Chuyên đề trung điểm của đoạn thẳng Toán Lớp 6

 BÀI 6. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nhận biết được khái niệm trung điểm của đoạn thẳng. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và công thức cộng độ dài hai đoạn thẳng 
 để tính độ dài đoạn thẳng. 
 + Chứng minh được một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng. 
 Trang 1 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng 
 Phương pháp giải 
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng và công thức cộng độ dài hai đoạn thẳng. 
 AB
 Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA MB . 
 2
 Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì MA MB AB . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Trên tia Mx lấy hai điểm N và P sao cho MN 3cm; MP 7 cm. Gọi I là trung điểm của NP. 
Tính độ dài đoạn thẳng MI. 
Hướng dẫn giải 
Trên tia Mx, ta có MP MN nên điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Do vậy 
 NP MP MN 7 3 4 cm. 
 NP
I là trung điểm của đoạn NP nên NI IP 2 cm. 
 2
Do N nằm giữa M và P; I nằm giữa N và P nên N nằm giữa M và I. 
Khi đó ta có MI MN NI 3 2 5 cm. 
Vậy MI 5 cm. 
Ví dụ 2. 
a) Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó sao cho AB 5 cm; AC 12cm. Tính BC. 
b) Gọi O là trung điểm của đoạn BC. Tính OB;OC;OA. 
Hướng dẫn giải 
a) Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C. 
Khi đó BC AC AB 12 5 7 cm. 
 BC
b) Do O là trung điểm của BC nên OB OC 3,5 cm. 
 2
Do B nằm giữa A và C; O nằm giữa B và C nên B nằm giữa A và O. 
Khi đó ta có AO AB BO 5 3,5 8,5cm. 
Vậy BO CO 3,5 cm; AO 8,5 cm. 
Ví dụ 3. Lấy ba điểm A,B,C trên đường thẳng xy sao cho AB 10cm; AC 6 cm và BC 16 cm. 
a) Trong ba điểm A,B,C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? 
 Trang 3 
Câu 5. Trên tia Ax lần lượt lấy ba điểm B,C,D sao cho CD 2 BC 4 AB . Gọi I là trung điểm của đoạn 
BD. 
a) Điểm I có nằm giữa hai điểm B và C không? Vì sao? 
b) Tính AI biết AD 14 cm. 
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng 
 Phương pháp giải 
Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta cần chứng minh 
Cách 1. 
 + Điểm M nằm giữa A và B (hoặc AM MB AB ) 
 + MA MB 
Cách 2. 
 AB
Chứng minh MA MB . 
 2
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho hai tia đối nhau Ox và Ox'. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA 2 cm. 
Trên tia Ox' lấy điểm B sao cho OB 2 cm. Hỏi O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao? 
Hướng dẫn giải 
Hai điểm A và B thuộc hai tia đối nhau Ox và Ox' nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B. 
Lại có OA OB 2 cm. 
Do đó O là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
Ví dụ 2. Trên tia Ox xác định hai điểm A và B sao cho OA 3cm; OB 6cm. 
a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không? Vì sao? 
b) So sánh hai đoạn thẳng OA và AB. 
c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao? 
Hướng dẫn giải 
a) Trên tia Ox ta có OA OB 3 6 nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B. 
b) Do điểm A nằm giữa hai điểm O và B nên ta có OA AB OB suy ra AB OB OA 6 3 3(cm). 
Vậy OA AB . 
c) Theo câu a) và câu b), điểm A nằm giữa hai điểm O và B; OA AB nên điểm A là trung điểm của 
 đoạn thẳng OB. 
Ví dụ 3. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA 2 cm; OB 6cm. 
 Trang 5 
Từ (1), (2) và (3) suy ra hai điểm D và E nằm khác phía so với điểm C. 
Hay điểm C nằm giữa hai điểm D và E. 
Theo trên, CD CE 1(cm). 
Vậy C là trung điểm của DE. 
Ví dụ 5. Lấy hai điểm M, N rồi lấy điểm A sao cho M là trung điểm của AN. Lấy điểm B sao cho N là 
trung điểm của MB. 
a) Chứng tỏ AB 3 MN . 
b) Gọi H là trung điểm của MN. Vì sao H cũng là trung điểm của AB? 
Hướng dẫn giải 
a) Do M là trung điểm của AN nên AN AM MN 2 MN . 
Do N là trung điểm của MB nên MN NB . 
M nằm giữa A và N nên A và M nằm cùng phía so với điểm N (1). 
N nằm giữa M và B nên M và B nằm khác phía so với điểm N (2). 
Từ (1) và (2) suy ra A và B nằm khác phía so với điểm N. 
Khi đó AB AN NB2 MN MN 3 MN . 
b) 
H là trung điểm của MN nên H nằm giữa M, N và MH NH . 
H nằm giữa M và N nên H nằm giữa A và B. 
Chứng minh được điểm M nằm giữa A và H nên AH AM HM ; N nằm giữa hai điểm B và H nên 
 BH BN NH . 
Lại có BN AM MN và MH NH . Do vậy AH BH . 
