Chuyên đề Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc-cạnh-góc (g.c.g) Toán 7

 BÀI 5. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC 
 GÓC – CẠNH – GÓC (G.C.G) 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được cách vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề. 
 + Phát biểu và hiểu được trường hợp bằng nhau góc - cạnh – góc. 
 + Phát biểu và nắm được các hệ quả của trường hợp góc - cạnh - góc trong tam giác vuông. 
  Kĩ năng 
 + Vẽ thành thạo một tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề. 
 + Phát hiện và chứng minh được hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh – góc. 
 + Biết vận dụng một cách linh hoạt giữa các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng 
 minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng (góc) bằng nhau. 
 + Biết trình bày và lập luận chặt chẽ trong bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai góc 
 (đoạn thẳng) bằng nhau. 
 Trang 1 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG 
 Định nghĩa 
 AB AB ', BC BC , CA CA 
 ABC ABC ' nếu 
 A  AB ; BCC ;   
 HAI TAM 
 GIÁC BẰNG 
 NHAU 
 Trường hợp 1: Cạnh – cạnh - cạnh 
 Nếu ∆ABC và ∆A’B’C’có 
 AB AB',, BC BCCA CA 
 Trường hợp 2: Cạnh – góc - cạnh 
 thì ABC ABC 
 Nếu ∆ABC và ∆A’B’C’có 
 AB AB',, B B BC BC 
 thì ABC ABC 
 Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc 
 Nếu ∆ABC và ∆A’B’C’có 
 Trường hợp trong tam giác vuông 
 B BBC ,, BCC  C 
 Cạnh góc vuông – cạnh góc vuông 
 thì ABC ABC 
 Trường hợp trong tam giác vuông 
 * Cạnh góc vuông - góc nhọn kề 
 * Cạnh huyền – góc nhọn 
 Trang 3 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Vẽ ∆ABC có B 70 , BC 4 cmC ,  60 
Câu 2: Vẽ ∆ABC có B 30 , BC 3 cmC ,  60 
Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Cho hình vẽ sau: 
 Chứng minh rằng ABC ABD 
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Xét hai tam giác cần chứng minh 
 Xét ∆ABC và ∆ABD ta có 
Bước 2. Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau: góc - 
 A  A (giả thiết) 
cạnh – góc. 1 2
Chú ý: Hai góc kề cùng một cạnh. AB là cạnh chung 
Bước 3. Kết luận hai tam giác bằng nhau. B1 B 2 (giả thiết). 
 Do đó ABC ABD g.. c g 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho hình vẽ sau đây, chứng minh rằng ABD ACE 
Hướng dẫn giải 
Ta có BB1  2180 , CC 1  2 180 (hai góc kề bù). Mà B1 C 1 nên B2 C 2 
Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có 
 D E (giả thiết) 
 Trang 5 
Bước 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo AC là cạnh chung 
một trong ba trường hợp bằng nhau. 
 A2 C 2 (hai góc so le trong và AB// DC ) 
 Do đó ACD CAB (g.c.g) 
 AB CD
Bước 3. Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau Suy ra: (hai cặp cạnh tương ứng) 
 AD BC
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho cặp đoạn thẳng song song AD, BC bị chắn bởi hai đường thẳng song song AB, CD. Qua giao 
điểm M của AC và BD, kẻ đường thẳng bất kì cắt AD, BC theo thứ tự ở K, E. Chứng minh rằng: 
a) MA MC 
b) MK ME 
Hướng dẫn giải 
a) Vì AD// BC nên A1 CD 1;  1 B 1 (hai góc so le trong) 
Vì AB// CD nên A2 C 2 (hai góc so le trong). 
Xét ∆ACD và ∆CAB, ta có 
 A1 C 1 (chứng minh trên) 
AC là cạnh chung 
 A2 C 2 (chứng minh trên) 
Do đó ACD CABgcg .. AD BC (hai cạnh tương ứng) 
Xét ∆MAD và ∆MCB, ta có 
 A1 C 1 (chứng minh trên) 
 AD BC (chứng minh trên) 
 D1 B 1 (chứng minh trên) 
Do đó MAD MCB g.. c g MA MC (hai cạnh tương ứng) 
Sơ đồ chứng minh. 
