Chuyên đề Trắc nghiệm tính đạo hàm cấp cao của hàm số - Đại số 11

 ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ-CÓ GIẢI CHI TIẾT 
LÝ THUYẾT TÓM TẮT 
 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f '. Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo 
hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: ff'' ( ')' . 
 Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với nn ,2) là f (n 1) . Nếu 
 f (n 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí 
hiệu là f ()n , tức là: 
 ff(nn ) ()' ( 1) . 
Để tính đạo hàm cấp n: 
 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. 
 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. 
BÀI TẬP 
 x
Câu 1. Hàm số y có đạo hàm cấp hai là: 
 x 2
 1 4 4
 A. y 0 . B. y . C. y . D. y . 
 x 2 2 x 2 2 x 2 3
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
 x 2 2422 x 
Ta có y ; y 2. 
 2 2 4 3
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 3
Câu 2. Hàm số yx 2 1 có đạo hàm cấp ba là: 
 A. yx 12 2 1 . B. yx 24 2 1 . 
 C. yx 24 52 3 . D. yx –12 2 1 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Ta có y x642 3 x 3 x 1 ; y 6 x53 12 x 6 x 
y 30 x42 36 x 6 ; y 120 x32 72 x 24 5 x 3 . 
Câu 3. Hàm số y 25x có đạo hàm cấp hai bằng: 
 1 1
 A. y . B. y . 
 (2xx 5) 2 5 25x 
 1 1
 C. y . D. y . 
 (2xx 5) 2 5 25x 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 21
Ta có yx 25 
 2 2xx 5 2 5 Ta có: yx 5 2 5 4  2 10 2x 5 4 ; yx 80 2 5 3 ; yx 480 2 5 2 . 
Câu 8. Hàm số yx tan có đạo hàm cấp 2 bằng : 
 2sin x 1 1 2sin x
 A. y . B. y . C. y . D. y . 
 cos3 x cos2 x cos2 x cos3 x
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
 1 2cosxx sin 2sinx
Ta có: y . y 
 cos2 x cos43xx cos
Câu 9. Cho hàm số yx sin . Chọn câu sai. 
 A. yx sin . B. yx sin . 
 2
 3 4 
 C. yx sin . D. yx sin 2 . 
 2
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
Ta có: y cos x sin x ; y cos x sin x . 
 2 2
 3 4 3 
y cos x sin x ; y cos x sin 2 x . 
 2 2
 23xx2
Câu 10. Hàm số y có đạo hàm cấp 2 bằng : 
 1 x
 1 2 2 2
 A. y 2 . B. y . C. y . D. y . 
 1 x 2 1 x 3 1 x 3 1 x 4
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
 1 1 2
Ta có: yx 21 y 2 ; y . 
 1 x 1 x 2 (1 x )3
 4 
Câu 11. Hàm số y f x cos 2 x . Phương trình fx 8 có nghiệm x 0; 
 3 2
là: 
 A. x . B. x 0 và x . 
 2 6
 C. x 0 và x . D. x 0 và x . 
 3 2
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
 4 
Ta có: yx 2sin 2 . yx 4cos 2 . yx 8sin 2 . yx 16cos 2 
 3 3 3 3
 4 1
Khi đó : fx 8 16cos 2x 8 cos 2x 
 3 32
 2 
 22xk xk 
 x 0;
 33 2 2 
  x . 
 2 2
 22xk xk 
 33 6
Câu 12. Cho hàm số yx sin2 . Chọn khẳng định đúng Câu 18. Cho hàm số f x 5 x 1 3 4 x 1 . Tập nghiệm của phương trình fx 0 là 
 A.  1;2. B. ;0 . C. 1 . D. . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Vì: f x 15 x 1 2 4 ; f x 30 x 1 f x 01 x . 
 1
Câu 19. Cho hàm số y . Khi đó : 
 x 3
 3 1 3 1
 A. y 1 . B. y 1 . C. y 1 . D. y 1 . 
 8 8 8 4
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
 1 2 6 3
Vì: y ; y ; y y 1 . 
 x 3 2 x 3 3 x 3 4 8
Câu 20. Cho hàm số y ax b 5 với a , b là tham số. Khi đó : 
 A. y 10 10 . B. y 10 1 10 a b . C. ya 10 15 . D. ya 10 1 10 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
 4 3 2
Vì: y 5 a ax b ; y 20 a2 ax b ; y 60 a3 ax b ; y 4 120 a4 ax b ; ya 5 120 5 ; 
y 6 0 y 10 0 . Do đó y 10 10 
 2 4 
Câu 21. Cho hàm số yx sin 2 . Tính y bằng: 
 6
 A. 64 . B. 64 . C. 64 3 . D. 64 3 . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Vì: y 2sin2 x 2cos2 x 2sin4 x ; yx 8cos4 ; yx 32sin4 ; 
 4 4 
yx 128cos4 y 64 3 . 
 6
Câu 22. Cho hàm số yx sin 2 . Tính y '' 
 A. yx'' sin 2 B. yx'' 4sin 
 C. yx'' sin 2 D. yx'' 4sin 2 
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
Ta có y' 2cos2 x y '' 4sin 2 x 
Câu 23. Cho hàm số . Tính y '''( ) , y(4) () 
 3 4
 A. 4 và 16 B. 5 và 17 C. 6 và 18 D. 7 và 19 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
Ta có y''' 8cos2 x , y(4) 16sin 2 x 
 2 
Suy ra yy'''( ) 8cos 4; (4) ( ) 16sin 16 . 
 3 3 4 2 ( 1)n .n ! ( 1)nn .an . !
 C. y()n D. y()n 
 ()ax b n 1 ()ax b n 1
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
 a a23.2 a .2.3
Ta có y' , y '' , y ''' 
 ()()()ax b2 ax b 3 ax b 4
 ( 1)nn .an . !
Ta chứng minh: y()n 
 ()ax b n 1
 ( 1)11 .aa .1!
 Với ny 1' đúng 
 ()()ax b22 ax b
 ( 1)kk .ak . !
 Giả sử y()k 
 ()ax b k 1
 ( 1)k .a k . k !. ( ax b ) k 1 ' kk 11
 (kk 1) ( ) ( 1) .ak .( 1)!
 yy ' 2kk 2 2 
 (ax b ) ( x 2)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 
 21x 
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 
 xx2 56
 (2)nn .7.nn ! (1) .5. ! ( 1)nn 11 .7.nn ! ( 1) .5. !
 A. y()n B. y()n 
 (xx 2)nn 11 ( 3) (xx 2)nn 11 ( 3)
 ( 1).7.nnnn ! ( 1).5. ! ( 1).7.nnnn ! ( 1).5. !
 C. y()n D. y()n 
 (xx 2)nn ( 3) (xx 2)nn 11 ( 3)
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
Ta có: 2x 1 7( x 2) 5( x 3) ; x2 5 x 6 ( x 2)( x 3) 
 75
Suy ra y . 
 xx 32
 ()()nn
 1 (1).1.! n nn (1).! n n 1 (1).! n n
Mà 
 n 1 n 1, n 1
 x 2 (2) x (2) x x 2 (3) x 
 ( 1).7.nnnn ! ( 1).5. !
Nên y()n . 
 (xx 2)nn 11 ( 3)
Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số yx cos2 
 ()n n ()nn 
 A. y 1 cos 2 x n B. yx 2 cos 2 
 2 2
 (nn ) 1 ()nn 
 C. y 2 cos 2 x n D. y 2 cos 2 x n 
 2 2
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
 2 
Ta có y' 2cos 2 x , y '' 2 cos 2 x 2 , 
 22 
 3 
yx''' 2 cos 2 3 . 
 2
 ()nn 
Bằng quy nạp ta chứng minh được y 2 cos 2 x n . 
 2