Từ đó suy ra H là trung điểm của AB. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Bài tập cơ bản 
Câu 1. Trên tia Ax vẽ các đoạn thẳng AB 3 cm; AC 5cm. 
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? 
b) Tính độ dài đoạn thẳng BC. 
c) Trên tia đối của tia Bx, lấy điểm D sao cho BD 2cm. 
Hỏi B có là trung điểm của đoạn thẳng CD không? Vì sao? 
Câu 2. Trên đoạn thẳng AB dài 8 cm, lấy điểm M sao cho AM 4 cm. 
a) Tính độ dài đoạn thẳng MB. 
b) Điểm M có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao? 
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK 4cm. So sánh MK với AB. 
 Trang 7 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng 
Bài tập cơ bản 
Câu 1. 
a) Trên tia Ox ta có OA OB 4 8 nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B. 
b) Do điểm A nằm giữa hai điểm O và B nên ta có OA AB OB suy ra AB OB OA 8 4 4 (cm). 
 Vậy OA AB . 
Câu 2. 
a) Nhận xét thấy AB AC BC 10 6 16 nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C. 
 AC
b) M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên AM MC 3cm. 
 2
 CB
c) N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên CN BN 8cm. 
 2
Hai điểm A và N đều thuộc đoạn CB nên chúng cùng thuộc tia CB. 
Lại có CA CN 6 8 nên điểm A nằm giữa hai điểm C và N. 
Do đó AN AC NC hay AN NC AC 8 6 2 (cm). 
Câu 3. 
A là trung điểm của OM nên OM 2 OA 6(cm). 
B là trung điểm của ON nên ON 2 OB 8 (cm). 
A nằm giữa O và M nên A và M nằm cùng phía so với điểm O (1). 
B nằm giữa O và N nên B và N nằm cùng phía so với điểm O (2). 
A và B nằm khác phía so với điểm O (3). 
Từ (1), (2) và (3) suy ra M và N nằm khác phía so với điểm O. 
Khi đó ta có OM ON MN hay MN OM ON 6 8 14 (cm). 
Vậy MN 14 cm. 
Bài tập nâng cao 
Câu 4. 
 Trang 9 
a) Điểm M thuộc đoạn AB nên M nằm giữa A và B. Do đó MB AB AM 8 4 4 (cm). 
b) M nằm giữa A và B; MB AM ( 4 cm) nên M là trung điểm của đoạn AB. 
c) K thuộc tia đối của tia AB nên A nằm giữa M và K. 
Khi đó MK MA AK 4 4 8 (cm). 
Do vậy MK AB. 
Câu 3. 
Trên đoạn thẳng AB 12cm lấy điểm C sao cho AC 6 cm. 
c) Điểm C có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao? 
d) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và CB. Tính MN. 
a) Trên đoạn thẳng AB, ta có AC AB 6 12 nên điểm C nằm giữa hai điểm A và B. 
 1
Lại có AC AB nên điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
 2
 1
b) M là trung điểm của AC nên MC AC 3cm. 
 2
 1
N là trung điểm của BC nênCN CB 3 cm. 
 2
Từ đó ta tính được MN MC CN 3 3 6 (cm). 
Câu 4. 
a) Trên tia Ox có OB OA 3 7 nên điểm B nằm giữa hai điểm O và A. 
Khi đó AB OA OB 7 3 4 (cm). 
b) Trên tia Ox có OC OA 5 7 nên điểm C nằm giữa hai điểm O và A hay hai điểm O và A nằm khác 
 phía so với điểm C (1). 
Trên tia Ox có OB OC 3 5 nên điểm B nằm giữa hai điểm O và C hay hai điểm O và B nằm cùng 
phía so với điểm C (2). 
Từ (1) và (2) suy ra A và B nằm khác phía so với điểm C. 
Do đó C nằm giữa hai điểm A và B. 
C nằm giữa O và A nên AC OA OC 7 5 2 (cm). 
 Trang 11 
Câu 7. 
O là trung điểm của AB nên OA và OB là hai tia đối của nhau. 
E, F thuộc hai tia đối nhau gốc O nên O nằm giữa E và F. 
Mặt khác theo giả thiết, OE OF 3cm suy ra O là trung điểm của EF. 
 AB
O là trung điểm của AB nên OA OB 2 (cm). 
 2
Trên tia OA có OA OE 2 3 nên A nằm giữa O và E. Từ đó AE OE OA 1(cm). 
Trên tia OB có OB OF 2 3 nên B nằm giữa O và F. Từ đó BF OF OB 1(cm). 
Vậy AE BF . 
Câu 8. 
Do M là trung điểm của AN nên AN AM MN 2 MN . 
Do N là trung điểm của MB nên MN NB . 
M nằm giữa A và N nên A và M nằm cùng phía so với điểm N (1). 
N nằm giữa M và B nên M và B nằm khác phía so với điểm N (2). 
Từ (1) và (2) suy ra A và B nằm khác phía so với điểm N. 
Khi đó AB AN NB2 MN MN 3 MN . 
 Trang 13