Vận dụng tính chất song song AD// BC , AB // CD Chứng minh ACD CAB g.. c g 
 Chứng minh AD BC Chứng minh MAD MCB g.. c g Chứng minh MA MC 
 Trang 7 
b) Theo câu a ta có ADC AEB B1 CE 1;  2 D 2 (hai góc tương ứng). 
Vì E2 D 2 nên E1 D 1 (hai góc kề bù với hai góc bằng nhau) 
Lại có AB AC và AD AE AB AD AC AE DB CE 
Xét ∆DFB và ∆EFC, ta có 
 B C
 1 1
 BD CE (chứng minh trên) 
 D1 E 1
Do đó DFB EFCgcg .. DF EF ( hai cạnh tương ứng). 
Sơ đồ chứng minh câu b 
Sử dụng kết quả câu a 
 Chứng minh B1 C 1; BD CED ;  1 E 1 
 Chứng minh DFB EFC g.. c g 
 Chứng minh DF EF 
Ví dụ 2. Cho ∆ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AB . Trên tia đối của tia AC lấy 
điểm E sao cho AE AC . Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. 
Chứng minh rằng AM AN 
Hướng dẫn giải 
Xét ∆AED và ∆ACB, ta có 
 AE AC (giả thiết) 
 EAD CAB (hai góc đối đỉnh) 
 AD AB (giả thiết) 
Do đó AED ACBcgc .. E C (hai góc tương ứng) 
Xét ∆AME và ∆ANC, ta có 
 Trang 9 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề 
Câu 1: 
- Vẽ đoạn thẳng BC 4 cm 
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC: 
- Vẽ tia Bx sao cho xBC 70  
- Vẽ tia Cy sao cho yCB 60  . 
Bx và Cy cắt nhau tại A. 
Ta được ∆ABC cần vẽ 
Câu 2: 
- Vẽ đoạn thẳng BC 3 cm 
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng BC: 
- Vẽ góc CBx 30  
- Vẽ góc BCy 60  
Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A. 
Ta được ∆ABC cần vẽ 
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh – góc 
Câu 1: 
 O chung
 OAD OCB g.. c g vì OA OC 
 OAD OCB 
 Trang 11 
 AB AC 
Do đó ADB AEC (cạnh huyền - góc nhọn) 
 DB EC (hai cạnh tương ứng) 
Câu 2: 
Xét ∆AMD và ∆MAE, ta có 
 AMD MAE (hai góc so le trong, MD// AB ) 
AM là cạnh chung. 
 EMA DAM (hai góc so le trong, ME// AC ) 
Do đó AMD MAE g.. c g 
 ME AD (hai cạnh tương ứng) 
Dạng 4. Sử dụng nhiều trường hợp bằng nhau của tam giác 
Câu 1: 
a) Xét ∆ADE và ∆ABC, ta có 
 AD AB (giả thiết) 
 DAE BAC (hai góc đối đỉnh) 
 AE AC (giả thiết) 
Do đó ADE ABC cgc.. 
 ADE ABC (hai góc tương ứng) 
b) Vì EDA CBA nên ADO ABO (tính chất hai góc kề bù). 
 Trang 13 
 B1 C 1 60 (do BD và CE là tia phân giác của góc B và góc C) 
∆BIC có BIC 180  BC1  1 120  
 I1 I 2 60 (hai góc đối đỉnh và cùng kề bù với BIC ). 
Trên BC lấy điểm F sao cho BE BF 
Khi đó dễ dàng chứng minh được BEI BFI cgc.. 
 IE IF (hai cạnh tương ứng) (1) 
 I1 BIF 60 (hai góc tương ứng) 
 FIC BIC BIF 60 
Xét ∆IFC và ∆IDC ta có 
 FIC DIC 60 (chứng minh trên), IC là cạnh chung, C1 C 2 (do CI là phân giác của ACB ) 
Do đó IFC IDC c.. c c . Suy ra ID IF (hai cạnh tương ứng). (2) 
Từ (1) và (2), suy ra IE ID 
 Trang 15