Chuyên đề Trắc nghiệm Tính giới hạn dãy số - Đại số 11

 GIỚI HẠN DÃY SỐ-CÓ GIẢI CHI TIẾT 
LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 
 GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC 
1.Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 
 1 1 k 
 lim 0; lim 0 (k ) lim n limnk ( )
 n n n k
 n limqqn ( 1) 
 n
 limqq 0 ( 1) ; lim CC 2. Định lí: 
 n n 
2.Định lí : 1
 a) Nếu lim un thì lim 0 
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
 lim (u + v ) = a + b 
 n n un
 b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim
 lim (un – vn) = a – b 
 vn
 lim (u .v ) = a.b 
 n n = 0 
 u a
 lim n (nếu b 0) c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0 
 vbn u neáua.0 v 
 thì lim n = n 
 b) Nếu un 0, n và lim un= a neáua.0 v 
 vn n
 thì a 0 và lim ua 
 n d) Nếu lim un = + , lim vn = a 
 c) Nếu uv ,n và lim vn = 0 neáua 0
 nn thì lim(un.vn) = 
 neáua 0
 thì lim un = 0 
 d) Nếu lim un = a thì lim ua 
 n * Khi tính giới hạn có một trong các dạng 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 0 
 u vô định: , , – , 0. thì phải tìm 
 2 1 0
 S = u1 + u1q + u1q +  = q 1 
 1 q cách khử dạng vô định. 
 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
Phương pháp: 
 Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số 
na sao cho una a  n n . 
 Để chứng minh limuln ta chứng minh lim(uln ) 0 . 
 Để chứng minh limun ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự 
nhiên nM sao cho unM M  n n . 
 Để chứng minh limun ta chứng minh lim( un ) . 
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. 
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 
 A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun . 
 C. Nếu limun 0 , thì limun 0 . D. Nếu limuan , thì lim uan . 
 1
Câu 2. Giá trị của lim bằng: 
 n 1
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 41n 
Câu 18. Giá trị của D lim bằng: 
 nn2 32
 A. B. C. 0 D. 4 
 an
Câu 19. Giá trị của lim 0 bằng: 
 n!
 A. B. C. 0 D. 1 
Câu 20. Giá trị của lim n a với a 0 bằng: 
 A. B. C. 0 D. 1 
 Theo nội dung định lý. 
Câu 2. Giá trị của bằng: 
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Hướng dẫn giải: 
ChọnA. 
 1 11 1
Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 1 ta có a  n na nên có lim 0 . 
 a nn 11a n 1
 1
Câu 3. Giá trị của lim (k *) bằng: 
 nk
 A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 
Hướng dẫn giải: 
ChọnA. 
 1 11 1
Với nhỏ tùy ý, ta chọn n k ta có a  n n nên có . 
 a 0 a kk a limk 0
 a nna n
 sin2 n
Câu 4. Giá trị của lim bằng: 
 n 2
 A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 
Hướng dẫn giải: 
ChọnA. 
 2 sin2 n
 1 sinn 1 1 lim 0
Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 2 ta có a  n na nên có 
 a n 2 n 2 na 2 n 2
. 
Câu 5. Giá trị của lim(2n 1) bằng: 
 A. B. C. 0 D. 1 
Hướng dẫn giải: 
ChọnA. 
 M 1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n 
 M 2
Ta có: 2n 1 2 nMM 1 M  n n lim(2 n 1) . 
 1 n2
Câu 6. Giá trị của lim bằng: 
 n
 A. B. C. 0 D. 1 
Hướng dẫn giải: 
ChọnB. 
 2
 nM 1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa M 
 nM
 MM 2 4
 n . 
 M 2
 nn22 11
Ta có: M  n nM lim 
 nn1
 1 n2 lim
Vậy lim . n 1
 n n 23
Ta có: n 1 1 n 3 M  n n 
 11 nn M
 2 n
Suy ra lim . 
 n 1
 21n 
Câu 12. Giá trị của A lim bằng: 
 n 2
 A. B. C. 2 D. 1 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 5
Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 22 
 a a
 2n 1 5 5
Ta có: 2 a  n na 
 n 2 n 2 na 2
Vậy A 2 . 
 23n 
Câu 13. Giá trị của B lim bằng: 
 n2 1
 A. B. C. 0 D. 1 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 23na 
Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa 2 a 
 na 1
 1 aa2 4 13
 n 
 a a
 23n 
Ta có: a  n n B 0 . 
 n2 1 a
 n2 1
Câu 14. Giá trị của C lim bằng: 
 n 1
 A. B. C. 0 D. 1 
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
 1
Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 
 a a
 nn2 1 2 1
Ta có: 1 1 a  n na 
 n 1 n 1 na 1
Vậy C 1. 
 nn 2
Câu 15. Giá trị của A lim bằng: 
 2n
 1
 A. B. C. D. 1 
 2
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 nsin n 3 n2
Câu 16. Giá trị của B lim bằng: 
 n2
 A. B. C. 3 D. 1 
Hướng dẫn giải: