MAC và MFN ta có: 
 CAM= MFN (chứng minh trên), 
 9 A
 1 2
 B C
 M 
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có: 
 AB= AC (giả thiết), 
 BAM= CAM ( AM là tia phân giác góc A ), 
 AM là cạnh chung 
 ABM = ACM (c.g.c) =BM CM (hai cạnh tương ứng). 
Bài 2. MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om là tia phân giác, C Om ( C O) . Trên tia Ox lấy điểm A , 
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA= OB . Chứng minh:CA= CB . 
Lời giải: 
 x
 A
 m
 C
 O
 B
 y
 Xét OAC và OBC có: OA= OB (giả thiết), AOC= BOC (giả thiết), OC là cạnh chung 
 OAC = OBC (c.g.c) =CA CB (hai cạnh tương ứng). 
Bài 3. MĐ1 Cho ABC = MNP. Gọi O và G lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và NP . 
Chứng minh AO= MG . 
Lời giải: 
 A M
 O
 B C N G
 P 
Ta có: ABC = MNP AB = MN,, B =N BC = NP (tương ứng). 
 1 1
 Mà O là trung điểm BC nên BO= BC , G là trung điểm NP nên NG= NP . 
 2 2
Từ đó suy ra BO= NG . 
Xét ABO và MNG , ta có: AB= MN BN= , BO= NG (chứng minh trên) 
 11